- •4 .1. Основні засади моделювання динаміки
- •Interrupted time series analysis — Aналіз розірваного динамічного ряду (моделі інтервенції для Arima);
- •Inverse power — добути корінь;
- •4.2. Типи трендових моделей
- •4.3. Короткострокове прогнозування на основі ковзних середніх
- •4.4. Оцінювання сезонної компоненти
- •4.5. Модель arima
- •4.6. Моделювання повних циклів
- •З авдання для самоконтролю
- •7. Реалізація плодоовочевих консервів характеризується такими даними (тис. Ум. Банок):
- •8. Динаміку захворювання раком щитовидної залози у дітей (0—14 років), які проживають на забруднених радіонуклідами територіях, опишіть модифікованою експонентою:
4.5. Модель arima
Внутрішня структура динамічного ряду, залежність рівня yt від попередніх його значень yt–1, yt–2, …, yt–p описується авторегресійною функцією:
yt = a1yt–1 + a2 yt–2 + … + apyt–p +еt ,
де р — порядок авторегресії; ар — коефіцієнт авторегресії.
Процес авторегресії порядку р функціонально зв’язаний з автокореляційною функцією
rp = a1rр–1 + a2rр–2 + … + ap ,
де p = 1, 2, …, m — лаг автокореляції (зсування yt на p значень назад); r0 = 1.
Згідно з цим співвідношенням єдиний коефіцієнт авторегресії першого порядку yt = a1yt–1 + еt дорівнює коефіцієнту автокореляції першого порядку, тобто a1 = r1. Для авторегресії другого порядку yt = a1yt–1 + a2yt–2 + еt маємо систему рівнянь
r1 = a1 + a2r1
r2 = a1r1+ a2.
Звідси
Отже, коефіцієнт авторегресії, як і коефіцієнт автокореляції, змінюється в межах від –1 до +1.
При моделюванні нестаціонарних за своєю природою економічних процесів авторегресійна функція об’єднується з іншими методами аналізу динаміки: ковзною (експоненційною) середньою, трендом, сезонною хвилею. Об’єднання різних моделей в єдине ціле суттєво розширює сферу практичного їх використання. Окрім того, об’єднані моделі формуються на основі одних і тих же статистичних характеристик — автокореляційних функцій, розробляється один алгоритм розрахунку параметрів моделі і визначення прогнозів. Моделі такого класу називають об’єднаними (інтегрованими) моделями авторегресії — ковзної середньої або скорочено ARIMA. Методику їх побудови грунтовно викладено в [2, розділи 4, 9].
У моделі ARIMA рівень динамічного ряду yt визначається як зважена сума попередніх його значень і значень залишків еt — поточних і попередніх. Вона об’єднує модель авторегресії порядку р і модель ковзної середньої залишків порядку q. Тренд включається в ARIMA за допомогою оператора кінцевих різниць ряду yt. У модулі Time Series/Forecasting для цього передбачено процедуру трансформації Differencing (x = x – x(lag)). Так, для фільтрації лінійного тренда використовують різниці першого порядку d1 = yt – yt–1 (лаг = 1), для фільтрації параболічного тренда — різниці другого порядку і т. д. Різниця d має бути стаціонарною.
Вид моделі ARIMA, адекватність її реальному процесу та прогнозні властивості залежать від порядку авторегресії р і порядку ковзної середньої q. Через те ключовим моментом моделювання вважається процедура ідентифікації — обґрунтування виду моделі. В стандартній методиці ARIMA [2] ідентифікація зводиться до візуального аналізу автокорелограм і ґрунтується на принципі економії, за яким (р + q) 2.
Модель ARIMA порядку (р, d, q) досить гнучка і описує широкий спектр несезонних процесів. За наявності сезонних коливань у моделі враховується їх періодичність з лагом s (для квартальних даних s = 4, для помісячних s = 12) і аналогічного змісту параметрами (P, D, Q)s. Порядок мультиплікативної ARIMA становить (р, d, q) (P, D, Q)s. Для ідентифікації моделі у діалоговому вікні Single Series ARIMA передбачено спеціальну групу опцій Arima model parameters — Параметри ARIMA:
p — Autoregressive — параметр авторегресії (регулярний);
P — Seasonal — сезонний параметр авторегресії;
q — Moving average — параметр ковзної середньої (регулярний);
Q — Seasonal — сезонний параметр ковзної середньої.
Необхідно вказати принаймні один із зазначених параметрів. Найпростіші види моделей ARIMA:
(1, 0, 0) — авторегресійна функція;
(0, 0, 1) — ковзна середня;
(1, 0, 1) — комбінована модель авторегресії і ковзної середньої;
(0, 1, 1) — експоненційна середня;
(1, 1, 1) — нестаціонарний процес з лінійним трендом;
(0, 1, 1) ∙ (0, 1, 1) — мультиплікативна модель сезонного процесу.
Практична реалізація моделей можлива лише на рядах довжиною не менше 50 спостережень. Проілюструємо види моделей ARIMA на класичних прикладах [2, додатки: G, B'].
Перший стосується помісячної (n = 131) динаміки перевезень авіапасажирів (у тис.). До первинного ряду застосовано трансформацію Natural Log, а також Difference з лагом 1. Враховуючи сезонність авіаперевезень, зазначимо сезонний лаг 12. Порядок моделі (0, 1, 1) ∙ (0, 1, 1)12. Параметри моделі оцінюються методом максимальної правдоподібності, необхідно лише в нижньому лівому куті діалогового вікна Single series ARIMA задати обчислювальну процедуру: Approximate — наближена чи Exact — точна. За командою Begin parametеr estimation здійснюється ітераційна процедура визначення параметрів моделі і за умови їх прийнятності через команду ОК відкривається вікно результатів оцінювання:
Single Series ARIMA Results
Variable: SERIES_G: Monthly passenger totals (in 1000’s)
Transformations: ln(x),D(1),D(12)
Model: (0,1,1)(0,1,1) Seasonal lag: 12
No.of obs.: 131 Initial SS= .273 Final SS= .183(66,95%) MS = .0014
Parameters (p/Ps-Autoregressive, q/Qs-Moving aver.); p < .05
q(1) Qs(1)
Estimate: .40182 .55694
Std. Err.: .09069 .07395
Ініціювавши кнопку Parameters estimates, результати аналізу можна отримати у вигляді таблиці. Наприклад, 434-денна динаміка курсу акцій компанії ІВМ описується моделлю ARIMA порядку (0, 1, 1). Значення параметра q(1), його асимптотична стандартна похибка, t-критерій та p-level — фактичний рівень істотності, наведені в табл. 4.6, свідчать про адекватність моделі.
Таблиця 4.6
Input: VAR1(ibm1.sta) |
||||
Continue… |
Transformations: D(1) Model:(0,1,1) MS Residual=338.95 |
|||
Param. |
Param. |
Asympt. Std.Err. |
Asуmpt. t (432) |
p |
q(1) |
.60668 |
.03671 |
16.52 |
0.00 |
Для визначення прогнозів необхідно ініціювати кнопку Forecast cases — Прогнозні спостереження. В табл. 4.7 наведено прогнознi рівні курсу акцій ІВМ з 90%-ми довірчими межами на період упередження v = 3.
Таблиця 4.7
Forecasts: Model(0,1,1) Seasonal lag: 12 (ibm1.sta) |
|||
Continue… |
Input: VAR1 Start of origin: 1 End of origin:434 |
||
Case No. |
Forecast |
Lover 90,0% |
Upper 90,0% |
435 |
351,5 |
321,1 |
381,8 |
436 |
351,5 |
318,9 |
384,1 |
437 |
351,5 |
316,7 |
386,2 |
Як видно з даних таблиці, точковий прогноз на період упередження не змінюється, проте довірчі межі його розширюються.
Для візуалізації результатів моделювання і прогнозування у діалоговому вікні Single Series ARIMA Results передбачено опції Review and plot variables.
Якщо характер динаміки стрімко змінюється під впливом зовнішніх факторів, то до такого ряду застосовують модель Interrupted ARIMA — Перервана АRIMA.