4.6. Моделювання повних циклів

Свої особливості має моделювання динамічних процесів з ефектом насичення, коли темпи зростання (зниження) уповільнюються і рівень наближується до певної межі (питомі витрати ресурсів, споживання продуктів харчування на душу населення тощо). Для їх описування використовують клас кривих, що мають горизонтальну асимптоту К  0. Найпростішою з-поміж них є модифікована експонента:

Y_t = К + ab^t,

де параметр а — різниця між ординатою Y_t при t = 0 та асимптотою К. Якщо а < 0, асимптота знаходиться вище кривої, якщо а > 0 — асимптота нижче кривої. Параметр b характеризує співвідношення послідовних приростів ординати. За умови рівномірного розподілу ординати по осі часу ці співвідношення є сталими: .

Модифікована експонента описує процеси, на які діє певний обмежувальний фактор, і вплив цього фактора зростає зі зростанням Y_t. У разі, коли обмежувальний фактор впливає лише після певного моменту, до якого процес розвивався за експоненційним законом, то такий процес найкраще апроксимується S-подібною функцією з точкою перегину Р, в якій прискорене зростання змінюється уповільненням. Наприклад, попит на новий товар попервах незначний; потім, після визнання споживачами, він стрімко зростає, але у міру насичення ринку темпи зростання уповільнюються, згасають. Попит стабілізується на певному рівні. Аналогічні фази розвитку мають процеси нововведень і винаходів, ефективність використання ресурсів тощо. З-поміж S-подібних кривих, що описують повний цикл розвитку, найпоширенішою є функція Перла-Ріда — логістична крива:

.

Якщо показник процесу — частка, що змінюється в межах від 0 до 1, то формула логістичної функції спрощується:

або .

У страховій і демографічній статистиці використовують іншу S-подібну функцію — криву Гомперца:

або в логарифмах .

Тобто крива Гомперца приводиться до модифікованої експоненти, у якої сталими є відношення приростів ординат у логарифмах.

Оцінювання параметрів функцій, які мають асимптоти, порівняно з поліномами та експонентами значно складніше. Тут можливі два варіанти.

За першим варіантом асимптота у вигляді нормативу, стандарту тощо визначається апріорі — К*. Тоді модифіковану експоненту можна представити так:

.

Замінивши на z і прологарифмувавши рівняння, дістанемо лінійну функцію логарифмів lgz = lga + tlgb. Аналогіч- но приводиться до лінійного виду логістична функція , яка при заміні на z у логарифмах набуває такого ж вигляду: lgz = lga + tlgb. Параметри приведених до лінійного виду функцій, як і параметри поліномів, можна оцінити методом найменших квадратів, використовуючи процедури модуля Multiple Regression (див. 4.2). Прогноз та його довірчі межі визначаються традиційно, хоча довірчі межі прогнозу за кривими повного циклу мають умовний характер.

За другим варіантом асимптота невідома, отже, необхідно визначити усі три параметри: К, a, b. У літературі для кожної кривої запропоновано різні процедури, що реалізують МНК. Оскільки логістична крива і крива Гомперца приводяться до модифікованої експоненти, то доцільно розглянути універсальний для трьох функцій метод, описаний Бріантом [9]. За цим методом спершу визначається параметр b, а потім a та К. Формули розрахунку параметрів модифікованої експоненти такі:

;

;

.

У системі Statistica розрахунок параметрів S-подібних кривих можна здійснити в модулі Nonlinear Estimation — Нелінійне оцінювання, скориставшись процедурою User-specified regression, яка передбачає визначення виду функції користувачем самостійно. Приміром, застосуємо логістичну криву до даних ряду динаміки населення мегаполіса (табл. 4.8).

Таблиця 4.8

Рік	Млн. чол.	Рік	Млн. чол.	Рік	Млн. чол.
1950	3,48	1970	4,78	1990	6,14
1955	3,86	1975	5,13	1995	6,37
1960	4,17	1980	5,52	2000	7,04
1965	4,56	1985	5,90

У діалоговому вікні Estimated function & loss function задамо вид функціонального виду кривої: . Параметри її означають: b1 = К, b2 = а, b3 = b. Щодо функції втрат, то можна обмежитися залишковою девіатою, яка визначається системою за умовчування. Через кнопку Variables ідентифікуємо ознаку, динаміка якої моделюється (у даному прикладі — v2), і метод оцінювання параметрів моделі (Quasi-Newton). По закінченні ітераційної процедури оцінювання параметрів за командою ОК відкривається вікно Results. Значення індексу кореляції R = 0,997 свідчить про високу апроксимуючу властивість моделі. Оцінки параметрів — Parameter estimates представлені в табл. 4.9.

Таблиця 4.9

Model: v2 = b1 / (1 + b2*exp(–b3*v1)) (_______.sta)
Final loss: ,0723 R=,997 Variance explained: 99,428%
	B1	B2	B3
Estimate	12,37	2,79	0,114

Згідно з даними приріст населення мегаполісу за п’ятиріччя становить в середньому 11,4%, наближаючись до межі — 12,37 млн. чол.

Отже, клас моделей динаміки досить широкий, і вони описують різні процеси розвитку. Вибір типу моделі у конкретному дослідженні ґрунтується передусім на теоретичному аналізі специфіки процесу, його внутрішньої структури, взаємозв’язків з іншими процесами. На основі такого аналізу в загальних рисах визначається характер динаміки (рівномірний, рівноприскорений, з насиченням тощо) та окреслюється коло функцій, здатних апроксимувати цей процес. Серйозною підмогою при виборі конкретної моделі слугують формальні методи. Скажімо, для поліномів — це аналіз послідовних різниць. Рівність різниць р-го порядку розглядається як симптом того, що процес описується поліномом р-го порядку. Якщо приблизно однакові різниці 1-го порядку , використовують лінійний тренд, якщо однакові різниці 2-го порядку — , — параболу і т. д. Певні складнощі можуть виникнути при виборі експоненти. Адже S-подібна крива до точки перегину описує експоненційний тренд, а сама точка перегину може бути за межами динамічного ряду. Отже, якщо межа насичення теоретично можлива і процес у майбутньому може згасати або існують певні обмеження для процесу (правові, матеріальних ресурсів, виробничих потужностей тощо), то перевага віддається S-подібній кривій.

Оскільки первинним рядам динаміки властива значна варіація рівнів y_t, то аналіз послідовних різниць більш коректно проводити на основі рядів ковзних середніх. У табл. 4.10 наведено основні характеристики такого аналізу (апріорні тести), за якими визначається конкретний тип моделі повного циклу.

Таблиця 4.10

Характеристика	Властивості характеристик	Тип трендової моделі
	Приблизно однакові	Поліном 1-го ступеня
	Лінійно змінюються	Поліном 2-го ступеня
	Приблизно однакові	Експонента
	Лінійно змінюються	Модифікована експонента
	Лінійно змінюються	Логістична крива
	Лінійно змінюються	Крива Гомперца

При зворотному напрямку тенденції різниці розраховуються, починаючи з кінця. За наявності від’ємних різниць логарифмування неможливе, тому необхідно збільшити інтервал згладжування ковзних середніх.