- •Раздел 1. РасчЁты при растяжении-сжатии
- •Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы
- •Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы
- •Задача 3. Проектный расчёт ступенчатого бруса
- •Задача 5. Проектный расчёт стержневой статически неопределимой системы при растяжении и сжатии
- •Задача 6. Проверочный расчёт ступенчатого бруса
- •Задача 7. Проверочный расчёт ступенчатого статически неопределимого бруса
Задача 7. Проверочный расчёт ступенчатого статически неопределимого бруса
Стальной ступенчатый брус (рис. 1.11) жёстко защемлён с торцов и несёт нагрузку известной величины. Площади поперечного сечения и длины участков заданы.
Требуется:
1. Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жёстких заделках.
2. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных деформаций и продольных перемещений δ.
3. Указать опасное сечение и значение σmax, проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200Мпа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.
4. Указать значения max и δmax, проверить жёсткость при допускаемой относительной деформации = 0,005 и допускаемом продольном переме- щении [δ] = 0,5мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.
5. Для опасного сечения бруса вычислить касательные τα и нормальные α напряжения в наклонной площадке, проведенной под углом α = 450 к оси бруса.
6. Вычислить температурные напряжения, возникающие в брусе при повышении температуры среды на 500 С. Принять коэффициент линейного удлинения =1,25∙10-5 1/град.
7. Как изменятся величины реактивных сил, если между левой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙L1?
Рис. 1.11
Решение
1. Вычисление реактивной силы заделки
В этой задаче так же использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии. Пусть в нашем примере заданы следующие величины: сосредоточенная сила Р=-30кН; интенсивность распределённой нагрузки по участкам: q1=60кН/м, q2=0; длины участков 11=0,5м, 12=0,6м; площади сечений участков F1=5см2, F2=3см2.
Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.12, б). Брус имеет два грузовых участка (нумерацию участков начинаем справа) и две заделки, в которых возникают реактивные силы RA и RВ. Для решения задачи необходимо найти величины этих сил. Составим уравнение равновесия бруса по (1.1) :
.
Как видно, в уравнении имеем два неизвестных, и задача отыскания реакций является статически неопределимой. Составим дополнительное уравнение − уравнение перемещений, записав перемещение правой заделки и приравняв его нулю. Используем (1.6), запишем перемещение как сумму деформаций от каждого воздействия, начиная с левого торца бруса. Получим
.
Отсюда RA =5кН, а из уравнения равновесия найдём вторую реакцию: RВ=5кН.
2. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и продольных перемещений
Для оценки прочности и жёсткости бруса необходимо найти значения и построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных деформаций и продольных перемещений δ. Запишем требуемые алгебраические выражения и вычислим значения, используя метод сечений и известные формулы.
1-й участок: z1 1= 0,5м. В текущем сечении 1-го участка на расстоянии z1, продольная сила N1, напряжение σ1 и относительная деформация ε1 согласно (1.2), (1.3) и закона Гука, по которому , получаем
,
.
а |
|
б |
|
в |
|
г |
|
д |
|
е |
Рис. 1.12
,
.
2-й участок: z2 2= 0,6м. В текущем сечении 2-го участка,
.
По полученным значениям продольных сил, напряжений, относительных деформаций непосредственно под брусом построим эпюры этих величин и подпишем их характерные значения (рис. 1.12, в, г, д).
Перейдём к перемещениям. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого вычислим абсолютные деформации участков по формуле
Получаем следующие значения:
.
.
Реальное перемещение сечения заделки отсутствует, поэтому запишем перемещение δВ =0. Последнее сечение 1-го участка (сечение С) получило перемещение δС, которое равно деформации этого участка: δС= .Последнее сечение 2-го участка (сечение А) не имеет смещения, так как в нём заделка. Действительно, получаем
На эпюре сил N наклонная прямая пересекает ось (рис. 1.12, б) на расстоянии zo от начала 1-го участка (это сечение К). В этом сечении на эпюре перемещений ожидается экстремум (перегиб кривой перемещений). Используя выражение продольной силы на 1-м участке, запишем уравнение NК = 0:
, отсюда м.
Зная абсциссу zо сечения К, найдём значение экстремального перемещения δК (перемещения при z=zо) на основании (1.7) как сумму перемещения δВ и деформации куска zо
.
Отложив полученные значения перемещений, построим под брусом эпюру δ (рис. 1.12, е).
3 и 4. Проверка условий прочности и жёсткости бруса
Далее, для ответа на пункты 3 и 4, назовём максимальные напряжения σmax, деформации ε мах, перемещения δмах и сделаем выводы о прочности и жёсткости бруса при заданных величинах допускаемых напряжений [σ]=200МПa, деформаций [ε]=0,005 и перемещений [δ]=0,5мм:
σmax=50МПа < [σ]=200MПa, εmax=0,00025< [ε] =0,005, δмах=0,05мм < [δ]=0,5мм,
и, следовательно, прочность жёсткость бруса обеспечена.
5. Вычисление напряжений в наклонной площадке
Для опасного сечения бруса вычислим касательные τα и нормальные α напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α=450 к оси бруса. Опасным сечением является сечение, в котором нормальные напряжения максимальны по абсолютной величине: в нашем примере это последнее сечение 1-го участка и σmax=50МПа. Вычислим напряжения в наклонной площадке:
7. Вычисление температурных напряжений
Найдём температурные напряжения, возникающие в брусе при повышении температуры среды на 500С. Для этого составим уравнение перемещений, учитывая удлинение от температуры и сжатие от реакций, возникающих в заделках:
Вычислим наибольшие температурные напряжения , которые будут возникать в более тонком месте − на 2-м участке:
7. Влияние зазора на величину реакций
Оценим влияние зазора на величину реакций от нагрузки. В случае зазора при действии нагрузки торец бруса переместиться за счёт деформации на величину зазора. Поэтому величины реактивных сил должны удовлетворять уравнению перемещений, в котором правая часть равна 0,0001∙L1:
Получаем RA =1,7кН, RВ =1,7кН. Как видим, значение реакций при наличии зазора уменьшается.