1 Билет.

Преобразования Галилея

являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью.

Если ИСО S движется относительно ИСО S' с постоянной скоростью   вдоль оси  , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

или, используя векторные обозначения,

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:

Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей   (много меньше скорости света).

Механический принцип относительности.

1. Координаты и время в двух произвольных инерциальных системах отсчета связаны преобразованием Галилея: r' = r - (r0 + vet), (ve = const) t' = t где r и r' - раднус-векторы движущейся точки в первой и второй системах отсчета, ve - скорость равномерного и прямолинейного движения второй системы по отношению к первой, а r0 - радиус-вектор, проведенный из начала первой системы в начало второй системы в момент времени t = 0. Второе условие (t' = t) выражает абсолютный характер времени в классической механике, т. е. одинаковость его течения во всех инерциальных системах отсчета.

2. Скорости и ускорения материальной точки в обеих системах отсчета связаны соотношениями: v' = dr'/dt = dr/dt - ve = v - ve a' = dv'/dt = dv/dt = a Ускорение какой-либо материальной точки во всех инерциальных системах одинаково. В самом общем случае силы, действующие на материальную точку со стороны других тел или создаваемых ими полей, зависят от расстояний между точкой и этими телами, разностей между скоростями движения точки и тел, а также от времени. Из формул преобразования Галилея следует, что все эти величины во всех инерциальных системах одинаковы: r'2 - r'1 = r2 - r1 и v'2 - v'1 = v2 - v1 Поэтому одинаковы и силы, действующие на движущуюся материальную точку: F' = F Следовательно F'/a' =F/a = m т.е. уравнения движении материальной точки и систем этих точек одинаковы во всех инерциальных системах отсчета - инвариантны по отношению к преобразованию Галилея.

3. Этот результат можно сформулировать в виде механического принципа относительности: равномерное и прямолинейное движение (относительно инерциальной системы отсчета) замкнутой системы не влияет на ход протекающих в ней механических процессов. Иными словами, в механике все инерциальные системы равноправны. Поэтому в рамках классической механики нет никаких оснований для выделения какой-либо определенной «главной» системы отсчета, по отношению к которой покой и движение тел можно было бы считать абсолютными.

Постулаты СТО

1. Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна.

2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.

Билет №2

Преобразования Лоренца - линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющее длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

K' → K                K → K' β = υ / c

Следствия из преобразования Лоренца.

1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x₁ и x₂ в один и тот же момент времени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точках x'₁ и x'₂ в разные моменты времени t'₁ и t'₂:

Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.

2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсчета между этими же событиями проходит время

Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.

3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина

Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциальные системы отсчета.

4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость v = (v_x, v_y, v_z), то его скорость v' = (v'_x, v'_y, v'_z) в другой системе отсчета равна

или в трехмерной векторной форме 

5. Из соотношений (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии

v²=(v_x)²+(v_y) ²+(v_z) ²=c², (n6)

получим

v'²=(v'_x)²+ (v'_y)²+(v'_z) ²=c². (n7)

Т. е. скорость c одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v' в общем случае различны в разных системах отсчета.

Электри́ческий заря́д — это физическая скалярная величина, определяющая способность тел быть источником электромагнитных полей и принимать участие в электромагнитном взаимодействии. 

Зако́н Куло́на — это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами.

Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими).

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;

2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;

3. взаимодействие в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.^[1]

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

Билет №3

Релетявитский закон сложения скоростей

Запишем закон сложения скоростей для частного случая, когда тело М движется вдоль оси X' системы отсчета К', которая, в свою очередь, движется со скоростью   относительно системы отсчета К. Причем в процессе движения координатные оси X и X' все время совпадают, а координатные оси Y и Y', Z и Z' остаются параллельными

Рис. 18.4

Обозначим модуль скорости тела относительно К' через   а модуль скорости этого же тела относительно К через  . Тогда релятивистский закон сложения скоростей будет иметь вид

 (18.4)

Заметим, что формула (18.4) применима только в том случае, если все три вектора   и   направлены вдоль одной прямой. В общем случае этот закон имеет более сложный вид. Однако при любой форме записи закона его сущность заключается в том, что скорость c света в вакууме является предельной скоростью передачи сигналов.

Действительно, пусть   Найдем скорость 

Предположим, что тело движется со скоростью   относительно системы К', которая в свою очередь движется со скоростью   относительно системы К. Тогда 

Следовательно, при любых скоростях   и   результирующая скорость   не превышает с.

Если   и   то членом   знаменателе можно пренебречь и вместо (18.4) получим классический закон сложения скоростей:   Это согласуется с принципом соответствия, согласно которому новая физическая теория не отвергает целиком предшествующую теорию, она указывает предел применимости старой теории.