Вопросы к государственному экзамену
Специальность: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
2010 г.
Общие математические и естественнонаучные дисциплины
МАТЕМАТИКА
Алгебра и теория чисел
Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
Математический анализ
Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций непрерывных на отрезке.
Локальные и глобальные экстремумы функций одной и нескольких переменных. Методы их нахождения.
Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных.
Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
Представление функции в виде ряда Тейлора. Применение рядов Тейлора для приближенных вычислений.
Дифференциальные уравнения
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость решений. Задача Коши.
Теория вероятностей и математическая статистика
Вероятностное пространство. Случайные величины. Закон больших чисел в форме Чебышева.
Уравнения математической физики
Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя переменными.
Классификация краевых задач для уравнений в частных производных. Примеры задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа.
Дискретная математика
Основные комбинаторные конфигурации: размещения, сочетания, перестановки. Соединения с повторениями. Основные правила комбинаторики.
Задачи о кратчайших расстояниях на графах. Основные алгоритмы для решения задач о кратчайших расстояниях.
Сеть. Поток в сети. Задача о максимальном потоке в сети. Алгоритм нахождения максимального потока.
Основные понятия теории графов: граф, способы задания, маршруты, связность, расстояния в графах, степени вершины.
Вычислительная математика
Методы решения нелинейных скалярных уравнений (метод хорд, метод Ньютона, метод простой итерации).
Численное интегрирование: простейшие квадратурные формулы, квадратурные формулы Ньютона – Котеса, оценка погрешности квадратуры.
Методы Эйлера и Рунге – Кутты для решения начальных задач (задача Коши) для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Элементы теории разностных схем: понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Примеры разностных схем для решения классических уравнений в частных производных.
Исследование операций
Постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Свойства ЗЛП.
Симплекс-метод. Общая характеристика и геометрическая интерпретация симплекс-метода.
Теория двойственности в задачах линейного программирования. Виды математических моделей двойственных задач. Теоремы двойственности.
Методы оптимизации
Постановка классической задачи нелинейного программирования (ЗНП). Метод множителей Лагранжа. Принцип Лагранжа (необходимое условие существования экстремума). Геометрическая интерпретация метода множителей Лагранжа.
Модели выпуклого программирования. Основные свойства выпуклых (вогнутых) функций
Многомерная безусловная градиентная оптимизация. Метод наискорейшего спуска. Геометрическая интерпретация метода.