- •В.В. Нешитой
- •Методы статистического анализа
- •На базе
- •Обобщенных распределений
- •Предисловие
- •Введение
- •I. Случайные события и их вероятности
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •II. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •2.2. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •III. Дискретные случайные величины
- •3.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •3.2.1. Математическое ожидание
- •3.2.2. Свойства математического ожидания
- •3.2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •3.2.4. Свойства дисперсии
- •3.2.5. Среднее квадратическое отклонение
- •3.2.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •3.2.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •4.2. Плотность распределения
- •4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •4.4. Примеры непрерывных распределений
- •4.4.1. Нормальный закон
- •5.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •5.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •5.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •5.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •VI. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •6.1. Методы построения обобщенных распределений
- •6.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •6.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •6.4. Распределения функций случайного аргумента
- •6.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в. Нешитого
- •VII. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •7.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •7.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •7.3. Классический метод моментов
- •7.3.3. Симметричные распределения Ic-iiIc типов
- •7.3.4. Критерии для классификации кривых по методу моментов
- •7.4. Универсальный метод моментов
- •7.4.1. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •7.4.2. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •7.4.3. Законы распределения среднего выборочного
- •7.5. Общий устойчивый метод
- •VIII. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •8.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •8.2. Построение выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •8.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •8.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •8.2.3. Выравнивание по общему устойчивому методу
- •8.2.4. Выравнивающее распределение суммы независимых случайных величин
- •8.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •8.3. Прогнозирование распределений
- •8.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •8.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу
- •8.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •Iх. Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов на базе обобщенных распределений
- •9.1. Показатели состояния технологического процесса
- •9.2. Пример статистической обработки результатов замера контролируемого параметра по программе
- •Контрольный листок Деталь №_____(название) ø50 мм ±0,012 Точность си 0,002 Дата________ Время_______
- •Отклонения от номинального размера детали «nn» ø50 ±0,012
- •Показатели статистического распределения ( )
- •9.3. Экономическая эффективность применения обобщенных распределений
- •9.4. Особенности применения статистических методов в области строительства
- •Х. Надежность как особый критерий качества
- •10.1. Некоторые показатели надежности для невосстанавливаемых объектов
- •Плотность распределения отказов
- •Интенсивность отказов
- •Гамма-процентный ресурс
- •10.2. Вычисление показателей надежности по обобщенным распределениям
- •Результаты наблюдений о наработке до отказа двигателей панелевозов (ti – пробег до отказа в тыс. Км.; mi – число панелевозов, имеющих наработку ti)
- •Показатели статистического распределения (snr2v97)
- •Логарифмическое распределение типа 1.1 с параметрами
- •XI. Временные (динамические) ряды
- •11.1. Методы выделения тренда
- •11.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •11.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •11.2.2. Метод обобщения
- •11.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •11.3. Оценивание параметров кривых роста
- •11.3.1. Уравнение прямой
- •11.3.2. Экспонента
- •11.3.3. Обобщенная кривая роста
- •11.4. Прогнозирование временных рядов
- •11.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •11.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по методу моментов
- •Номограмма для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров k, u по общему устойчивому методу
- •Значения квантили в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободы r
- •Приложение 5
- •Литература
- •Содержание
Показатели статистического распределения ( )
К-во наблюдений |
100 |
К-во интервалов |
20 |
Ширина интервала |
1 |
Среднее |
3.92 |
Дисперсия |
22.4736 |
Центр.момент 3-го порядка |
-37.34583 |
Центр.момент 4-го порядка |
1408.746 |
Ср.квадратич.отклонение |
4.740633 |
Коэффициент вариации % |
120.9345 |
Показатель асимметрии |
.1228758 |
Показатель островершинности |
2.78925 |
L1=2.616711 |
|
Распределение типа 1.1 с параметрами
AU = 2.696148E-02 K = 8.403986 U = .2352945 L = –20.71284 N = 1.367198E–10
Случайная величина Х задана на интервале –20.71284<X<16.37711
P(X) = N*(X–L)^(K-1)*(1-AU*(X-L))^(1/U-1)
Показатели уровня качества ( )
Кол-во наблюдений |
100 |
Среднее из опыта W1 |
3.92 |
Среднее квадратич. отклонение (с.к.о.) Sx |
4.740633 |
Центр поля допуска Т0 |
0 |
Нижняя граница поля допуска ТН |
-12 |
Верхняя граница поля допуска ТВ |
12 |
Ширина поля допуска ТХ=ТВ–ТН |
24 |
Отношение допуска к с.к.о. (ТХ/SX) |
5.062615 |
Смещение центров рассеян. и допуска Е=W1–T0 |
3. 92 |
Ширина поля рассеяния RX при Р=.9973 |
25.42721 |
Нижняя граница поля рассеяния |
-11.01229 |
Верхняя граница поля рассеяния |
14.41492 |
Отношение поля рассеяния к с.к.о. (RX/SX) |
5.363674 |
Показатель уровня настройки КN=E/TX |
.163333 |
Показатель точности КТ=RX/TX |
1.059467 |
Прогнозируемый процент брака Q% |
2.76925 |
в т.ч. на нижней границе поля допуска |
.060416 |
на верхней границе поля допуска |
2.708835 |
Теперь можно рассчитать любые интересующие нас показатели.
Например, выбрав в меню «Вид расчета» пункт 4 (вычисление доверительных интервалов) и введя вероятность Р = 0,9973, найдем границы технологического допуска –11,0123 <X<14,4149.
Для вычисления ожидаемого процента брака необходимо выбрать в меню «Вид расчета» пункт 8 (вычисление показателей уровня качества продукции). Введя затем середину поля допуска Т0 = 0 и отклонение δ/2=12, получим ряд показателей качества (см. распечатку), в том числе прогнозируемый процент брака, равный 2,76925.
Поскольку в данном случае показатель точности (коэффициент рассеяния) КТ > 1, то для полного исключения брака требуется уменьшить рассеяние.
Однако только за счет смещения центров полей рассеяния и допуска можно добиться значительного уменьшения брака.
Например, при вводе Т0 = 3,92, δ/2 = 12 получим процент брака 0,911558.
При этом весь брак будет на нижней границе поля допуска.
Следовательно, для уменьшения брака следует осуществить настройку оборудования, т.е. совместить центры полей рассеяния и допуска.
Ввиду того, что в данном случае выравнивающая кривая распределения имеет небольшую левостороннюю асимметрию ( ), то необязательно точно совмещать центры полей рассеяния и допуска.
Например, при вводе Т0 = 2, δ/2 = 12 получим еще меньший процент брака, равный 0,5648. При этом он примерно одинаков на обеих границах конструкторского допуска.
Для уменьшения рассеяния необходимо принимать другие меры. Эти вопросы решает отдел главного технолога завода.
Сделаем некоторые выводы по рассмотренному примеру.
Во-первых, выравнивающее распределение оказалось далеко не нормальным, которое характеризуется показателями .
Как показывает практика, нормальный закон распределения реализуется довольно редко.
Если бы в данном примере в качестве выравнивающего распределения был принят нормальный закон, то ожидаемый процент брака был бы равен 4,456, т.е. в 1,6 раза больше фактического. И это при небольшой асимметрии выравнивающей кривой! В других случаях нормальный закон может давать значительно бόльшую ошибку (до 10 раз) по сравнению с фактическим браком.
Отсюда следует вывод, что самым важным вопросом, который необходимо всякий раз решать при статистическом анализе точности технологического процесса – это вопрос установления наилучшей выравнивающей кривой. Он может быть решен только при использовании обобщенных распределений.
Во-вторых, из рассмотренного примера видно, что разладка технологического процесса определяется двумя факторами: смещением среднего значения контролируемого параметра и рассеиванием его значений относительно среднего.
В-третьих, регулирование настройки технологического процесса дает возможность уменьшить брак в 3-6 раз, хотя и не исключает его полностью, если коэффициент точности КТ > 1.
В-четвертых, при наладке технологического процесса одним из основных критериев следует принимать не только величину смещения центров рассеяния и допуска, но и минимальный ожидаемый уровень брака, особенно в случае асимметричного выравнивающего распределения. С помощью Программы нетрудно подобрать оптимальное смещение центров рассеяния и допуска, при котором ожидаемый процент брака будет минимальным при заданном коэффициенте точности.