Примеры.
1. Найти базис, взаимный к базису: е1(1, 1, 0), е2(1, 0, 1), е3(0, 1, 1).
◀ а) Строим матрицу:
.
Получаем:
;
.
б) Составляем матрицу
;
в) и находим:
.
г) Строки полученной матрицы FB и есть векторы взаимного базиса, т.е.
е1(1/2, 1/2, –1/2), е2(1/2, –1/2, 1/2), е3(–1/2, 1/2, 1/2) ▶
2. Найдем базис взаимный к базису: е1(1, 1, 1), е2(0, 1, 1), е3(0, 0, 1).
◀ Строим
матрицу:
,
т.е.
;
.
Находим
.
Таким образом найдены векторы взаимного базиса: е1(1, 0, 0), е2(–1, 1, 0), е3(0, –1, 1) ▶
Задача 2. Вектор х (5, 2, 1) задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы векторы двух взаимных базисов: е1(1, 1, 0), е2(1, 0, 1), е3(0, 1, 1) и е1(1/2, 1/2, –1/2), е2(1/2, –1/2, 1/2), е3(–1/2, 1/2, 1/2). Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора х в базисе {e1, e2, e3, e1, e2, e3}.
◀ Вектор x = (xei)ei = 7e1 + 6e2 + 3e3 поэтому (х1, х2, х3) = (7, 6, 3) – ковариантные координаты х.
Вектор x = (xei)ei = 3e1 + 2e2 – e3, следовательно (х1, х2, х3) = (3, 2, –1) – контравариантные координаты х ▶
§3. Преобразование базиса и координат
Пусть в En задана {ei} и {ei} –пара взаимных базисов, а {ei} и {ei} некоторая другая пара взаимных базисов. Запишем формулы преобразования базисных векторов:
1.
Переход ei
ei:
ei
=
ei;
ei
=
ei.
Здесь
– матрица перехода от ei
к ei;
– матрица перехода ei
от к ei;
т.е.матрицы
и
взаимно-обратны:
=
.
2.
Переход ei
ei:
ei
=
ei;
ei
=
ei.
Здесь
–
матрица перехода ei
от к ei;
– матрица перехода от ei
к ei;
т.е.матрицы
и
взаимно-обратны.
T.
=
и (следовательно
=
).
◀
.Положим
k = i,
k
= i
,
т.е. матрицы
и
совпадают ▶
Примечание: Правило нахождения матрицы
=
.
Итак:
– формулы преобразования
базисных векторов. Здесь
матрица перехода от базиса {ei}
к базису {ei}.
Таким образом для перехода от базиса {ei, ei} к базису {ei, ei} достаточно знать лишь матрицу перехода от базиса {ei} к базису {ei}.
Задача . Имеется две пары взаимных базисов {e1, e2, e3, e1, e2, e3} и {e1, e2, e3, e1, e2, e3}. Записать формулы для преобразования при переходе от одного базиса к другому и найти соответствующие матрицы перехода.
◀ Формулы преобразования базисных векторов:
1)
,
– матрица перехода от ei
к ei;
i – строки, i
– столбцы(строки слева)
.
2)
,
– матрица перехода от ei
к ei; i – строки, i
– столбцы (строки слева)
,
при этом В2 = (В1)–1.
3)
,
–
матрица перехода от ei
к ei;
i– строки, i
– столбцы (строки слева)
,
при этом В3 = (В12)Т.
4)
,
– матрица перехода от ei
к ei; i – строки,
i – столбца
(строки слева)
,
при этом В4 = (В1)Т.
5) Элементы
матрицы В1 = (
)
находят так
▶