Учет геометрической нелинейности работы конструкции в целом

4.15. Геометрическую нелинейность рекомендуется учитывать тогда, когда перемещения конструкции под нагрузкой вызывают значительные изменения ее геометрии. Уравнения равновесия составляются в этом случае для деформированного состояния, а для их решения рекомендуется использовать шаговый метод нагружения. При использовании этого метода конструкция на каждом этапе расчета рассматривается как линейно деформируемая, но при жесткостях, соответствующих приращению нагрузки. По мере роста внешней нагрузки происходит изменение матриц жесткости отдельных стержней, при этом значения их зависят не только от геометрических параметров конструкции на каждом этапе расчета, но и от ее напряженно-деформированного состояния. Такие матрицы в дальнейшем называются «мгновенными».

Ниже приводится определение мгновенной матрицы жесткости стержня по деформированной схеме.

На рис. 4.3 изображен стержень, произвольно ориентированной относительно неподвижной прямоугольной системы координат и воспринимающий только продольную силу. В положении abстержень находится в недеформированном состоянии. Положение аb' примем исходным. Усилие и стержне в этом положении определяется узловыми перемещениями   и равно N. Допустим, что узел b получил дополнительные смещения du, dv, dw. Для получения мгновенной матрицы жесткости, которая могла бы связать между собой приращения узловых усилий   и узловых перемещений   матрица узловых усилий   раскладывается в ряд Тейлора относительно исходного положения [2]

(4.23)

Отсюда приращение вектора усилий dN равно

 

(4.24)

или

где r_ins - мгновенная матрица жесткости стержня

(4.25)

В недеформированном и деформированном состояниях длина стержня соответственно равна

Внутреннее усилие в стержне в деформированном состоянии определяется по формуле

Проекция усилия N на ось х равна

.

Аналогично N_y = N n_y, N_z = N n_z.

Внутренние усилия N_x, N_y, N_z являются нелинейными функциями от компонентов перемещений u, v,w.

Коэффициенты мгновенной матрицы жесткости определяются с помощью зависимостей

Значение r_xx, например, равно

Аналогично могут быть получены восемь оставшихся коэффициентов мгновенной матрицы жесткости.

Окончательное выражение для мгновенной матрицы жесткости стержня r_ins имеет вид

(4.26)

где l - единичная матрица.

4.16. Основное уравнение для шагового метода нагружения имеет вид

(4.27)

где R_ins - мгновенная матрица жесткости конструкции в целом; λ - параметр нагрузки, изменяющийся в пределах от 0 до 1, т.е. весь интервал изменения нагрузки разбит на ряд отдельных участков:

0, λ1, λ2, λ3,   , λk = 1.

Для увеличения точности результатов внутри каждого шага по нагрузке рекомендуется выполнять итерационный процесс по уточнению значений мгновенных жесткостей. При этом значения R_ins для каждого интервала изменения нагрузки (например, для λ_i+1 - λ_i) следует определять по среднему значению вектора узловых перемещений в этом интервале

(4.28)

4.17. При наличии в структурах элементов с внецентренным приложением продольных сил и учете геометрической нелинейности работы конструкции в целом рекомендуется учитывать также геометрическую нелинейность работы этих элементов. В этом случае мгновенная матрица жесткости стержня имеет вид

(4.29)

где D_n,ins - мгновенная жесткость стержня на действие продольной силы.

Для внецентренно сжатых стержней D_n,ins определяется на каждом этапе нагружения конечно-разностным методом с использованием зависимостей сжимающей силы от относительного сближения концов стержня N(ε)

(4.30)

где N - усилие в стержне, полученное на предыдущем этапе расчета; ∆N - приближенное значение приращения усилия на данном этапе расчета, полученное на основании результатов предыдущего этапа расчета или с помощью итераций; ε (N) и ε (N + ∆N) - относительное сближение концов стержня соответственно при усилии в нем N и N + ∆N.

Зависимости N (ε) для внецентренно-сжатых стержней в упругой стадии работы определяются выражением (4.19), а в упруго-пластической в соответствии с указаниями п.п. 4.35, 4.36.

Для внецентренно-растянутых стержней D_n,ins определяется по формуле (4.22), при этом при упругопластической работе материала площадь сечения и момент инерции стержня вычисляются только для упругой части стержня.