Задание на практическое занятие № 1 по дисциплине «Информатика» для курсантов колледжа авмс им. П. С. Нахимова

1. Тема занятия: Арифметические основы вычислительных систем

2. Учебные цели:

• закрепить теорию;

• овладеть навыками выполнения действия с числами, представленными в различных системах счисления;

• воспитать компьютерную культуру.

3. Время: 2 часа Место: ВЦ Классы:

4. Перечень вопросов, подлежащих отработке в процессе занятия:

- перевод чисел из одной системы счисления в другую;

- действия с числами, представленными в различных системах счисления.

5. Организационно-методические указания по подготовке к занятию

Проработать материалы к лекции Л-2 «Основы построения вычислительных систем». Самостоятельно изучить темы: «Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую», «Арифметические операции в различных системах счисления».

6. Контрольные вопросы:

• Что называется системой счисления?

• Какие Вы знаете системы счисления?

• Что называется основанием позиционной системы счисления?

• Какие системы счисления используются в ЭВМ?

• Какие Вы знаете способы представления чисел в ЭВМ?

• Что называется естественной формой записи числа? Как это число изображается в ячейке памяти ЭВМ?

• Что называется нормальной формой изображения числа?

• Чем отличается нормальная форма изображения числа от естественной формы?

• Назовите единицы измерения информации и объема памяти.

• Дайте общую характеристику систем счисления.

• Как перевести целое число из одной позиционной системы счисления в другую?

• Дайте определение информатики.

• Как перевести дробное число из одной позиционной системы счисления в другую?

• Что такое информация?

• Как выполняется перевод числа из двоичной системы счисления в систему счисления, основание которой является степенью числа 2?

• Как проще всего выполнить перевод числа из недесятичной позиционной системы счисления в десятичную?

7. Отчетные материалы

Решения типовых задач в рабочей тетради; выполненные индивидуальные задания.

8. Инструктивно-методические указания

9. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

В современных ЭВМ в настоящее время в основном используются позиционные системы счисления с основанием 2, 8, 16, хотя были попытки использования и других систем (например, троичной).

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением. Условные знаки, применяемые для обозначения чисел называют цифрами. Системы счисления, в которых числа записывают как последовательность цифр, можно разбить на два класса: позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значения цифр не изменяются при изменении их положения в последовательности. В качестве примера непозиционной системы приведем известную всем римскую систему счисления. В римской системе счисления символ Х на любом месте равен 10, но в записи слева от старшего (например, ХС) символ Х равен –10, а в сочетании перед младшим (например, XV) равен +10. В непозиционных системах счисления действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют правил. В этих системах нельзя выразить отрицательные и дробные числа, поэтому непозиционные системы имеют ограниченное применение. В основном их используют для наименования дат, томов, глав и т.д.

Напротив, в позиционных системах счисления количественное значение цифры в числе зависит от ее позиции. Наиболее важным обстоятельством для позиционной системы счисления является наличие основания системы счисления. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении на соседнюю позицию и какое число различных цифр входит в алфавит системы счисления. Основанием системы счисления может быть любое натуральное число 2. Одним из примеров позиционной системы счисления является десятичная система, широко используемая в жизни. В качестве десятичных цифр применяются арабские цифры, а основание системы равно 10, то есть оно равно отношению соседних разрядов. В р-ичной системе с основанием р (р- целое число 2) число записывается в виде последовательности р-ичных цифр, разделенных запятой на две последовательности

q_nq_n-1…q₁q₀ , q_-1…q_m

Позиции, расположенные левее запятой, пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, а справа от запятой пронумерованы подряд слева направо –1, -2, … и т.д. Пронумерованные позиции называются разрядами. Последовательность цифр слева от запятой называется целой частью числа, а справа – дробной частью.

Наиболее просто осуществить перевод чисел из р-ичной позиционной системы счисления в t-ичную (или обратно), если имеет место соотношение p=t^k, где k- целое положительное число. В этом случае перевод из р-ичной системы счисления в t-ичную осуществляется поразрядно, заменяя каждую р-ичную цифру равным ей k-разрядным числом в t-ичной системе счисления. Разбивка числа на группы по k цифр осуществляется при движении от запятой влево и вправо, если при этом самая левая и правая группы окажутся неполными, то к ним приписывается необходимое количество нулей.

Пример 1. Перевести 1110101,1011111₍₂₎ в восьмеричную систему счисления.

Так как 8=2³, и k=3, то 001 110 101,101 111 100₍₂₎=165,574₍₈₎

Пример 2. Перевести 73,16₍₈₎ в двоичную систему счисления.

73,16₍₈₎=111 011, 001 110₍₂₎

Пример 3. Перевести 11100,01₍₂₎ в шестнадцатеричную систему счисления.

Принимая во внимание, что 16=2⁴ и k=4, 11100,01₍₂₎=0001 1100, 0100=1С,4₍₁₆₎

Пример 4. Перевести число 1АF,4₍₁₆₎ в двоичную систему счисления.

1АF,4₍₁₆₎=0001 1010 1111,0100₍₂₎

Легко осуществляется также перевод из одной системы счисления в другую, если основания системы являются целой степенью двойки. В этом случае перевод целесообразнее осуществить через двоичную систему счисления.

Пример 5. Перевести число 76,5₍₈₎ в шестнадцатеричную систему.

76,5₍₈₎=111 110,101 = 0011 1110, 1010=3Е,А₍₁₆₎.

Рассмотрим общие правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Правила перевода целых и дробных чисел различны.

Для перевода целой числа из одной системы в другую нужно последовательно делить это число и получаемые целые частные на основание системы счисления, в которую оно переводится. Деление выполняется до тех пор, пока не получится частное меньше основания. Последнее частное дает старший разряд числа в новой системе счисления, а следующие за ней цифры – это остатки, записываемые в последовательности, обратной их получению.

Пример 6. Перевести число 7142₍₁₀₎ в шестнадцатеричную систему счисления.

Таким образом, учитывая что

10₍₁₀₎=А₍₁₆₎

11₍₁₀₎=B₍₁₆₎

12₍₁₀₎=C₍₁₆₎

13₍₁₀₎=D₍₁₆₎

14₍₁₀₎=E₍₁₆₎

15₍₁₀₎=F₍₁₆₎

7142₍₁₀₎=1ВЕ6₍₁₆₎.

Для перевода дробных чисел из одной позиционной система счисления в другую нужно последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание той системы счисления, в которую она переводится. Дробь в новой системе счисления состоит из целых частей получающих произведений, начиная с первой. Число разрядов дроби в новой системе счисления ограничивается заданной точностью.

Пример 7. Перевести десятичную дробь 0,1875₍₁₀₎ в двоичную и восьмеричную системы счисления.

0,1875₍₁₀₎=0,0011₍₂₎=0,14₍₈₎

При переводе смешанных чисел переводят отдельно целую и дробную части по соответствующим правилам, а затем объединяют результаты в смешанное число новой системы.

Пример 8. Перевести число 110,175₍₁₀) в восьмеричную систему счисления. Переведем отдельно целую и дробную части, а затем объединим результат.

период

110,175₍₁₀₎=156,1(3146)₍₈₎

Удобной формой перевода чисел из р-ой системы счисления в десятичную является перевод с использованием схемы Горнера. По определению, число в р-ичной позиционной системе счисления можно представить как сумму

q_nq_n-1…q₁q₀ , q_-1…q_-m= .

Например, число 358,14₍₁₀)=8+5*10+3*10²+1*10^-1+4*10^-2.

Пример 9. Перевести число 9F3A₍₁₆₎ в десятичную систему счисления.

9F3A₍₁₆₎=10+3*16+15*16²+9*16³=40762₍₁₀₎

Пример 10. В лаборатории 35 компьютеров марки РС/АТ и 22 компьютера марки РС/ХТ, всего 101 компьютер. В какой системе счисления записаны числа?

Пусть р – неизвестное основание системы счисления, тогда 35_(р)+22_(р)=101_(р). Составим уравнение, используя схему Горнера:

3р+5+2р+2=р²+1;

р²-5р+6=0;

р₁=6; р₂=-1.

Отбросим посторонний корень. Таким образом, числа записаны в шестеричной системе счисления.

2. Действия над числами с основаниями, отличными от 10, непривычны и поэтому вызывают определенные затруднения. Однако, правила сложения, вычитания, умножения “столбиком” и деления “углом” применимы в любой системе счисления. Как и в десятичной системе, при сложении чисел единица переноса в старший разряд появляется, если сумма цифр равна или больше основания системы счисления. При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица основания.

Сложение

Алгоритмы операций над числами в двоичной, в восьмеричной, в десятичной и вообще в любой другой p-ичной позиционной системах счисления остаются одними и теми же. При сложении двух чисел в двоичной системе счисления необходимо помнить о том, что 1+1 дает нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий старший разряд; при сложении трех единиц 1+1+1 образуется единица в данном разряде и единица переноса в следующий разряд и т. д.

При сложении чисел 1+2, или 2+1, или 1+1+1 в троичной системе счисления образуется нуль в данном разряде и единица переноса в следующий старший разряд. Так происходит каждый раз, как только сумма цифр достигает p — основания системы счисления.

Пример 11. Произведем сложение двух двоичных чисел 1111 и 1011. Напишем эти числа в столбец и сложим их пользуясь таблицей сложения:

— образована единица переноса.

Итак:

Пример 12. Сложим два числа 24413 и 32344, заданные в пятиричной системе счисления:

Вычитание

При вычитании одного числа из другого в p-ичной системе счисления необходимо иметь в виду, что занятая в ближайшем старшем разряде единица дает p единиц в младшем разряде. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то единица занимается через несколько разрядов, при этом она дает p единиц в младшем разряде и (p-1) единиц во всех нулевых разрядах, находящихся между младшим и тем старшим разрядом, из которого брали заем.

Таблица вычитания для двоичной системы имеет вид:

Пример 13. Определить разность чисел 1100₂ и 11₂.

Запишем эти числа столбцом и произведем вычитание в соответствии с таблицей вычитания двоичных чисел:

Пример 14. Определить разность чисел 13562 и 5653, заданных в восьмеричной системе счисления.

Вычитание начинается с младшего разряда. От двух единиц три не вычитаются, поэтому обращаемся к соседнему старшему разряду и занимаем там единицу. Эта единица в соседнем младшем разряде образует восемь единиц. Восемь единиц и две единицы дают десять единиц в данном разряде. От десяти единиц вычитаем три единицы, получаем семь единиц и т. д.

Умножение

Умножение в p-ичной позиционной системе счисления двух чисел производится столбиком. Пользуясь таблицей умножения, множимое умножается на младший разряд множителя, в результате получается первое частичное произведение. Затем множимое умножается на вторую старшую цифру множителя, в результате получается второе частичное произведение, которое должно быть сдвинуто на один разряд влево относительно первого частичного, и т. д.

Сумма частичных произведений образует произведение двух чисел.

Таблица умножения для двоичных чисел имеет вид:

Пример 15. Найти произведение двоичных чисел 1011 и 101, используя эту таблицу:

Деление

Деление одного числа на второе число производится по тем же самым правилам, по которым производится деление чисел в десятичной системе счисления. При делении двоичных чисел используются таблицы умножения и вычитания.

Пример 16. Разделить двоичное число 11101 на 101.

Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется группа разрядов, равная количеству разрядов делителя, и сравнивается полученное число в делимом с делителем. Если полученное число в делимом равно или больше делителя, то начинают деление, если же меньше делителя, то к отделенной группе разрядов добавляется еще один разряд. В этом случае полученное число в делимом будет больше делителя. В старший разряд частного записывается 1. Производится вычитание делителя из выделенного числа в делимом и к полученной разности приписывается очередная цифра делимого.

Если в результате этого получилось число, равное или превышающее делитель, то в частном записывается следующая цифра 1 и производится вычитание. Если же после сноса следующей цифры делимого получилось число, меньшее делителя, то в частном ставится 0 и сносится следующая цифра делимого и т. д.

Пример 17. Разделим восьмеричное число 13465,54 на 57,2.