2. Решение дифференциальных уравнений

с помощью программы Mathcad не требует их предварительного преобразования.

Введем в программу заданные величины

m:=60 g:=9.81 k:=12 Vo:=18 α:= 20deg

Решение уравнений выполняем с помощью функции Odesolve. Для этого необходимо сделать следующее:

а) Внутри решающего блока записать уравнения и начальные условия.

б) Обратиться к функции Odesolve c тремя параметрами: первый – массив имен функций ( в нашем случае - ), второй – имя независимой переменной (t), третий – конечная точка интегрирования t_k.

Стром траекторию движения точки, представляющей собой график функции у = у(х), получаем траекторию движения лыжника, полностью совпадающую и изображением на рис.4.

Далее определяем все кинематические характеристики движения лыжника в воздухе .

По условию задачи лыжник приземляется на наклонную плоскость (рис.5), которая проходит через точку D с координатами и образует с горизонтальной плоскостью угол 40⁰. Построим график этой плоскости в той же графической области, в которой построен график траектории лыжника, обозначив координаты прямой х₁ и у₁. Для этого составим уравнение наклонной плоскости, установив зависимость между координатами х₁ и у₁ произвольной точки K, принадлежащей этой прямой (рис. 5).

;

Записываем уравнение прямой в программе Matchad.

Рис. 6

пределим время нахождения лыжника в воздухе. На рис. 6 построены график траектории движения лыжника в воздухе и график наклонной плоскости, на которую он приземляется, в период времени от t₀ = 0 до t_k = 4 c. Точка пересечения двух графиков соответствует значению T ˂ t_k.

Рис. 7

Для того, чтобы определить точку пересечения траектории лыжника и наклонной плоскости, в приведенной выше программе Mathcad необходимо подобрать значение t, уменьшая его до значения, при котором траектория лыжника коснется наклонной плоскости. Выражение t:= 0,0.001..3.88 определяет конечное время движения лыжника в воздухе: T = 3.88 c. При этом значении (рис.7) лыжник касается наклонной плоскости.

Определим дальность d и высоту полета в воздухе h, определяя значения координат х и у при Т =3.88 с.в программе Matchad

Таким образом, дальность полета равна d = 45, 648 м, высота - h = 41,264 м.

По условию задачи осталось определить скорость движения лыжника в воздухе. Построим годограф скорости (рис .8), дополнив массив (6) производными по времени от функций x(t) и y(t) и указав интервал изменения времени.

Рис. 8

На рис. 8 представлен годограф скорости, представляющий собой отрезок прямой. Для того, чтобы показать векторы скорости в начальный и конечный моменты движения, необходимо распечатать полученный график, а затем начало координат соединить с началом и концом годографа (рис. 9). Разложим по координатным осям вектор конечной скорости V_C, получим его составляющие V_C_х и V_C_у.