2. Движение лыжника без учета силы сопротивления.

Определим, как изменятся параметры движения, если силой сопротивления пренебречь.

Начальные условия этого движения не изменились

Дифференциальные уравнения движения лыжника в воздухе без учета силы сопротивления принимают вид

или

Из первого уравнения следует, что проекция скорости на ось х сохраняется остается постоянной и равной начальному значению

Определяем координату х

Подставим начальные значения: получим уравнение движение относительно оси х

x=16,74 t.

Решаем второе уравнение (в), заменив

Подставляем начальные условия получаем С₂ = 4,78.

Следовательно,

Заменим , получим

Разделим переменные и проинтегрируем

Подставим начальные условия , получим С₂ = 0, следовательно,

Таким образом, движение лыжника описываются уравнениями

Эти уравнения в координатной форме представляют собой уравнения параболы. Выразим из уравнения (7) значение t и подставим его в уравнение (8), получим уравнение параболы в явном виде

Построим эту кривую с помощью программы Mathcad в одном массиве вместе с предыдущими двумя графиками, обозначив координаты этой кривой x2(t) и y2(t), увеличивая промежуток времени до тех пор, пока кривая, изображающая траекторию при отсутствии силы сопротивления, коснется наклонной плоскости.

Рис. 12

Рис.9

На рис. 12 представлены график наклонной плоскости, на которую приземляется лыжник (прямая с координатами x1(t), y1(t)) и

два графика его движения в воздухе: при наличии силы сопротивления (кривая с координатами x(t), y(t)) и без учета силы сопротивления (пунктирная кривая с координатами x2(t),y2(t)).

Как следует из представленных вычислений, при отсутствии силы сопротивления время движения в воздухе увеличилось до значений t₂ =3,95 c, значительно увеличились дальность и высота движения в воздухе:

d = x2(3.95) = 66,28 м, hрррррррhhhhhh = y2(3.95) = 57,571 м,

Определим скорость и ускорение движения лыжника в воздухе без учета сил сопротивления.

Рис.13

Как следует из вычислений, при отсутствии сил сопротивления ускорение является величиной постоянной, равной ускорению свободного падения. График изменения скорости представлен на рис.13. При отсутствии сил сопротивления скорость в момент приземления равна 37,8 м/с и значительно превышает конечную скорость при наличии силы сопротивления.

Контрольные вопросы.

1.Что называется материальной точкой?

2. Сформулируйте второй закон Ньютона.

3. Напишите дифференциальные уравнения прямолинейного, плоского движения материальной точки и пространственного движения материальной точки.

4. Сформулируйте постановку основной задачи динамики точки.

5. Что представляют собой начальные условия движения точки?

6. При каких условиях материальная точка совершает прямолинейное движение.

7. Составьте дифференциальное уравнение падающей вниз материальной точки под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости точки.

8. Составьте дифференциальные уравнения точки, движущейся по наклонной плоскости вниз, если ее масса равна m, угол наклона - α, коэффициент трения – f.

9. Составьте дифференциальные уравнения точки, движущейся по наклонной плоскости вверх если ее масса равна m, угол наклона - α, коэффициент трения – f.

10. Составьте дифференциальные уравнения движения точки, брошенной под углом α к горизонту под действием силы тяжести без учета силы сопротивления.

11. Составьте дифференциальные уравнения движения точки, брошенной под углом к горизонту α с учетом силы сопротивления, пропорциональной скорости.

12. Составьте дифференциальное уравнение для точки, движущейся в горизонтальной плоскости под действием силы тяжести и силы сопротивления .

13. Составьте дифференциальное уравнение для точки, движущейся в горизонтальной плоскости под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной второй степени скорости.

26