6.1. Распространение волн в грунтах при динамических воздействиях

Дифференциальные уравнения распространения волн в изотропной иде­ально упругой среде плотностью  можно получить из общих уравнений рав­новесия прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рис.6.1), выде­ленного в произвольной точке упругой среды.

z

w

_z

_zx

_zy

_xz

_yz

_x

x

_xy

_yx

u

v

_y

y

Рис.6.1. Напряжения на гранях бесконечно малого параллелепипеда упругой среды

С этой целью воспользуемся уравнениями равновесия этого элемента теории упругости [12], записанными в перемещениях. Усилия, входящие в эти уравне­ния, приравняем нулю и добавим члены, содержащие инерционные силы.

Тогда дифференциальные уравнения перемещения волн в упругой среде при­мут вид:

(6.1)

где: объёмная деформация;

оператор Лапласа второго порядка;

E и G – модули упругости и сдвига упругой среды соответственно;

коэффициент Пуассона;

u, v, w – перемещения элементов упругой среды соответственно вдоль коорди­натных осей 0x, 0y, 0z (рис.6.1).

Если предположить, что перемещения происходят только вдоль направле­ния оси 0x, то u = u(x,t); v = w = 0.

В этом случае

Если подставить полученные значения в систему дифференциальных урав­нений (6.1), то второе и третье уравнения удовлетворяются тождественно, а первое принимает вид:

(6.2)

Обозначим

(6.3)

Здесь С₁ представляет собой скорость распространения деформаций в упру­гой среде.

Решение дифференциального уравнения (6.2) можно представить в следую­щем виде:

(6.4)

где: А – амплитуда колебания, зависящая от интенсивности внешнего воз­действия и равная наибольшему перемещению каждой точки в упругой среде;

l₁ – длина продольной волны (расстояние между точками среды с одинако­выми перемещениями в один и тот же момент времени).

Период колебания равен:

(6.5)

Из соотношения (6.3) видно, что скорость распространения волн расшире­ния зависит только от упругих свойств грунта.

Рассмотрим теперь распространение поперечных волн (волн искажения) в упругой среде. В этом случае в точках упругой среды, расположенной на оси 0х, возможны только поперечные перемещения, параллельные оси 0z (рис.6.1), поэтому w= w(x,t); v = u = 0.

Кроме того:

После подстановки этих величин в систему дифференциальных уравнений (6.1) первые два уравнения обращаются в тождество, а третье уравнение при­нимает вид:

(6.6)

В этом случае скорость поперечных волн равна:

(6.7)

а соотношение (6.8)

С учетом численных значений коэффициента Пуассона грунтов из соотно­шения (6.8) следует, что скорость поперечных волн всегда меньше скорости продольных волн. То есть в упругой среде продольные волны опережают попе­речные. Это явление наблюдается при землетрясениях. На сейсмических стан­циях судят о расстояниях от эпицентра землетрясения по величине запаз­дыва­ния поперечных волн в сравнении с продольными.

Численные значения С₁ и С₂ для некоторых видов грунтов представлены в таблице 6.1.

Таблица 6.1.

№	Тип грунта		С1, см/сек	С2, см/сек
1	Песок	слабовлажный	200-500	120-150
		водонасыщенный	500-1000	120-150
2	Глины и суглинки	твердые	1100-1500	400-600
		пластичные	300-1000	150-400
3	Лёсс естественной влажности		600-800	130-160
4	Гравелисто-песчаный грунт		400-1000	150-200

Для поперечных колебаний решение дифференциального уравнения (6.6) имеет вид:

(6.9)

где B - амплитуда поперечных колебаний,

l₂ = T₂  C₂ - длина поперечной волны,

T₂ - период колебания.

Поперечные колебания сопровождаются сдвигами и искажениями углов, по­этому они и называются волнами искажения.

В однородной упругой среде продольные и поперечные волны распростра­няются независимо друг от друга. В зависимости от характера начального смещения среды, вызывающего колебания, могут возникнуть либо оба указан­ных вида волн, либо один вид.

На поверхности среды возможно появление волн различного типа, прони­кающих внутрь среды лишь на небольшую глубину (порядка длины волны). Так как все источники возбуждения колебания расположены фактически на по­верхности промышленных территорий (или близко к ним), изучение по­верхно­стных волн представляет большой интерес при решении рассматривае­мой за­дачи. Подробное ис­следование динамики движения поверхностных волн (волн Релея ) в упругой среде представлено в работе [13].

Поверхностные волны, распространяясь лишь в двух направлениях, на срав­нительно небольшом расстоянии от источника приобретают непрерывно воз­растающее преобладание над продольными и поперечными. Поэтому, при ре­шении практических задач динамики оснований обычно принимают во внима­ние именно поверхностные волны.

Скорость С₃ распространения поверхностных волн в однородной среде не­сколько меньше скорости поперечных волн:

С₃ = nС₂. (6.10)

Коэффициент n определяется путем решения уравнения:

(6.11)

Например, при численном значении коэффициента Пуассона  =0,25 полу­чим:

или

Из трех корней этого уравнения следует выби­рать наименьшее значение n² (иначе теряется физический смысл решае­мой задачи). Поэтому а С₃ = 0,92С₂.; при  =0,5 n = 0,95 и С₃ = 0,95С₂.

Периоды колебаний грунта, вызываемых поверхностными волнами, распро­страняющимися от фундаментов машин с установившимся движе­нием, равны периодам возмущающих сил, возникающих при работе машин. Что касается колебаний грунта, наблюдающихся при действии на фун­дамент ударных или иных нагрузок типа импульса, то, как показали экспериментальные исследова­ния И.Р.Свинкина [18] , Я.Н.Смоликова [19] и других авторов, периоды этих колебаний весьма близки к периодам собственных колебаний фундамента - ис­точника, возникающих под действием ударов.

Таким образом, если известны характеристики упругости среды, в каждом случае нетрудно приближенно вычислить скорость распростра­нения поверхно­стных волн, а для источников подвергающихся действию ударных нагрузок - также и периоды Т колебаний грунта. Зная вели­чины С₃ и Т для различных случаев можно найти длину рас­пространяющихся волн, численно равную про­изведению С₃Т.

Скорость распространения поверхностных волн в грунтах четвер­тичных от­ложений, на которых возведено подавляющее большинство промышленных предприятий, обычно колеблются в пределах от 75 м/с до 300 м/с , а соответст­вующие этим цифрам длины волн в пре­делах от 2 до 200 м (в зави­симости от частоты). Так, если длины волн, распространяющихся от фунда­ментов низко­частотных машин (компрессоров, лесопильных дробилок и др.) весьма значи­тельны и достигают несколько десятков (и иногда и сотен) мет­ров, то для вы­сокочастотных агрегатов они значительно меньше. Например, от фундаментов под турбоагрегаты при скорости вращения вала 1500-3000 об/мин распростра­няются волны длиной не более 10-12 м. Длины волн, рас­пространяющихся от фундаментов под молоты, собственные частоты, которых обычно близки (800-1200 кол/мин), варьируют в пределах от 5 до 20 м.

Для предупреждения неравномерных осадок оснований, сложенных из не­связных грунтов, большое значение имеет вопрос выбора безопасного расстоя­ния между источником вибрации и основанием, при котором не возникнет про­цесс виброползучести грунта основания.

Определение амплитуд поверх­ностных волн на сравнительно больших рас­стояниях от источника колебаний можно производить по формуле Д.Д. Бар­кана [1]:

(6.12)

где А_r и A₀ - амплитуды колебаний грунта на расстоянии r и r₀ от источника; ex - коэффициент затухания колебаний, м ^-1.

На основании опытов, произведенных Я. Н. Смоляковым, в прак­тических целях для различных грунтов можно пользоваться следую­щими значениями коэффициента затухания колебаний :

мелкозернистые песчаные, супесчаные и суг­линистые грунты, насыщенные во­дой = 0,03 -0,04 м ^{– 1};

пески средние и крупнозернистые (независи­мо от влажности); влажные глины и суглинки =0,04 - 0,06 м ^{– 1};

суглинки и супеси (сухие и слабовлажные) = 0,06 - 0,10 м ^–1.

Существенное значение имеют результаты экспериментального изучения из­менений амплитуд поверхностных волн по глубине. Так, оказалось, что на ма­лых глубинах, не превышающих 0,2 - 0,3 длины волны, амплитуды колеба­ний уменьшаются сравнительно незначи­тельно.

О характере затухания поверхностных волн по глубине можно судить по графику Д. Д. Баркана (рис.6.2), который построен по данным измерения вер­тикальных колебаний, вызываемых работой копра.

Рис.6.2. Изменение амплитуд колебаний грунта под фундаментом

Следует иметь в виду, что в непосредственной близости к фун­даменту (ис­точнику волн) характер изменения амплитуд с глубиной будет несколько иным (рис.6.3). Рассматривая этот график, можно убедиться, что не следует за­клады­вать фундаменты машин (например, насосных или компрессорных це­хов) глубже, чем смежные фундаменты зда­ний или сооружений; часто целесо­образ­нее на­значать глубину заложения фундаментов под машины (на основа­нии опытов, произведенных Я. Н. Смоликовым) меньше, чем глубина заложе­ния фундамен­тов близлежащих зданий.

Некоторые задачи динамики дисперсных грунтов принципиально не могут быть решены в рамках модели упругой среды. Так, например, решение задачи о распространении плоской волны приводит к отсут­ствию угасания и измене­ния профиля волны с расстоянием, что про­тиворечит опытным данным.

Более сложной является модель нелинейно упругой среды, в которой зависи­мость между напряжениями и деформациями нелинейна, но одинакова при росте и снижении нагрузки.

A₂

A₃

A₁

Фундамент –

источник

колебаний

Рис.6.3.Изменение амплитуд колебаний грунта на различном расстоянии от фундамента

Но формула Д.Д.Баркана (6.12) не учитывает свойства грунтов строительной площадки, геометрической формы фундамента – источника колебаний, вида и частотной характеристики динамического воздействия на фундамент. Как показывают данные натурных наблюдений, расчет по этой формуле приводит к завышенным значениям амплитуд колебаний.

Наиболее точные результаты дает метод оснований на анализе эксперимен­тальных и натурных исследованиях, выполненных О.А.Савиновым, Я.Д.Гиль-зельбергом, М.И.Забылиным и В.В.Игольниковым, В.А.Ильичевым и В.Г.Тарановым, А.А.Саниковым , Э.И. Дасовым и другими.

В основу метода положены результаты теоретического исследования рас­пространения волн в упругом полупространстве при сосредоточен­ных горизон­тальном, вертикальном и моментном воздействиях, выпол­ненного Я.Д.Гиль-зельбергом и К.И.Огурцовым [6, 7]. В ходе этого исследования были полу­чены формулы, описывающие поля смещения по­верхности полупро­странства от ка­ждого из указанных воздействий, изменяющихся во времени по линей­ному за­кону. Далее, пользуясь мето­дом наложения, авторы осуществили пере­ход к им­пульсному (треуголь­ному) и синусоидальному воздействиям, а затем построили для таких источников сеймограммы на различных расстоя­ниях от них.

Полученные Я.Д.Гильзельбергом и К. И. Огурцовым графики зависи­мости максимальных смещений поверхности полупространства от относительного расстояния r/s (где r - расстояние от оси источни­ка; s - полуразмер его по­дошвы) при (вертикальное воздействие) представлены на рис. 6.4 – 6.6. Символом W обозначена вертикальная, U_r и U_v - соответственно ради­альная и тангенсальная составляющая максимального смещения по­верх­ности грунта, выраженные в процентах от величины максимально­го смещения грунта непо­средственно рядом с фундаментом-источником колебаний в рас­сматри­ваемом направлении.

Рис.6.4. Графики зависимости W = f(r/s)

Рис.6.5. Графики зависимости U_r = f(r/s)

Рис.6.6. Графики зависимости U_v = f(r/s)

Из графиков видно, что эти смещения зависят от частоты возму­щения f и от параметра Как оказалось, около фундаментов промышленных устано­вок можно выде­лить зону, в которой сказываются особенности прило­жения динамической нагрузки на грунт. Главный признак этой зоны - форма волнового фронта, которая из прямо­угольной, соответствующей форме по­дошвы источника, вырождается с расстоянием, проходя через эллип­тическую в кольцевую, такую же, как у сосредоточенного источника.

При низкочастотных возмущениях, характерных для промышленной сейс­мики, величины максимальных Релеевских или квазистатических смещений, вызванных гармоническим и импульсным воздействиями, близки друг к другу , что в принципе позволяет распространить графики, помещенные на рис.6.4-6.6 на все типы промышленных установок.

Эти выводы были подтверждены путем экспериментальных исследований в полигонных и натурных условиях. Одновременно были проанализиро­ваны дан-ные экспериментов, проведенных другими авторами. Цель ра­боты заклю­чалась в проверке результатов теоретических исследований и в получении до­полни­тель­ных данных, необходимых для учета поглощения энергии на пути распро­стра­нения волн, выявления местных особеннос­тей передачи колебаний от фун­да­мента грунтовому массиву и др.

В соответствии с этим в составе обследован­ных объектов имелись ис­точ­ники как с импульсным, так и гармоническим ха­рактером воздей­ствия.

Основные результаты экспериментальных исследований сводятся к следую­щему:

- всесторонне проверен и подтвержден основной вывод о том, что каждому сочетанию инженерно-геологических условий промплощадки и особенностям приложения динамической нагрузки соответствует своя кривая затухания коле­баний с расстоянием от источника;

- подтверждена правильность вывода исследователей о на­личии перепада амплитуд колебаний между фундаментом машины (источ­ником колебаний) и грунтом рядом с ним. Установлено, что коэффи­циент перепада К_П , равный от­ношению амплитуды колебаний грунта рядом с фундаментом к амплитуде ко­лебаний фундамента, зависят от соотношения между частотами собственных и вынужденных колебаний источника и от характеристик упругости грунтов ос­нования.

В дорезонанской области всегда К_П < 1 . В области первого ре­зонанса вели­чина К_П достигает минимума, а в зарезонанской области возрастает и при неко­торых условиях может быть больше единицы. Для низкочастотных не­уравно­вешенных машин величину К_П можно опре­делить по графику (рис. 6.7).

Рис.6.7.Функциональная зависимость К_П = f (₀ = C₂ /C₁)

Подтвержден вывод о существовании около фундамента источника волн "ближней" зоны, в которой необходимо учитывать особенности приложения нагрузки. Радиус r_з площади "ближней" зоны может с достаточной для практи­ческих целей точностью определяться по фор­муле [17]:

(6.13)

где: _з – разница в длинах сторон подошвы фундамента – источника колеба­ний;

f₀ – безразмерная величина, численно равная частоте возмущения f, Гц;

s_б – полуразмер большей стороны подошвы фундамента.

Натурные измерения, проведенные на 30 промышленных площадках с раз­личными грунтовыми условиями, показали [17], что наиболее точно характер за­тухания колебаний, вызванных работой промышленных установок, выража­ется формулой:

(6.14)

где: A₀ и A_r – амплитуда вертикальных (горизонтальных) колебаний грунта соответственно под подошвой фундамента и на расстоянии r от центра пло­щади его;

 - относительная амплитуда колебаний, определяемая по соответствующим графикам (рис. 6.4 и 6.5);

₀ – параметр, учитывающий в «ближней» зоне не только неупругие свой­ства грунта, но и особенности приложения динамической нагрузки.

В интервале s  r  r_з (6.15)

а при r > r_з (6.16)

где:  - безразмерный коэффициент, принимаемый для вертикальных коле­баний равным 0,06, а для горизонтальных – 0,043;

i – отношение большей стороны подошвы фундамента (источника вибра­ций) к меньшей.

Учитывая, что часто при проектировании отсутствуют сведения о скоростях продольных и поперечных волн в грунтах, Я.Д. Гимзельберг предложил для определения параметра следующую эмпирическую формулу [7]:

(6.17)

где p₀ – условное расчетное давление на грунт, кгс/см ² (СНИП II.15-74).