IV. Контрольні запитання

1. Галактична система координат.

2. Функція блиску.

3. Функція світності і зоряної густини.

4. Рівняння Шварцшильда.

5. Теорема Зеєлігера.

V. Програма підготовки

1. Вивчити теоретичний матеріал.

2. Підготувати відповіді на контрольні запитання.

3. Ознайомитися з методичними вказівками.

4. Підготувати міліметровий папір для графіку.

Vі. Методичні вказівки

1. Підрахунки зір виконуються в межах заданої ділянки прямих піднесень кожним студентом самостійно. Пункти 7, 8 виконуються після узагальнення результатів підрахунків по всій сфері.

2. Результати підрахунків зір оформлюються у вигляді табл. 1 (див. додатки). Наприклад, в клітинці +10 по схиленню і 1^m по зоряній величині проставляється число зір штрихами-мітками, які мають зоряну величину від 0,5^m до 1,5^m, схилення яких лежить в межах від 0 до +10, згідно з даними зоряного каталогу для вказаної ділянки небесної сфери.

3. Для узагальнення результатів по всій сфері (табл. 2, див. додатки) потрібно визначити просумувавши значення А(m) з табл.1 за результатами по кожній ділянці , де 1, 2, 3, ... – номери ділянок, потім визначити і оформити в табл. 2 (див. додатки).

4. Для визначення положення галактичного екватора в 3 робочому завданні необхідно на зоряних картах даної ділянки небесної сфери знайти лінію галактичного екватора і зобразити на рис.4 (див. додатки) схему його орієнтації відносно ліній сітки другої екваторіальної системи координат, яка представлена на картах. Підрахунки кількості зір в південній і північній галактичних півкулях провести в довільно обраних ділянках зоряних карт, але рівновеликих за площею і симетричних відносно галактичного екватора.

5. Графічну залежність lgN(m) побудувати за значеннями з табл.1 і табл.2 та порівняти результати, одержані в робочих завданнях 8 і 9 (рис. 5, див. додатки).

VІІ. Зміст звіту.

1. Протокол лабораторної роботи.

2. Результати підрахунків зір, табл. 1 і табл. 2.

3. Розташування галактичного екватора (рис. 4).

4. Графік залежності lgN(m) від m (рис. 5).

5. Теоретичні знання згідно контрольних запитань.

6. Висновки.

Vііі. Теоретична частина

Працями багатьох астрономів, насамперед Вільяма і Джона Гершеля та Василя Струве, було встановлено, що зорі обох півкуль неба утворюють єдину зоряну систему – Галактику, названу так від грецького слова «гала» – молоко, бо на зоряному небі добре видно білясто-молочну смугу, Молочний шлях (Чумацький шлях, оскільки в Україні за напрямом цієї смуги орієнтувалися чумаки в походах на південь до морських лиманів за сіллю).

Для вивчення структури Галактики введена система галактичних сферичних координат. В цій системі основною площиною є площина великого кола небесної сфери, яке проходить приблизно вздовж середньої лінії Молочного шляху і називається галактичним екватором. Площина галактичного екватора нахилена до площини небесного екватора під кутом = 62,6 і перетинається з ним в двох діаметрально протилежних точках – галактичних вузлах. Висхідний галактичний вузол  (рис. 1) розташовується в сузір’ї Орла, а спадний галактичний вузол ℧ розташовується в сузір’ї Єдинорога.

Площина галактичного екватора називається галактичною площиною. Дві точки рівновіддалені на 90 від будь-якої точки галактичної площини, називаються північним галактичним полюсом П, який розташовується в сузір’ї Коси Вероніки і південним галактичним полюсом П′, який розташовується в сузір’ї Скульптора . Галактична площина ділить небесну сферу на північну та південну галактичну півкулі.

Великі півкола ПSП′, проведені через галактичні полюси і світило S, називаються колами галактичної широти. Місце розташування світила S визначається в галактичній системі двома координатами: галактичною широтою b і галактичною довготою l.

Галактична широта (рис. 1))вимірюється вздовж кола широти ПSП′ по обидві сторони від галактичної площини і змінюється від 0 до +90 на північному полюсі П Галактики та від 0 до -90 на південному полюсі П′. Галактична довгота відраховується вздовж лінії галактичного екватора проти годинникової стрілки, з заходу на схід від точки С, яка відповідає напряму на центр Галактики С від спостерігача О. Галактичні довготи l змінюються від 0до 360.

Центр Галактики знаходиться в сузір’ї Стрільця поблизу його межі з сузір’ями Скорпіона і Змієносця. Відстань до висхідного вузла Ω від точки С становить СΩ = 33.

За точними даними центр Галактики С має галактичну широту b = -1,5. Причиною цього є те, що Сонце розташоване ~ на 17 пк вище на північ від галактичної площини. Як наслідок, в північній галактичній півкулі спостерігається дещо менша кількість зір. Галактична довгота північного полюса Р світу l = 123.

Рис. 1. Галактична система координат QQ – небесний екватор, ПП – галактичний екватор, S – зоря з координатами l і b.

Зоряні підрахунки вперше були виконані ще в ХVІІІ сторіччі В. і Д.Гершелями. За цими підрахунками була побудована перша модель Галактики і визначено положення Сонця в ній.

В першій половині ХХ сторіччя зоряною статистикою займалися Ф.Сірс, Я.Каптейн, П.Райн, К.Шварцшильд, роботи яких привели до суттєвого уточнення моделі Галактики. Було визначено її розміри, число і просторова густина зір.

Функція блиску. Розрізняють диференціальну і інтегральну функції блиску зір. Інтегральна функція блиску N(m) визначається як кількість зір, які мають зоряну величину до m–ї включно. Інтегральна функція блиску характеризує розподіл зір за видимими зоряними величинами.

Диференціальна функція блиску А(m) визначається як кількість зір, які мають визначену зоряну величину в діапазоні від (m – 1/2) до (m + 1/2):

, (1)

, (2)

. (3)

Функції А(m) і N(m) можуть визначатися в розрахунку на одиницю поверхні небесної сфери, тобто на 1 квадратний градус, або для довільної ділянки, або для всієї небесної сфери. Функція блиску характеризує розподіл зір за видимими зоряними величинами.

Функція світності і зоряної густини. Функція світності характеризує розподіл зір за абсолютними зоряними величинами. Розрізняють також інтегральну і диференціальну функції світності. Інтегральна функція світності Ф(М) – це доля зір від розглядуваної кількості, які мають абсолютну зоряну величину до М-ї включно.

Диференціальна функція світності – це доля зір від розглядуваної кількості, які мають абсолютну зоряну величину в межах від М до (М+dМ):

. (4)

Згідно з означенням, очевидно:

,

=1.

Рис. 2. Графік диференціальної функції світності.

Визначення функції світності є досить складною задачею, оскільки практично неможливо врахувати зорі малих світностей (субкарлики, карлики) на великих відстанях. В сучасній зоряній астрономії користуються функцією світності , яку запропонував московський астроном П.П.Паренаго (рис. 2). Доля зір високих світностей надзвичайно мала. Максимум кривої відповідає зорям з М = 15^m, тобто майже на 10 величин слабших за Сонце (М_⊙ = 4,7^m). Крива має два максимума, що говорить про розподіл зір в Галактиці на дві статистичні групи: гіганти (М ≈ 4,9^m) і карлики (М ≈ 15^m). Було б важливо мати значення функції світності для кожної точки Галактики. Однак, в віддалених областях можна спостерігати лише зорі-гіганти та надгіганти. Через це реальні намагання отримати цю функцію здійсненні лише для околиці Сонця.

Функція зоряної густини D(r) характеризує число зір в одиниці об’єму і простору в даному напрямку і на деякій відстані r від спостерігача.

В околі Сонця функція зоряної густини D(0) визначається досить точно. Для сферичного простору з радіусом r = 10,5 пк, що оточує Сонце, отримано багато надійних даних. Прийнято значення D(0) = (0,138 0,09) пк^-3.

Рівняння Шварцшильда пов’язують між собою відому зі спостережень функцію А(m) і дві функції D(r) і . Рівняння справедливі тоді, коли функція світності визначається для певного об’єму Галактики і у межах певної ділянки поверхні небесної сфери в розрахунку на один квадратний градус. Рівняння одержані в 1910 р. німецьким астрономом Карлом Шварцшильдом.

Нехай в точці О (рис. 3) знаходиться спостерігач. Визначимо кількість N зір, що знаходяться в межах певного тілесного кута  на відстані r від спостерігача, в деякому елементарному об’ємі V.

Припустимо, що dr 0. Тоді можна вважати фігурою цього елементарного об’єму циліндр висотою dr і площею основи S = r² (S = 4 r² – площа круга).

0

Рис. 3. До визначення кількості зір в межах тілесного кута

Його об’єм V = r²dr. Якщо в цьому елементарному об’ємі функція зоряної величини є D(r), то тоді загальна кількість зір в ньому буде:

N = D(r)r²dr. (5)

Якщо диференціальна функція світності в елементарному об’ємі V є відомою і незмінною, то кількість зір в цьомуоб’ємі, які мають видиму зоряну величину m і для яких абсолютна зоряна величина М = m + 5 - 5lgr визначиться так:

А(m) = D(r)r²dr. (6)

Повну кількість зір А(m) m–ої зоряної величини в тілесному куті  можна знайти, якщо значення А(m) проінтегрувати по r:

. (7)

Отримане рівняння (7) називають першим рівнянням зоряної статистики.

Якщо в (7), крім D(r), невідома ще і функція , то потрібно одержати ще одне рівняння, щоб із системи двох рівнянь визначити дві невідомі функції: D(r) і .

Для цього потрібно мати спостережувані дані про будь-яку іншу зоряну характеристику, пов’язану з D(r) і , наприклад, середнє значення паралакса зір m– ої зоряної величини: .

Відмітимо, що паралакс зір, які знаходяться в елементарному об’ємі V, дорівнює . Щоб одержати середній паралакс зір, які мають зоряну величину m в обраному тілесному куті , необхідно величину помножити на число зір в елементарному об’ємі , потім проінтегрувати по і поділити на повну кількість зір зоряної величини m в тілесному куті , тобто на . Отже, запишемо, користуючись (6):

Отримане рівняння (8) називається другим рівнянням зоряної статистики. Система рівнянь (7—8) дає змогу через відомі зі спостережень величини r, A(m), визначити значення функцій D(r) і .

Теорема Зеєлігера була сформульована в 1889 р. німецьким астрономом Хуго Зеєлігером.

Теорема. Якщо простір рівномірно заповнений зорями різних світностей, є абсолютно прозорим і функція світності є незмінною в усьому його об’ємі, то при переході від меншої зоряної величини до більшої кількість зір повинна змінюватися в 3,98 рази:

Оберемо сферу такого радіусу r навколо Сонця, щоб зоря з абсолютною зоряною величиною M мала на межі цієї сфери видиму зоряну величину m:

.

Тоді загальна кількість зір до m-ої зоряної величини включно, тобто інтегральна функція блиску , буде пропорційна об’єму цієї сфери, тобто:

 .

Освітленість, що створена зорею деякої зоряної величини m, може бути визначена, по-перше, із закону обернених квадратів:  , по-друге, із формули Погсона:  .

Прологарифмуємо ці три співвідношення:

Продиференціюємо їх:

(9)

(10)

(11)

З рівняння (10) маємо:

. (12)

Підставимо цей вираз в (9):

. (13)

Підставимо (11) в (13):

. (14)

. (15)

Для зоряної величини (m+1) можна записати:

. (16)

Взявши різницю останніх виразів, маємо:

(17)

Теорему доведено. В реальних умовах спостережень вона не виконується, бо не виконуються умови теореми про рівномірність заповнення простору зорями і про його абсолютну прозорість. Х.Зеєлігер з’ясував, що в усіх напрямках N(m) зростає повільніше ніж це виходить з його теореми, причому тим повільніше, чим далі від середньої лінії Молочного шляху. Це може бути викликано такими причинами: 1) зменшенням зір при віддаленні від Сонця; 2) поглинанням світла в міжзоряному просторі; 3) збільшенням долі зір малих світностей при віддаленні від Сонця. На другу причину вказував ще В.Струве в 1847 р. Х.Зеєлігер визнав тільки першу причину і побудував модель Галактики, схожу на модель В.Гершеля, який зауважив, що «Сонце розташоване поблизу центра плоского шару нерухомих зір, протяжність якого в площині Молочного шляху приблизно у п’ять разів більше ніж у перпендикулярному напрямку». Нідерландський астроном Я.Каптейн у 1922 р. теж не наблизився до правильного трактування спостережень, хоча і виконав великий обсяг досліджень, використавши метод підрахунку зір на 206 обраних ділянках. Лише в 1926 р. шведський. астроном Б.Ліндбланд запропонував концепцію підсистем Галактики, які обертаються з різними швидкостями і мають різну ступінь стиснутості.