Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка

Кафедра вищої математики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

З АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ НАПРЯМУ ПІДГОТОВКИ 6.060102

«АРХІТЕКТУРА»

Полтава 2011

Конспект лекцій з аналітичної геометрії для студентів напряму підготовки 6.060102 «Архітектура». — Полтава: ПолтНТУ, 2011. — 25 с.

Укладачі: Л.М. Блажко, к.ф.–м.н., І.В. Рассоха, ст. викладач.

Відповідальний за випуск: Cєров М.І., завідувач кафедри вищої математики, доктор фізико–математичних наук, професор.

Рецензент: Малінський С.М., к.ф.–м.н., доцент,

Плюхін О.Г., к.ф.–м.н., ст. викладач.

Затверджено науково-методичною

радою університету

від 03.02. 2012 р., протокол № 6

26.07.02.05

§1. Предмет і методи аналітичної геометрії

Iз шкільного курсу математики відомо, що предметом вивчення геометрії є геометричні об’єкти. Предметом вивчення аналітичної геометрії є вивчення геометричних образів алгебраїчними методами. Способом встановлення зв’язку між геометричними образами і числами є метод координат. Iдея координат є однією із найдавніших. Ще в стародавнi часи астрономии i географи користувалися сферичними координатами (широтою i довготою), щоб описати положення точки на сферичнiй поверхнi. Спираючись на досягнення бурхливого розвитку науки i технiки, який розпочався в XVI cт., французький математик Рене Декарт заклав основи сучасної аналітичної геометрії. Рене Декарт запропонував положення точки на площинi визначати за допомогою двох чисел — її координат, а кожну лiнiю на площинi розглядати як множину точок з певною властивiстю. Цю властивiсть записують у виглядi рiвняння, яке називають рiвнянням даної лінії. Такий метод дослiдження геометричних образiв називають методом координат. Метод координат дозволяє конкретному геометричному образу поставити у відповідність його рівняння, а потім шляхом дослідження цього рівняння вивчити властивості геометричного об’єкта.

§2. Системи координат Декартова система координат

Двi взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, якi мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат на площині.

Рис. 1

Осі Ох, Оу називаються відповідно осями абсцис, ординат, точка О — початок системи координат. Нехай М — довільна точка на площині. Декартовими координатами x, y точки М називатимемо відповідно довжини ОА, ОВ напрямлених відрізків

Таким чином, кожній точці на площині простору відповідає впорядкована пара чисел (x, y), тобто встановлюється відповідність між геометричним образом  — точкою і впорядкованою множиною чисел. Ця відповідність дає можливість використовувати рівняння для відображення геометричних образів, таких як лінія, площина тощо, та застосовувати алгебраїчні методи для розв’язування геометричних задач.

Полярна система координат

Полярна система координат складається з деякої точки площини О, яка називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки і називається полярною віссю. Крім того, задається одиниця масштабу для вимірювання довжин відрізків.

Рис. 2

Рис. 3

Полярними координатами точки М називаються числа  — відстань від полюса О до точки М і  — кут, на який треба повернути полярну вісь ОА до її збігу з ОМ, поворот вiдбувається проти руху годинникової стрілки.

Полярний радіус може змінюватись у межах < ∞, полярний кут, як правило, змінюється в межах < .

Зв’язок між полярними і декартовими координатами точки (рис.3) встановлюють формули:

(2.1)

Формули (1) називають формулами переходу.

Приклад. Знайти полярні координати точки М (2;2).

Використаємо формули (2.1): , tg = 1. Згідно з останньою рівністю або , оскiльки у = 2 > 0 і х = 2 > 0, то . Отже, полярнi координати точки

Зауваження. Є міста, засновники яких ніби віддавали данину точним наукам. Математична строгість із самого початку вносилась у плани цих міст. Наприклад, карта одного із найстаріших районів Петербурга — Василівського острова. Його лінії і проспекти, перетинаючись під прямим кутом, утворюють геометрично правильну сітку. За таким же принципом збудовано центральну частину Нью–Йорка — Манхеттен. Математична строгість полягає у продольних вулицях — авеню і поперечних — стрит. Вулицям присвоєно не назви, а номери. В такій сітці вулиць не заблукаєш: два числа — номер стрит і номер авеню однозначно, вказують на положення кожного перехрестя. Таким чином, план міста з прямокутною сіткою вулиць перетворюється у прямокутну систему координат. Старовинні слав’янські міста часто забудовувались по іншому принципу. Спочатку з’являлась фортеця, а потім навколо неї кільцем розміщувався посад, де проживали прості люди. З ростом населення таких міст з’являлись нові кільця поселень. За таким принципом збудовано, наприклад, Москву та центральну частину Полтави. Така структура носить назву радіально–кільцевої. Якщо спрямувати радіальні вулиці, а кільцеві перетворити у чіткі кола, то положення будь-якої точки на плані такого міста може бути визначено як перетин двох вулиць — радиальної і кільцевої.