- •(Для студентов специальности 7.010104 “Профессиональное обучение. Промышленное, гражданское и сельскохозяйственное строительство”)
- •Оглавление
- •1. Исследовательская и изобретательская деятельность
- •1. 1. Понятие о научно-исследовательской работе.
- •2. Основы измерения физических величин
- •2.2. Основные понятия об измерениях физической величины Блок-схема процесса измерения
- •2.3. Прямые и косвенные методы измерения
- •2.4. Аналоговые и цифровые методы измерений
- •2.5. Непрерывные и дискретные методы измерения
- •2.6. Методы отклонения и компенсационный метод
- •2.7. Классификация средств измерений
- •2.8. Структура измерительных приборов
- •2.9. Метрологические характеристики средств измерения
- •3. Погрешности измерений и их причины
- •3.1. Представительность измеряемой величины
- •3.2. Погрешности, связанные с процессом измерения
- •3.3. Погрешности, связанные с обработкой измеренных величин
- •3.4. Погрешности измерительных устройств
- •4. Статические погрешности измерений
- •4.1. Виды погрешностей
- •4.2. Случайная погрешность отдельного измерения
- •4.3. Случайная погрешность среднего значения
- •4.4. Систематическая погрешность
- •4.5. Распространение погрешностей
- •5. Способы обработки результатов измерений с учетом статистических погрешностей
- •5.1. Проверка гипотезы нормальности распределения
- •5.2. Грубые погрешности измерения и их отсеивание
- •5.3. Различие средних значений
- •5.4. Линейная регрессия
- •5.5. Линейная корреляция
- •5.6. Автоматическая коррекция погрешности
- •6. Динамические погрешности измерений
- •6.1. Измерение как процесс передачи сигналов
- •6.2. Сигналы и их математическое описание
- •6.3. Временные характеристики детерминированных сигналов
- •6.4. Временные характеристики стохастических сигналов
- •6.5. Частотные характеристики периодического сигнала
- •6.6. Частотные характеристики апериодического сигнала
- •6.7. Частотные характеристики стохастического сигнала
- •6.8. Дискретные сигналы
- •6.9. Динамические погрешности измерения
- •7.2. Погрешности отображения (преобразования) физической величины
- •7.3. Способы и средства первичного преобразования физической величины
- •7.4. Виды первичных преобразователей
- •7.5. Эффекты и чувствительные элементы, используемые для первичного преобразования
- •7.6. Измерительные преобразователи с электронным цифровым выходным сигналом
- •8. Приборы выдачи информации
- •8.1. Аналоговые приборы выдачи информации
- •8.2. Приборы выдачи цифровой информации
- •8.3. Дискретно-аналоговые преобразователи
- •8.4. Печатающие устройства для результатов измерений
- •8.5. Электронно-лучевые визуальные приборы
- •9. Способы и средства измерения продольных деформаций, наклепа и остаточных напряжений
- •9.1. Электрические способы измерения деформаций
- •Индуктивные тензометры
- •9.2. Механические способы измерения деформаций
- •9.3. Визуальные методы оценки деформаций
- •Литература
4. Статические погрешности измерений
Статическими погрешностями измерения называют погрешности, возникающие при определении постоянного во времени измеряемого значения. При этом предполагается, что все переходные процессы в измерительном устройстве завершены; следовательно, измерительный прибор и измеряемая величина находятся в установившемся состоянии.
4.1. Виды погрешностей
Если при указанных выше условиях проводить многократные независимые измерения, то возникает ситуация, при которой можно различать два принципиально отличающихся вида погрешностей, так называемые систематические и случайные погрешности.
Систематическую погрешность Еs определяют как отклонение действительного измеряемого значения от среднего значения (математического ожидания) :
Еs = -х
Математическое ожидание является средним значением бесконечного числа измерений:
= ai / n
При одинаковых условиях эта погрешность всегда имеет ту же самую абсолютную величину и тот же самый знак.
В противоположность этому ни абсолютная величина, ни знак отклонения отдельного измерения от математического ожидания не могут быть предсказаны заранее. Эта случайная погрешность обозначается через Еs. Она соответствует разности между показанием единичного измерения и математическим ожиданием:
Еаi = хаi -
Различию в природе обоих видов погрешности соответствуют разные способы их описания.
4.2. Случайная погрешность отдельного измерения
Колебания случайной погрешности, кажущиеся сначала совершенно беспорядочными, тем не менее, подчиняются в статистическом смысле известным законам.
Если показания какого-либо измерительного прибора, являющиеся сами по себе непрерывными, разбить на интервалы определённой ширины и вычислить относительную частоту попадания показаний в отдельные интервалы при повторных измерениях, то можно получить гистограмму.
При достаточно большом значении n это изображение является представительным, т.е. относительная частота стремится к некоторому пределу и перестаёт зависеть от n.
Если имеется достаточно большое число показаний, то можно улучшать гистограмму, уменьшая ширину интервалов . Тогда при предельном переходе и n ступенчатая функция гистограммы переходит в общем случае в непрерывную функцию – плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальную функцию распределения) h ( )
h ( ) =
Основываясь на определении плотности распределения, можно установить её прямую связь с функцией распределения. Вероятность того, что измеряемое значение попадает в интервал 1 < x £ x2, определяется площадью F, лежащей под графиком плотности распределения вероятности в этом диапазоне:
P ( 1 < £ 2) =
В частном случае имеем
P (- < £ + ) =
Часто при обработке результатов измерения представляет интерес вероятность того, что измеренная величина окажется меньше заданного предела 1:
P ( ) = P ( £ 1) = .
При - < £ + функция распределения изменяется от 0 до 1. В связи с тем, что функция распределения Р( ) определяется как интеграл плотности h( ), её часто называют также интегральной функцией распределения.
Аналогичным образом определяется вероятность того, что измеренная величина окажется больше, чем 1:
P ( > 1) =
Среди множества функций распределения особое место для измерительной техники занимает нормальное распределение (распределение Гаусса).
Плотность вероятности нормального распределения определяется следующим уравнением:
h ( ) = - < £ +
Нормальное распределение характеризуется, кроме математического ожидания , ещё только одним параметром - среднеквадратичным (стандартным) отклонением.
При известном среднеквадратичном отклонении можно вычислить вероятность того, что случайная погрешность Еаi – отклонение показания отдельного измерения от математического ожидания – будет меньше заданного граничного значения с. Эта вероятность
Р ( £с) = 2
называется доверительной вероятностью (статистической надёжностью).
При известном значении (рис.5.1) можно на основании единственного измерения указать верхнюю и нижнюю границы математического ожидания:
или
Математическое ожидание с доверительной вероятностью Р(%) лежит внутри этих границ. Интервал между этими границами называется доверительным интервалом математического ожидания.
Математическое ожидание определяется следующим образом:
Эта величина соответствует первому моменту плотности распределения – абсциссе центра тяжести площади между зависимостью плотности распределения и осью абсцисс.
Площадь фигуры, очерченной зависимостью , равна единице.
В качестве оценки для используется среднее значение :
Среднеквадратичное отклонение определяется из формулы
Величина , называемая дисперсией, соответствует второму моменту («моменту инерции») плотности распределения вероятностей.
В качестве оценки среднеквадратичного отклонения используется рассеяние S, определяемое по формуле