Пример 9. Вычислить .
Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим
.
Пример
10. Вычислить
.
Решение.
Числитель и знаменатель дроби при
стремятся к нулю. Преобразуем функцию,
выделим общий множитель
.
Пример 11. Вычислить .
Решение. Так
как
,
а
,
то имеет место неопределенность вида
.
Выполним преобразования
.
Пример 12. Найти точки разрыва функции.
если
Решение. На
интервалах
,
и
функция непрерывна. Проверке подлежат
только точки
и
.
Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.
Рассмотрим точку
.
.
Вычислим односторонние пределы
,
.
Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.
Рассмотрим точку
.
,
,
,
- точка непрерывности
функции, выполнены все условия
непрерывности.
- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 5).
Рис. 3.
Производная
Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
4.
Решение.
1.
2.
есть сложная функция.
,
где
.
Производная сложной функции имеет вид
или
.
Следовательно,
.
- сложная функция.
,
где
,
а
,
.
4.
4.
Функция
от независимой переменной
задана через посредство вспомогательной
переменной (параметра t).
Производная от
по
определяется формулой
.
Находим производные от и по параметру t:
,
,
.
Пример 2.
Составить уравнение касательной и
нормали к кривой
в точке, где
.
Решение.
Уравнение касательной к кривой в
точке
,
,
.
Для определения
углового коэффициента касательной
находим производную
,
.
Подставляя значения
в уравнение, получим
или
.
Уравнение нормали
,
или
.
Пример
3. Точка
совершает прямолинейное колебательное
движение по закону
.
Определить скорость и ускорение
движения в момент времени
.
Решение.
Найдем скорость
и ускорение а
движения в любой момент времени t
;
.
При
,
.
Дифференциал, производные высших порядков
Пример 1. Найти дифференциалы функций
;
2.
,
вычислить
.
Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:
;
.
Свойства дифференцируемых функций
Пример . Найти пределы используя правило Лопиталя.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Решение.
Убедившись, что имеет место
неопределенность
или
,
применяем затем правило Лопиталя.
1.
;
2.
;
здесь правило Лопиталя применено дважды.
3.
;
4.
.
Исследование поведения функций
Пример 1. Исследовать и построить график функции
.
Решение.
1. Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси
.
2. Функция нечетная,
ибо
,
ее график будет симметричен относительно
начала координат. Поэтому достаточно
построить график для
.
3. График функции
пересекается с осями координат только
в начале координат, так как
.
Исследуем функцию на наличие асимптот:
а) вертикальных асимптот график функции не имеет;
б) невертикальная
асимптота имеет уравнение
.
,
.
Таким образом,
уравнение асимптоты
.
Исследуем функцию на экстремум
.
нигде не обращается
в нуль;
не существует в точках
,
которые являются критическими.
Исследуем знак производной на интервале [0; ∞)
0
1
Рис. 5.
есть точка
максимума,
.
Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость
.
в точке
;
не
существует в точках
.
Эти точки могут быть абциссами точек
перегиба.
Исследуем знак второй производной на интервале [0; ∞)
0
1
Рис. 6
не является точкой перегиба.
Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции на интервале [0; ∞), затем симметрично полученному графику относительно начала координат на интервале (- ∞; 0)
Рис. 7
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [-4;
4].
Решение. 1.
Найдем критические точки функции
,
лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим
ее значения в этих точках:
;
в точках
и
.
Эти точки лежат внутри отрезка [-4;
4] и являются критическими. Других
критических точек нет, так как
производная существует всюду. Значение
функции в критических точках:
и
.
2. Вычислим значения
функции на концах отрезка [-4; 4]:
и
.
3.
Сравнивая все вычисленные значения
функции во внутренних критических
точках и на концах отрезка, заключаем:
наибольшее значение функции
на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается
ею во внутренней критической точке
,
а ее наименьшее значение равно -41 и
достигается на левой границе отрезка
.
Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.
Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать независимую переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.
Контрольная работа 2. Задания
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя. При решении примера (в) используйте формулы тригонометрии.
-
а
б
в
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12.
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20.
Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж функции.
2.1.
|
2.11.
|
2.2.
|
2.12. |
2.3.
|
2.13. |
2.4.
|
2.14.
|
2.5.
|
2.15. |
2.6.
|
2.16.
|
2.7.
|
2.17.
|
2.8.
|
2.18.
|
2.20. |
2.19.
|
2.10.
|
2.20.
|
3. Найти производные
данных функций.
3.1.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.3.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.5. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.6. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.7. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.8. а)
б)
;
в)
;
г)
.
3.9. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.10.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.11.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.12.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.13.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.14.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.15.а)
;
б)
;
в)
;
г)
3.16.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.17.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.18.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.19.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.20.а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
-
4.1.
;
4.11.
;
4.2.
;
4.12.
;
4.3.
;
4.13.
;
4.4.
;
4.14.
;
4.5.
;
4.15.
;
4.6.
;
4.16.
;
4.7.
;
4.17.
;
4.8.
;
4.18.
;
4.9.
;
4.19.
;
4.10.
;
4.20.
;
При выполнении контрольной работы на титульном листе указывается: