- •2. Визначники 3-го порядку. Означення. Оновні властивості
- •3.Мінори. Алгебраїчні доповнення.
- •5.Однорідні системи лінійних рівнянь.
- •11. Мінор матриці. Ранг матриці, його обчислення.
- •12.Теорема Кронекера-Капеллі
- •16. Розкладання вектора по базису.
- •17. Декартова система координат. Ортоганальний базис.
- •19. Поділ відрізка в даному відношенні.
- •Поділ відрізка в даному відношенні.
- •20. Скалярний добуток векторів, його властивості. Приклад.
- •21.Определение скалярного произведения векторов.
- •22. Застосування скалярного добутку.
- •2.3.1. Означення векторного добутку.
- •2.3.2. Властивості векторного добутку.
- •26.Мішаний добуток трьох векторів, його властивості
- •27.Умова компланарності двох векторів, які задані в декартовому базисі
3.Мінори. Алгебраїчні доповнення.
Мінором -го порядку матриці називаєтьсявизначникматриці, утворенийелементами на перетині стовпців та рядків.
Алгебраїчне доповненнямінора визначається так:
де
— доповнювальниймінор.
Алгебраїним доповненням елемента називаютьмінорцьогоелемента, взятий зі знаком тобто
Приклади
Мінор квадратноїматриці — визначникматриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
5.Однорідні системи лінійних рівнянь.
Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.
Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними
------------------------------ (1)
Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.
Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.
Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.
Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .
Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.
нехай a і b - два розв’язки системи (1); a=(λ1,λ2,…,λn), b=(γ1,γ2,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ1+γ1, λ2+γ2,…, λn+γn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в i-те рівняння системи (1≤i≤m). і є розв’язками системи , то
Звідси
Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи ( ). Тому a+b є M.
нехай ); a=(λ1,λ2,…,λn), є розв’язком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розв’язком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то
.
Звідси
.
Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го рівняння системи ( ). Тому βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.
Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.
6.Матриці
Матриці застосовуються для зберігання інформації.
Матрицею порядка MxN називається прямокутна таблиця,
що складається з M строк і N стовбців.
Види матриць:
Квадратна - M=N
N=1 - вектор-стовбець
М=1 - вектор-строка
Елементи=0 - нульова матриця
На головній діагоналі не нульові елементи, а інші
нульові - діагональна матриця(якщо ненульові елементи
дорівнюють 1 - одинична матриця)
8.Добуток матриці.
Добутком матриці А(mxp) на В(pxn) називається С (mxn), кожний елемент якої знаходиться по формулі Сіk= p∑j=1 aijbjk
Властивості:
1. A*B≠B*A не комутативність
2. (A*B)*C=A*(B*C=A*B*C асоціативність
3. A*(B+C)=A*B+A*C
4. A*0=0
5. A*E=E*A=A
Приклад:
9.Обернена матриця
Визначення.Квадратнаматриця Вназиваєтьсяоберненоюквадратнійматриці А, якщодобуток А·В є одиничнаматриця.
Визначається за формулою:
10.Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним способом
Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь
Запишемо такі матриці:
,
де складена з коефіцієнтів при невідомих — матрицясистеми, – матрицявільнихчленів, – матрицяневідомих. Знайдемодобуток
Користуючисьозначеннямрівностіматриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не щоінше, як рівністьвідповіднихелементівматриць – стовпців і . Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння
Для розв’язанняостанньогодомножимозліварівняння (2) на оберненуматрицю , вважаючи, що , отримаємо
Але , а , тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться
(3)
Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і , маємо
За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників , які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо
Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначники відповідно для кожного нового набору вільних членів.
Решение СЛАР матричным способом:
?
= - 9 – 8 = - 17
= - (12 + 20) = - 32
= 8 – 15 = - 7
= - (- 15 + 8) = 7
= 12 – 20 = - 8
= - (8 – 25) = 17
= - 20 – 12 = - 32
= - (16 + 16) = - 32
= - 12 + 20 = 8
-17*(-17)+(-32)*(-4)+(-7)*(-9) = 289 + 128 + 63 = 480
7*(-17)+(-8)*(-4)+17*(-9) = - 119 + 32 – 153 = - 240
8*(-17)+(-32)*(-4)+8*(-9) = - 136 + 128 – 72 = 80
x= 4
y= - 2
z= 5