- •2. Визначники 3-го порядку. Означення. Оновні властивості
- •3.Мінори. Алгебраїчні доповнення.
- •5.Однорідні системи лінійних рівнянь.
- •11. Мінор матриці. Ранг матриці, його обчислення.
- •12.Теорема Кронекера-Капеллі
- •16. Розкладання вектора по базису.
- •17. Декартова система координат. Ортоганальний базис.
- •19. Поділ відрізка в даному відношенні.
- •Поділ відрізка в даному відношенні.
- •20. Скалярний добуток векторів, його властивості. Приклад.
- •21.Определение скалярного произведения векторов.
- •22. Застосування скалярного добутку.
- •2.3.1. Означення векторного добутку.
- •2.3.2. Властивості векторного добутку.
- •26.Мішаний добуток трьох векторів, його властивості
- •27.Умова компланарності двох векторів, які задані в декартовому базисі
22. Застосування скалярного добутку.
23. Векторний добуток вектора і його властивості.
2.3.1. Означення векторного добутку.
Три не компланарних вектори і , узятих в зазначеному порядку, утворять праву трійку, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видний, що здійснюється проти годинникової стрілки, і ліву, якщо по годинниковій (див. рис. 15).
рис.15.
Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що:
перпендикулярний векторам і , тобто
має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах. (див. рис. 16), тобто
;
вектори й утворюють праву трійку.
рис. 16. рис.17.
Векторний добуток позначається З означення векторного добутку безпосередньо випливають наступні співвідношення між ортами (див. рис.17):
2.3.2. Властивості векторного добутку.
При перестановці співмножників векторний добуток змінює знак, тобто (див. рис. 18).
□ Вектори колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінної), але протилежно спрямовані (трійки протилежної орієнтації). Стало бути, .■
Векторний добуток має сполучну властивість щодо скалярного множника, тобто
рис.18.
□ Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і Вектор також перпендикулярний векторам і (вектори , лежать в одній площині). Виходить вектори колінеарні. Очевидно, що і напрямку їх збігаються. Мають однакову довжину:
і
=
Тому Аналогічно доводиться при ■
Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нульовому векторові, тобто ║
□ Якщо ║ , то кут між ними дорівнює 0 або 180 . Але тоді Виходить,
Якщо ж , то Але тоді або , тобто ║ .■
Зокрема,
Векторний добуток має розподільну властивість:
24.
25. Геометричний зміст векторного добутку
Таким чином модуль векторного добутку дорівнює Sпараллелограма побудованного на векторах як на сторонах S=|a*b|
Застосування:
26.Мішаний добуток трьох векторів, його властивості
Щоб знайти мішаний (векторно-скалярний) добуток трьох векторів, треба перші два вектори перемножити векторно, а їхній результат скалярно на третій вектор. Мішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Результатом є скаляр.
Властивості мішаного добутку:
У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:
k∙( ∙ ∙ )=(k∙ )∙ ∙ = ∙ (k∙ )∙ = ∙ ∙ (k∙ )
( + )∙ ∙ = ∙ ∙ + ∙ ∙
Мішаний добуток ненульових векторів дорівнює нулеві лише тоді, коли вони компланарні АБО якщо вектори компланарні, то ∙ ∙ =0