Оглавление

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………….4

ВВЕДЕНИЕ 5

I. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 6

1. Понятие интеграла от скалярной функции 6

2. Основные свойства интегралов 9

3. Вычисление интегралов 9

3.1. Определенный интеграл 9

3.2. Криволинейный интеграл 9

3.3. Двойной интеграл 10

3.4. Поверхностный интеграл второго рода 13

3.5. Тройной интеграл 14

II. ПРИМЕНЕНИЕ КРАТНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ 15

ИНТЕГРАЛОВ. 15

1. Длина дуги кривой 15

2. Площадь плоской области 16

3. Площадь поверхности 16

4. Объем тела 16

5. Масса, распределенная в заданной области 16

III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 18

1. Понятие поля 18

2. Векторные линии 18

3. Работа силового поля. Криволинейный интеграл второго рода. 19

Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура 19

4. Поток вектора через поверхность 21

4.1 Вектор площадки 21

4.2 Понятие потока вектора через поверхность 22

4.3 Гидродинамический смысл потока вектора через поверхность. 23

Поток жидкости через поверхность 23

4.4 Поток вектора через плоскую кривую L 24

4.5 Свойства и вычисление потока вектора через поверхность 24

5. Оператор Гамильтона «набла» 27

6. Дивергенция векторного поля 28

7. Ротор (вихрь) векторного поля 29

8. Потенциальное векторное поле 29

8.1 Плоское потенциальное поле 30

IV. Решение типовых задач 32

1. Вычисление и применение двойного интеграла 32

2. Вычисление и применение тройного интеграла 41

3. Вычисление и применение поверхностного интеграла первого рода 44

4. Вычисление и применение криволинейного интеграла. 48

V. Варианты контрольных работ 54

Вариант 1 54

Вариант 2 55

Вариант 3 56

Вариант 4 57

Вариант 5 58

Вариант 6 59

Вариант 7 60

Вариант 8 61

Вариант 9 62

Вариант 10 63

Вариант 11 64

Вариант 12 65

Вариант 13 66

Вариант 14 67

Вариант 15 68

Вариант 16 69

Вариант 17 70

Вариант 18 71

Вариант 19 72

Вариант 20 73

Вариант 21 74

Вариант 22 75

Вариант 23 76

Вариант 24 77

Вариант 25 78

Вариант 26 79

Вариант 27 80

Вариант 28 81

Вариант 29 82

Вариант 30 83

Список литературы 84 введение

Данное пособие по теме «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы» предназначено для самостоятельной работы студентов горно-механического и горно-технологического факультетов УГГУ и удовлетворяет всем требованиям государственного образовательного стандарта по подготовке дипломированных специалистов этих специальностей.

В пособии с единых позиций изложены понятия кратных криволинейных и поверхностных интегралов. Приведены решения большого количества типовых задач и варианты контрольных работ. Кратко изложены элементы теории поля.

После изучения теории и решений типовых задач, студенту рекомендуется самостоятельно решить один из вариантов контрольных работ. Все задачи снабжены ответами.

I. Кратные и криволинейные интегралы

1. Понятие интеграла от скалярной функции

Пусть Q замкнутая ограниченная часть пространства, область. Это может быть отрезок [a, b] оси Ох, дуга плоской или пространственной кривой, часть плоскости или кривой поверхности, трехмерная область. Пусть в каждой точке М области Q задана непрерывная функция u=f(M).

1. Мысленно разобьем область Q на n элементарных частей , и найдем геометрическую меру каждой из частей, обозначив ее тоже ΔQ_i (это длина элементарного отрезка Δx_i оси Ох или элементарной части дуги Δl_i кривой, площадь ΔS_i элементарной части плоской области или Δσ_i - площадь элементарной части поверхности, Δv_i - объем элементарной части трехмерной области).

2. На каждой элементарной части ΔQ_i возьмем произвольную точку М_i и вычислим значения функции в выбранных точках U_i=f(M_i).

3. Составим произведения = и найдем сумму всех произведений

– интегральная сумма функции в области Q.

4. Назовем диаметром diam (ΔQ_i) элементарной области ΔQ_i наибольшее расстояние между точками ее границы. Из всех полученных диаметров выберем максимальный и назовем его рангом λ данного разбиения

.

Уменьшая ранг, составим последовательность интегральных сумм.

Если область Q имеет геометрическую меру (длину, площадь, объем) и функция U_i=f(M_i) непрерывна в области Q, то при существует предел последовательности интегральных сумм равный одному и тому же числу J, независимо от способа разбиения области Q на элементарные части и от выбора точек М_i на каждой из частей. Число J называется интегралом от функции f(M) по области Q и обозначается символом т. е. Q называется областью интегрирования; f(M) – подынтегральной функцией, dQ – элементом геометрической меры области Q; (dx – элемент длины отрезка [a, b] оси Ох; dl – элемент длины дуги плоской или пространственной кривой; ds – элемент площади плоской области; dσ – элемент площади поверхности; dv – элемент объема).

Тип интеграла различают по типу элемента dQ.

1. Если Q=[a, b] – отрезок оси Ох, получим определенный интеграл .

2. Если - дуга плоской кривой, получим

Если =L – дуга пространственной кривой, то .

Рис. 1.1

Эти интегралы называются криволинейными интегралами первого рода или криволинейными интегралами по длине дуги кривой.

3. Q – область плоскости хоу.

- двойной интеграл.

Рис. 1.2

4. Q – часть кривой поверхности

- поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).

Рис. 1.3

5. Q – область в трехмерном пространстве (называется телом).

- тройной интеграл.

Рис. 1.4

В технических дисциплинах используют для обозначения интегралов все приведенные выше символы. Мы используем символы в правых частях равенств.