Вычисление и применение криволинейного интеграла.
Схема решения задач
По условию задачи выбрать формулу и записать искомую величину в виде криволинейного интеграла первого или второго рода.
Выразить из уравнения кривой все переменные и их дифференциалы через одну переменную и ее дифференциал. Всё подставить в подынтегральное выражение.
Найти интервал изменения этой переменной на заданной дуге кривой и вычислить полученный определенный интеграл.
Пример 10
Вычислить
если L
– дуга
синусоиды
Решение
Для вычисления
криволинейного интеграла первого рода
найдем dl.
Из уравнения кривой
Так как кривая L
не ориентирована, возьмем :
,
y
и dl
подставим в подынтегральное выражение.
Получим и вычислим определенный интеграл.
Пример 11
Вычислить
по дуге кривой
от
A
(1,1) до B
(-1,-1).
Решение
Для вычисления
криволинейного интеграла второго рода
выразим y
и dy
через x и
dx
из уравнения кривой
В интегралах второго рода кривая
ориентирована. При движении по кривой
от A
до B
переменная
x
изменяется
от 1
до –1.
Всё подставим в подынтегральное
выражение.
Пример 12
Найти массу дуги
кривой
,
если линейная плотность массы в точке
M
(x,y)
пропорциональна длине дуги
Решение
Выберем формулу
,
где
-
линейная плотность массы. По условию
задачи
Найдем длину дуги
.
Уравнение
тогда
Получим
,
так
как
и
дуги одной кривой.
Ответ:
Пример 13
Вычислить работу
силового поля
при движении точки вдоль первой арки
циклоиды
от
до
Найти
циркуляцию векторного поля
вдоль замкнутого контура OBAO,
составленного из дуги
циклоиды
и двух прямых OB
и BA,
если
Найти поток вектора
через дугу
циклоиды.
Решение
Сделаем чертеж
y
2a
A
B
0 
x
Обозначим работу поля
через
W
и найдем её, по формуле
Из уравнения OA:
x = a (t – sin t), dx = a (1 – cos t) dt
y = a (1 – cos t), dy = a sin t dt.
В точке O (0, 0) y = 0, 0 = a (1 – cos t), cos t = 1, t = 0, в точке A (a; 2a), y = 2a,
2a = a (1 – cos t), 2 = 1 – cos t, cos t = -1, t = (обязательно проверяем получаются ли значения x в этих точках при найденных значениях t).
Найдем циркуляцию поля вдоль замкнутого контура OBAO по формуле
Контур
Из уравнения OB:
получим
x
изменяется от
до
Из уравнения BA:
изменяется от 0
до 2a.
3) Найдем поток поля через кривую по формуле
=
Ответ:
Пример 14
Найти ротор и
дивергенцию векторного поля
в произвольной точке M
(x,y,z)
и в точке
.
Решение
По формуле
Найдем частные производные
Обозначив
запишем
,
.
Подставим найденные производные в формулу ротора
В точке
(2;-2;1)
По формуле
Ответ:
V. Варианты контрольных работ Вариант 1
1. Найти момент
инерции относительно начала координат
однородной фигуры, ограниченной линиями
xy
= 2, y
= 2x,
2y
= x
и расположенной в первой четверти
если
поверхностная плотность массы
= 1.
Ответ:
.
2. Найти площадь
фигуры
Ответ:
3. Найти электрический
заряд кривой
если плотность заряда
Ответ:
4. Найти работу
поля
при перемещении точки по эллипсу x=2cos
t,
y
= sin
t
из A
(2, 0) в B
(0,1). Найти циркуляцию
по замкнутому контуру ABDA
где D(-1,1),
BD
и DA
прямые. Найти поток вектора
через дугу
эллипса.
Ответ:
5. Найти координаты центра массы однородного тела, ограниченного поверхностями x = 0, y = 0, z = 1, z = 3, 2x + y=3.
Ответ:
6. Найти массу части
сферы
расположенной в первом октанте
если поверхностная плотность массы
.
Ответ:
7. Найти дивергенцию
и ротор векторного поля
в точке M
(x,y,z)
и в точке
Ответ:
