Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами
(6)
.
(7)
Если для всех n
выполняется неравенство
то из сходимости ряда (7) следует сходимость
ряда (6), а из расходимости ряда (6) следует
расходимость ряда (7).
Замечание. При применении признака сравнения обычно в качестве эталонных рядов рассматриваются следующие ряды:
а) гармоничный ряд;
б) обобщенный гармонический ряд;
в) геометрический ряд.
Пример 6.
Выяснить, сходится ли ряд
Решение
Так как
,
т. е.
-й
член ряда не стремится к нулю при
то ряд расходится.
Тест 6. Для
исследования вопроса сходимости ряда
сравниваем его с
Делаем вывод:
1) ряд расходится,
так как
>
2) ряд сходится,
так как
< 
3) ряд сходится,
так как
>
4) ряд расходится,
так как
>
5) ряд расходится,
так как
>
Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда
,
с
неотрицательными членами, причем
для всех n, начиная
с некоторого.
Тогда, если
ряд
сходится, сходится и ряд
если же ряд
расходится, то расходится и ряд
Пример 7.
Исследовать сходимость ряда
Решение
Члены ряда
меньше соответствующих членов ряда
,
который, являясь рядом бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
сходится. Следовательно, сходится и
данный ряд.
Тест 7.
Чтобы исследовать ряд
с помощью предельного признака сравнения,
используем ряд
Находим:
1)
2)
3)
4)
–
5)
Признак
Даламбера. Если существует предел
то ряд
сходится при
и расходится при
Замечание:
1. Если l = 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или an.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда
.
Решение
Воспользуемся
признаком Даламбера. Общий член ряда
Поэтому
и
Ряд расходится. Заметим, что мы доказали
также соотношение
(общий член сходящегося ряда стремится
к нулю).
Тест 8.
С помощью признака Даламбера определяем
сходимость ряда
Тогда
равен:
1)
2)
3)
4)
5)
Признак Коши. Если существует предел
(8)
то
ряд
сходится при
и расходится при
Замечание. Как и для признака Даламбера, в случае, когда l = 1, вопрос о сходимости ряда становится открытым.
Пример
9.
Исследовать, сходится
ли ряд
Решение
Ряд сходится.
Тест
9.
Чтобы исследовать
ряд
применяя признак Коши, необходимо найти:
1)
2)
3)
4)
5)
Пример 10.
Исследовать сходимость ряда
Решение
Применим интегральный
признак Коши. По виду общего члена найдем
функцию f(x)=
Вычислим несобственный интеграл
=
=
Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.
Тест
10. Исследуем
сходимость ряда
с помощью интегрального признака Коши.
Найдем:
1)
2)
3)
4)
5)
Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые два члена с номерами n и n + 1 (n N) имеют противоположные знаки, т. е. ряд вида
,
(9)
где
(т. е. ряд, положительные и отрицательные
числа которого следуют друг за другом
поочередно).
Знакопеременный ряд – это такой числовой ряд, часть членов которого является положительными числами, а часть – отрицательными. Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда.
Пример 11. Примером знакочередующегося ряда служит ряд
1–
Видим, что все нечетные члены ряда положительны, а четные – отрицательны.
Признак Лейбница.
Если члены знакочередующегося
ряда
монотонно убывают по абсолютной величине
и общий член ряда стремится к нулю при
n
,
то ряд (9) сходится.
Пример 12. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда
Решение
Ряд знакочередующийся.
Его члены монотонно убывают по абсолютной
величине
,
Условия признака выполнены. Ряд сходится.
Тест 11. Указать, каких условий достаточно для сходимости знакочередующегося ряда:
1)
< и2
< … < иn
… ;
2)
> и2
> … > иn
… ;
3) > и2 > … > иn … ;
4) > и2 > … > иn … ;
5)
< и2
< … < иn
… ;
