2.10. Кратные интегралы

Множество точек называется связным, если любые две из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

Под геометрической фигурой Ф будем понимать одно из следующих связных (включая границу) множеств точек:

1) линия L в R² или R³, в частности отрезок [a; b] координатной оси;

2) плоская область D в R² (рисунок 52);

3) поверхность Q в R³ (рисунок 53);

4) пространственная область V в R³, ограниченная замкнутой поверхностью, − тело в пространстве (рисунок 53).

Определение. Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.

Пример 1. Диаметр параллелограмма − длина большей диагонали.

В дальнейшем будем рассматривать фигуры конечного диаметра (ограниченные).

Определение. Под мерой фигуры Ф будем понимать: для отрезка [a; b] − его длину |[a; b]|, для линии L − ее длину l, для плоской области D и поверхности Q − их площади s и q соответственно, для пространственной области V − объем v соответствующего тела.

Рассмотрим фигуру Ф, мера которой μ, и определенную на ней непрерывную скалярную функцию f(P), P  Ф. Осуществим построение, геометрическая интерпретация которого применительна к плоской области D. Выбранная в качестве конкретного примера фигура Ф дана на рисунках 52 и 53.

Для этого выполним следующие действия:

1. Разобьем Ф произвольным образом на n элементарных фигур ΔФ_i с мерами Δμ_i, i = 1, 2, , n.

2. На каждой элементарной фигуре выберем произвольную точку P_i ΔФ_i и вычислим значения f(P_i) функции в этих точках.

3. Найдем произведения f(P_i )Δμ_i, i = 1, 2, , n.

4. Составим сумму

S_n = (1)

которую будем называть n-й интегральной суммой для функции f(P) по фигуре Ф.

5. Перейдем к пределу в сумме (1) при условии, что наибольший из диаметров λ элементарных фигур ΔФ_i стремится к 0

S_n =

Очевидно, что для данной фигуры Ф и выбранного n можно составить сколько угодно интегральных сумм, зависящих от разбиения фигуры Ф и выбора точек P_i ΔФ_i.

У

Z

D

Рисунок 52 Рисунок 53

Определение. Предел n-й интегральной суммы (1) для данной функции f(P) и фигуры Ф при условии, что каждая из элементарных фигур стягивается в точку (λ → 0), если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы, называется интегралом по фигуре Ф от скалярной функции f(P) и обозначается

= (2)

Теорема. Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная функция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф от этой функции существует.

Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл

Пусть Ф – отрезок [a; b] координатной оси Ох. Мерой μ отрезка [a; b] является его длина, μ = |[a; b]| = b – a. Обозначим также Δμ_i = Δx_i и λ = max{Δx_i}, i = 1, 2, …, n. Тогда интегральная сумма (1) для функции f(P) = f(x) примет вид

S_n = =

и ее предел, если он существует, называется определенным интегралом (однократным интегралом) и обозначается

= =

где Ф = [a; b] – отрезок интегрирования;

x – переменная интегрирования;

a и b – соответственно нижний и верхний пределы интегрирования.