- •Несобственные интегралы I и II рода
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.10. Кратные интегралы
- •Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- •Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла
- •Приложения двойных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Решение
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Ответы на тестовые задания
- •2.12. Ряды Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •Ответы на тестовые задания
- •Степенные ряды
- •Понятие степенного ряда
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- •Высшая математика
- •Общий курс
- •Пособие
- •По подготовке к тестированию для студентов заочной формы получения высшего образования экономических специальностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Несобственные интегралы I и II рода
Понятие определенного интеграла было введено для функций, заданных на интервале [a; b]. Однако существуют понятия интеграла на случай функций, определенных на неограниченных интервалах.
Пусть функция определена на бесконечном интервале [a; ) и интегрируема на любом интервале [a; b], где b < .
Несобственным интегралом I рода функции f(x) на интервале [a; ) называется предел
= (6)
Если предел в левой части равенства (6) является конечным числом, то интеграл называетсясходящимся, если этого предела не существует или он равен , то говорят, что интеграл расходится.
Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Решение
Имеем
||=
Тест 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
1) расходится;
2)
3) 1;
4)
5) 2.
При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция на [a; b] является ограниченной. Тем не менее существует обобщение понятия определенного интеграла и на случаи, когда нарушается требование ограниченности подынтегральной функции на [a; b].
Предположим, что f(x) является ограниченной и интегрируемой на любом отрезке [a + ; b], 0 < < b – a, но неограниченной в любой окрестности точки а. В таком случае точка а называется особой точкой.
Несобственным интегралом II рода функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел
=(7)
Если предел в левой части равенства (7) существует и является конечным числом, то интеграл называетсясходящимся. В противном случае он называется расходящимся.
Пример 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Решение
Имеем
|=
Делаем вывод, что данный несобственный интеграл расходится.
Тест 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
1) расходится;
2)
3) 1;
4)
5) 2.
Приближенные методы вычисления определенных интегралов
Существует много формул приближенного вычисления определенных интегралов. Приведем наиболее простую из них – формулу трапеций.
Пусть в интеграле функцияf(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками =– значение функции=в точкеТогда имеет место так называемая формула трапеций
(8)
Пример 8. Вычислить приближенно определенный интеграл применив формулу трапеций, взявn = 3.
Решение
Находим шаг h: Получаем:x0 = 1, x1 = 2, х2 = 3, х4 = 4. Тогда соответствующими значениями функции y0 = 1, Подставляя эти значения в формулу (8), получим
Тест 8. Вычислить приближенно определенный интеграл применив формулу трапеций, взяв n = 4:
1)
2) 2;
3)
4)
5)
Ответы на тестовые задания
Номер теста |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Правильный ответ |
2 |
1 |
5 |
3 |
2 |
4 |
1 |
5 |
2.10. Кратные интегралы
Множество точек называется связным, если любые две из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.
Под геометрической фигурой Ф будем понимать одно из следующих связных (включая границу) множеств точек:
1) линия L в R2 или R3, в частности отрезок [a; b] координатной оси;
2) плоская область D в R2 (рисунок 52);
3) поверхность Q в R3 (рисунок 53);
4) пространственная область V в R3, ограниченная замкнутой поверхностью, − тело в пространстве (рисунок 53).
Определение. Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.
Пример 1. Диаметр параллелограмма − длина большей диагонали.
В дальнейшем будем рассматривать фигуры конечного диаметра (ограниченные).
Определение. Под мерой фигуры Ф будем понимать: для отрезка [a; b] − его длину |[a; b]|, для линии L − ее длину l, для плоской области D и поверхности Q − их площади s и q соответственно, для пространственной области V − объем v соответствующего тела.
Рассмотрим фигуру Ф, мера которой μ, и определенную на ней непрерывную скалярную функцию f(P), P Ф. Осуществим построение, геометрическая интерпретация которого применительна к плоской области D. Выбранная в качестве конкретного примера фигура Ф дана на рисунках 52 и 53.
Для этого выполним следующие действия:
1. Разобьем Ф произвольным образом на n элементарных фигур ΔФi с мерами Δμi, i = 1, 2, , n.
2. На каждой элементарной фигуре выберем произвольную точку Pi ΔФi и вычислим значения f(Pi) функции в этих точках.
3. Найдем произведения f(Pi )Δμi, i = 1, 2, , n.
4. Составим сумму
Sn = (1)
которую будем называть n-й интегральной суммой для функции f(P) по фигуре Ф.
5. Перейдем к пределу в сумме (1) при условии, что наибольший из диаметров λ элементарных фигур ΔФi стремится к 0
Sn =
Очевидно, что для данной фигуры Ф и выбранного n можно составить сколько угодно интегральных сумм, зависящих от разбиения фигуры Ф и выбора точек Pi ΔФi.
У Z D
Рисунок 52 Рисунок 53
Определение. Предел n-й интегральной суммы (1) для данной функции f(P) и фигуры Ф при условии, что каждая из элементарных фигур стягивается в точку (λ → 0), если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы, называется интегралом по фигуре Ф от скалярной функции f(P) и обозначается
= (2)
Теорема. Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная функция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф от этой функции существует.