Построение желаемой лачх
Требуется построить желаемую ЛАЧХ по методу Е.А.Санковского Г.Г.Сигалова, при следующих данных:
|
δ |
σ,% |
|
|
|
|
|
10 |
30 |
45 |
100 |
1 |
0,01 |
,град
,с
По заданным параметрам строим запретную зону, куда не должна заходить желаемая ЛАЧХ (рис.6). Величины ωк и Lк определяют из следующих соотношений:
и
и
Рис.6.
Так как максимальное ускорение не велико выбираем типовое ЛАЧХ типа
Определяем необходимое значение запаса устойчивости по фазе.
γ = 73-10=63
Определим частоту среза по формуле:
т.к. γ = 63, то с =7
Принимаем, что
сопрягающую частоту
создает постоянная времени 90 с неизменяемой
части системы:
По соотношению из таблицы, определим:
Возьмем k=9,тогда:
Вычисляем постоянную в радианах:
Примем, что
постоянные времени 0,265 и 0,001с неизменяемой
части создают сопрягающие частоты
и
По формуле
,
определим сопрягающую частоту ω3.
Для проверки расчета составим левую и правую части приближенного равенства:
.
Можно считать, что расчет выполнен правильно. Таким образом, передаточная функция системы, имеющей желаемую ЛАЧХ имеет вид:
Выбор корректирующего устройства
Из построенных графиков ЛАЧХ и ЖЛАЧХ найдем разность, т.е. ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства:
По графику определим передаточную функцию:
Рис.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ корректирующего устройства Lk(w), желаемойLж(w) иLн(w) неизменяемой части системы.
Выберим типовую корректирующее устройство по справочным данным. Т.к. передаточная функция сложная разобьем на типовые корректирующие устройства:
1 КУ
Схема корректирующего устройства имеет вид:
Рис.8. Схема корректирующего устройства 1.
Произведем расчет корректирующего устройства:
90
=
Пусть
,
тогда
2 КУ
Схема корректирующего устройства имеет вид:
Рис.9. Схема корректирующего устройства 2.
Произведем расчет корректирующего устройства:
,
Пусть
,
тогда
,
тогда
,
Рис.10. Схема корректирующего устройства
Определение переходной характеристики замкнутой системы методом вещественных частотных характеристик
Построим вещественную частотную характеристику замкнутой системы. От передаточной функции замкнутой переходим к частотной передаточной функции, используя подстановку p=jω:
Выделяем вещественную частотную характеристику:
Задаваясь значениями ωот 0 до ∞ вычисляем и строим вещественную характеристику:
|
w |
P(w) |
|
0 |
0,999933 |
|
0,1 |
1,007513 |
|
0,2 |
1,007883 |
|
0,3 |
0,985149 |
|
0,4 |
0,918928 |
|
0,5 |
0,80012 |
|
0,6 |
0,645334 |
|
0,7 |
0,487985 |
|
0,8 |
0,354259 |
|
0,9 |
0,252732 |
|
1 |
0,180175 |
|
1,1 |
0,129634 |
|
1,2 |
0,094604 |
|
1,3 |
0,070171 |
|
1,4 |
0,052929 |
|
1,5 |
0,040586 |
|
1,6 |
0,031619 |
|
1,7 |
0,025007 |
|
1,8 |
0,020065 |
|
1,9 |
0,016322 |
|
2 |
0,013452 |
|
2,1 |
0,011227 |
|
2,2 |
0,009484 |
Рис.11.
Основой
метода является зависимость, существующая
между переходной характеристикой
устойчивой САР и её вещественной
характеристикой устойчивой САР и её
вещественной характеристикой
относительно одного из внешних
воздействий.
Суть метода определения переходной характеристики в следующем:
Реальную
характеристику
разбивают на несколько простейших
.
Для
каждой простейшей характеристики
с помощью таблицы определяют соответствующую
ей
.
Тогда переходная характеристикаy,
соответствующая
,
определяется суммированием составляющих
В
качестве типовой выбрана единичная
трапецеидальная вещественная частотная
характеристика с высотой равной единице
и основанием
.
Изменяющимся параметром является
отношение меньшей параллельной стороны
к основанию
,
которое называется коэффициентом наклона.
Построение
переходной характеристики y
по вещественной частотной характеристики
методом
трапеций состоит из следующих этапов:
Вещественную частотную характеристику разбивают на трапеции.
Определяют параметры трапеций.
Для
каждой I
– той трапеции по графику определяют
частоты
и
и высоту
.
Частоты отсчитывают от начала координат.
Для каждой трапеции вычисляют коэффициенты
наклона
и его значение округляют до 0,05.
Величине
приписывают положительный знак, если
меньшая параллельная сторона трапеции
расположена выше большей, отрицательный
– в противоположном случае.
Определяют составляющие переходной характеристики.
В
таблице h
– функций для каждой I
– той трапеции отыскивают столбец,
соответствующий значению X.
Затем для каждой точки по условному
времени
определяют действительное время
и
по значению
определяют ординату
составляющей переходной характеристики, которая соответствует данной трапеции.
Строят графики составляющих переходной характеристики. Все составляющие строят на одном графике. Знак каждой из них определяется знаком высоты
Строят график переходной характеристики, ординаты переходной характеристики определяют суммированием ординат всех составляющих в выбранные моменты времени.
Разделим нашу вещественную частотную характеристику на 3 трапеции и определим необходимые параметры, для построения переходной характеристики.
Рис.12.
1-ая трапеция.
χ = 0,05
P(
)=
0,9
2-ая трапеция.
χ = 0,4
P(
)=
0,3
3-яя трапеция.
χ = 0,5
P(
)=
0,13
4-ая трапеция.
χ = 0,41
P(
)=
0,05
По таблицеh– функций с использованием формул 2 и 3определяем значения h для каждой трапеции.
|
T |
h1(T) |
t1 |
h1(t) |
h2(T) |
t2 |
h2(t) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,2 |
0,0666 |
0,91 |
0,05994 |
0,089 |
0,57 |
0,0267 |
|
0,4 |
0,1332 |
1,82 |
0,11988 |
0,1774 |
1,14 |
0,05322 |
|
0,6 |
0,1984 |
2,73 |
0,17856 |
0,2643 |
1,71 |
0,07929 |
|
0,8 |
0,2627 |
3,64 |
0,23643 |
0,3493 |
2,29 |
0,10479 |
|
1 |
0,325 |
4,55 |
0,2925 |
0,4315 |
2,86 |
0,12945 |
|
1,2 |
0,3857 |
5,45 |
0,34713 |
0,5099 |
3,43 |
0,15297 |
|
1,4 |
0,4434 |
6,36 |
0,39906 |
0,586 |
4 |
0,1758 |
|
1,6 |
0,4985 |
7,27 |
0,44865 |
0,6571 |
4,57 |
0,19713 |
|
1,8 |
0,5506 |
8,18 |
0,49554 |
0,7237 |
5,14 |
0,21711 |
|
2 |
0,5997 |
9,09 |
0,53973 |
0,7853 |
5,71 |
0,23559 |
|
2,2 |
0,6452 |
10 |
0,58068 |
0,8417 |
6,29 |
0,25251 |
|
2,4 |
0,6872 |
10,91 |
0,61848 |
0,8928 |
6,86 |
0,26784 |
|
2,6 |
0,7256 |
11,82 |
0,65304 |
0,9382 |
7,43 |
0,28146 |
|
2,8 |
0,7605 |
12,73 |
0,68445 |
0,9783 |
8 |
0,29349 |
|
3 |
0,7917 |
13,64 |
0,71253 |
1,013 |
8,57 |
0,3039 |
|
3,2 |
0,8194 |
14,55 |
0,73746 |
1,042 |
9,14 |
0,3126 |
|
3,4 |
0,8437 |
15,45 |
0,75933 |
1,0662 |
9,71 |
0,31986 |
|
3,6 |
0,8647 |
16,36 |
0,77823 |
1,0853 |
10,3 |
0,32559 |
|
3,8 |
0,8827 |
17,27 |
0,79443 |
1,1 |
10,9 |
0,33 |
|
4 |
0,8978 |
18,18 |
0,80802 |
1,1102 |
11,4 |
0,33306 |
|
4,2 |
0,9102 |
19,09 |
0,81918 |
1,1167 |
12 |
0,33501 |
|
4,4 |
0,9204 |
20 |
0,82836 |
1,1196 |
12,6 |
0,33588 |
|
4,6 |
0,9281 |
20,91 |
0,83529 |
1,1194 |
13,1 |
0,33582 |
|
4,8 |
0,9341 |
21,82 |
0,84069 |
1,1166 |
13,7 |
0,33498 |
|
5 |
0,9385 |
22,73 |
0,84465 |
1,1117 |
14,3 |
0,33351 |
|
6 |
0,9452 |
27,27 |
0,85068 |
1,068 |
17,1 |
0,3204 |
|
7 |
0,9454 |
31,82 |
0,85086 |
1,0229 |
20 |
0,30687 |
|
8 |
0,9513 |
36,36 |
0,85617 |
0,9976 |
22,9 |
0,29928 |
|
9 |
0,9559 |
40,91 |
0,86031 |
0,9917 |
25,7 |
0,29751 |
|
10 |
0,98 |
45,45 |
0,882 |
0,9937 |
28,6 |
0,29811 |
|
11 |
0,9877 |
50 |
0,88893 |
0,9934 |
31,4 |
0,29802 |
|
12 |
0,9898 |
54,55 |
0,89082 |
0,9888 |
34,3 |
0,29664 |
|
13 |
0,9892 |
59,09 |
0,89028 |
0,9843 |
37,1 |
0,29529 |
|
14 |
0,9899 |
63,64 |
0,89091 |
0,9845 |
40 |
0,29535 |
|
15 |
0,9933 |
68,18 |
0,89397 |
0,9906 |
42,9 |
0,29718 |
|
16 |
0,9979 |
72,73 |
0,89811 |
0,9992 |
45,7 |
0,29976 |
|
17 |
1,0013 |
77,27 |
0,90117 |
1,0055 |
48,6 |
0,30165 |
|
18 |
1,0023 |
81,82 |
0,90207 |
1,0074 |
51,4 |
0,30222 |
|
19 |
1,0017 |
86,36 |
0,90153 |
1,0059 |
54,3 |
0,30177 |
|
20 |
1,0013 |
90,91 |
0,90117 |
1,0039 |
57,1 |
0,30117 |
|
21 |
1,0023 |
95,45 |
0,90207 |
1,0033 |
60 |
0,30099 |
|
22 |
1,0042 |
100 |
0,90378 |
1,0037 |
62,9 |
0,30111 |
|
23 |
1,0059 |
104,6 |
0,90531 |
1,0036 |
65,7 |
0,30108 |
|
24 |
1,0064 |
109,1 |
0,90576 |
1,0017 |
68,6 |
0,30051 |
|
25 |
1,006 |
113,6 |
0,9054 |
0,9988 |
71,4 |
0,29964 |
|
h3(T) |
t3 |
h3(t) |
h4(T) |
t4 |
h4(t) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,0955 |
0,38 |
0,012415 |
0,089 |
0,18 |
0,000621 |
|
0,1899 |
0,75 |
0,024687 |
0,1774 |
0,36 |
0,001234 |
|
0,283 |
1,13 |
0,03679 |
0,2643 |
0,55 |
0,00184 |
|
0,3752 |
1,51 |
0,048776 |
0,3493 |
0,73 |
0,002439 |
|
0,4611 |
1,89 |
0,059943 |
0,4315 |
0,91 |
0,002997 |
|
0,5452 |
2,26 |
0,070876 |
0,5099 |
1,09 |
0,003544 |
|
0,6248 |
2,64 |
0,081224 |
0,586 |
1,27 |
0,004061 |
|
0,6997 |
3,02 |
0,090961 |
0,6571 |
1,45 |
0,004548 |
|
0,7691 |
3,4 |
0,099983 |
0,7237 |
1,64 |
0,004999 |
|
0,8314 |
3,77 |
0,108082 |
0,7853 |
1,82 |
0,005404 |
|
0,887 |
4,15 |
0,11531 |
0,8417 |
2 |
0,005766 |
|
0,942 |
4,53 |
0,12246 |
0,8928 |
2,18 |
0,006123 |
|
0,9863 |
4,91 |
0,128219 |
0,9382 |
2,36 |
0,006411 |
|
1,0272 |
5,28 |
0,133536 |
0,9783 |
2,55 |
0,006677 |
|
1,0606 |
5,66 |
0,137878 |
1,013 |
2,73 |
0,006894 |
|
1,0837 |
6,04 |
0,140881 |
1,042 |
2,91 |
0,007044 |
|
1,1086 |
6,42 |
0,144118 |
1,0662 |
3,09 |
0,007206 |
|
1,1242 |
6,79 |
0,146146 |
1,0853 |
3,27 |
0,007307 |
|
1,135 |
7,17 |
0,14755 |
1,1 |
3,45 |
0,007378 |
|
1,141 |
7,55 |
0,14833 |
1,1102 |
3,64 |
0,007417 |
|
1,1428 |
7,92 |
0,148564 |
1,1167 |
3,82 |
0,007428 |
|
1,1407 |
8,3 |
0,148291 |
1,1196 |
4 |
0,007415 |
|
1,1354 |
8,68 |
0,147602 |
1,1194 |
4,18 |
0,00738 |
|
1,1275 |
9,06 |
0,146575 |
1,1166 |
4,36 |
0,007329 |
|
1,1173 |
9,43 |
0,145249 |
1,1117 |
4,55 |
0,007262 |
|
1,0508 |
11,3 |
0,136604 |
1,068 |
5,45 |
0,00683 |
|
0,9923 |
13,2 |
0,128999 |
1,0229 |
6,36 |
0,00645 |
|
0,9658 |
15,1 |
0,125554 |
0,9976 |
7,27 |
0,006278 |
|
0,9678 |
17 |
0,125814 |
0,9917 |
8,18 |
0,006291 |
|
0,9819 |
18,9 |
0,127647 |
0,9937 |
9,09 |
0,006382 |
|
0,993 |
20,8 |
0,12909 |
0,9934 |
10 |
0,006455 |
|
0,9968 |
22,6 |
0,129584 |
0,9888 |
10,9 |
0,006479 |
|
0,9971 |
24,5 |
0,129623 |
0,9843 |
11,8 |
0,006481 |
|
0,9992 |
26,4 |
0,129896 |
0,9845 |
12,7 |
0,006495 |
|
1,0048 |
28,3 |
0,130624 |
0,9906 |
13,6 |
0,006531 |
|
1,0101 |
30,2 |
0,131313 |
0,9992 |
14,6 |
0,006566 |
|
1,0116 |
32,1 |
0,131508 |
1,0055 |
15,5 |
0,006575 |
|
1,0076 |
34 |
0,130988 |
1,0074 |
16,4 |
0,006549 |
|
1,0005 |
35,9 |
0,130065 |
1,0059 |
17,3 |
0,006503 |
|
0,995 |
37,7 |
0,12935 |
1,0039 |
18,2 |
0,006468 |
|
0,9931 |
39,6 |
0,129103 |
1,0033 |
19,1 |
0,006455 |
|
0,9947 |
41,5 |
0,129311 |
1,0037 |
20 |
0,006466 |
|
0,9974 |
43,4 |
0,129662 |
1,0036 |
20,9 |
0,006483 |
|
0,9991 |
45,3 |
0,129883 |
1,0017 |
21,8 |
0,006494 |
|
0,9995 |
47,2 |
0,129935 |
0,9988 |
22,7 |
0,006497 |
Рис.13.
Находим результирующую переходную характеристику путем сложения графиков h1(t),h2(t), h3(t) и h4(t).
Рис.14.