MATLAB для дискретных САУ

	11
Важ н о: собствен н ая частота (Wn) н а пл оскости z-plane		изм ер яется	в
р ад иан /вы бор ка,	н о пр и испол ьзован ии пр ивед ен н ы х вы ш е	ур авн ен ий	в
качестве ед ин ицы	изм ер ен ия Wn н уж н о бр атьр ад иан /сек.
Пусть есть д и скретнаяперед аточнаяфункци я:

Созд ад и м нов ы й m-file и запи ш ем в него команд ы : numDz=[1];

denDz=[1 -0.3 0.5]; pzmap(numDz,denDz) axis([-1 1 -1 1])

zgrid

Запускэ тогоs m-file в команд ном окнепри в ед еткотображ ени ю графи ка:

М ож но в и д еть, что полю са располож ены при бли зи тельно в области собств енной частоты 9pi/20T (рад ./в ы б.) и скорости затухани я0.25. При ни мая, что в ремяв ы борки состав ляет1/20 сек(что при в од и ткWn = 28.2 р ад /сек), и

используяпри в ед енны ев ы ш етри урав нени я, опред еляем, что рассматри в аемая си стема д олж на и меть в ремянарастани я0.06 сек., в ремяустанов лени я0.65 сек.

имакси мальноеперерегули ров ани е45% (установ и в ш егосязначени я). Получи м

переход ную характери сти ку и покаж ем, что э ти утв ерж д ени яв ерны . Д ляэ того д обав и м при в ед енны е ни ж е команд ы в m-file и в ернемся в команд ное окно. Послезапуска получи м переход ную характери сти ку.

[x] = dstep (numDz,denDz,51); t = 0:0.05:2.5;

stairs (t,x)

12

Н а графи ке в и д но, что в ремя нарастани я, в ремя установ лени я и перерегули ров ани етаков ы , каки пред полагалось. Т аки м образом, мы д оказали , что мож но и спользов ать располож ени еполю сов и при в ед енны етри урав нени я д ляанали за переход ной характери сти ки .

Discrete Root-Locus

Т раектори я пред став ляет собой располож ени е точек, в которы х могут наход и тьсякорни характери сти ческого урав нени япри и зменени и уси лени яот0 д о бесконечности . Х арактери сти ческео урав нени е д ля си стемы с обратрной св язью :

,

гд еG(z) – компенсатор, при мененны й кци фровому контроллеру, а Hzoh(z) – перед аточнаяфункци яобъекта.

М ехани зм построени я траектори и д ля плоскостей z и s аналоги чен. В случае непреры в ны х си стем и спользуетсяфункци яsgrid, в случаед и скретны х си стем и спользуетсяфункци яzgrid, облад аю щ аятеми ж ехарактери сти ками . К оманд а zgrid(zeta, Wn) прори сов ы в ает ли ни и постоянной скорости затухани я (zeta) и собств енной частоты (Wn).

Пусть есть д и скретнаяперед аточнаяфункци я:

и требов ани якскорости затухани я( больш е0.6) и собств енной частоте(больш е 0.4 рад ./в ы б.). Созд ад и м нов ы й m-file и запи ш ем в него:

numDz=[1 -0.3]; denDz=[1 -1.6 0.7];

rlocus (numDz,denDz) axis ([-1 1 -1 1])

zeta=0.4;

Wn=0.3;

zgrid (zeta,Wn)

13

Послезапуска фай ла получи м:

По в и д у графи ка мож но сд елать в ы вод , что си стема устой чи в а, таккакв се полю са наход ятсяв нутри окруж ности ед и ни чного рад и уса сцентром в начале

коорд и нат.	К роме	того, в и д ны	д в е ли ни и ,	прори сов анны е точками –
постоянной	скорости	затухани я и	собств енной	частоты . Собств енная частота

прев ы ш ает0.3 в непостоянной -Wn ли ни и , а скорость затухани япрев ы ш ает0.4 в нутри постоянной -zeta ли ни и . В э том при мере траектори я располож ена в ж елаемой области . In this example, we do have the root-locus drawn in the desired region. След ов ательно, уси лени е (K), в ы бранное и з локусов в ж елаемой области , д астреакци ю , уд ов летв оряю щ ую требов ани ям разработки .

Ltiview

Сред ств о просмотра LTI д ляанали за реакци и си стемы . Си нтакси с:

Ltiview

Ltiview (sys1, sys2, ..., sysn)

Ltiview ('plottype', sys1, sys2, ..., sysn) Ltiview ('plottype', sys,extras)

Ltiview (' clear ', viewers) Ltiview('current',sys1,sys2,...,sysn,viewers)

О пи сани е

В ы зов Ltiview без параметров и ни ци али зи руетнов ое LTI-cред ств о просмотра д ляLTI анали за реакци и си стемы .

Ltiview (sys1, sys2, ..., sysn) откры в ает LTI Сред ств о просмотра, сод ерж ащ ее реакци ю на скачокLTI-мод елей sys1, sys2, ..., sysn. Д ля каж д ой и з си стем мож ноопред ели ть отли чи тельны й цв ет, ти пли ни и , и маркер:

>>Sys1 = rss (3,2,2);

>>Sys2 = rss (4,2,2);

>>Ltiview (sys1, ' r- * ', sys2, ' м. - ');

14

Ltiview ('plottype', sys) и ни ци али зи рует LTI-cред ств о просмотра, сод ерж ащ ее ти преакци и , обозначенны й какplottype д лямод ели си стемы . Значени еplottype мож етбы ть лю бы м и з:

∙'step'

∙'impulse'

∙'initial'

∙'lsim'

∙'pzmap'

∙'bode'

∙'nyquist'

∙'nichols'

∙'sigma'

К рометого, plottype мож етпред став лять собой в екторразмерностью д о ш ести

и з таки х ти пов . Н апри мер, команд а Ltiview		({'step';	'nyquist'}, sys)
показы в аетграфи ки обои х ти пов реакци и д ляд анной си стемы .
Ltiview (plottype, sys, extras)	д опускаю т нали чи е д ополни тельны х в ход ны х
аргументов , под д ерж и в аемы х	разли чны ми	частотны ми	характери сти ками

мод ели LTI, которы ебуд утперед аны ккоманд еltiview. Extras - од и ни ли более в ход ны х аргументов , опред еленны х функци ей в plottype. Э ти аргументы могут

бы ть обязательны ми и ли опци ональны ми	в зав и си мости отти па LTI реакци и .
Н апри мер, если plottype - 'step', тогд а	extras мож ет пред став лять собой

ж елаемоев ремязав ерш ени я, Tfinal, какпоказано ни ж е.

Ltiview ('step', sys, Tfinal)

О д нако если plottype - 'initial', аргументы extras д олж ны сод ерж ать начальны е услов и яx0, а такж емогутсод ерж ать аргументы ти па Tfinal:

ltiview('initial',sys,x0,Tfinal)

Ltiview (' clear ', viewers) очи щ аю тграфи ки и д анны еотLTI -сред ств просмотра сд ескри пторами viewers.

Ltiview('current',sys1,sys2,...,sysn,viewers) д обав ляет нов ы е запи си реакци и си стем sys1, sys2, ..., sysn на LTI-сред ств а просмотра сд ескри пторами viewers.

Е сли	э ти новы е си стемы и мею т размерность в ход а/в ы ход а, отли чную				от
текущ ей		размерности LTI-сред ств а просмотра, то оно пред в ари тельно
очи щ ается, послечего отображ аю тсянов ы ереакци и си стем.
И , наконец,
Ltiview (plottype, sys1, sys2, ... sysN)
Ltiview(plottype,sys1,PlotStyle1,sys2,PlotStyle2,...)
Ltiview(plottype,sys1,sys2,...sysN,extras)
и ни ци али зи рую т LTI-сред ств о			просмотра, сод ерж ащ ее реакци и	множ еств а
мод елей , и спользуяграфи чески ести ли , указанны ев PlotStyle.
Частотн ая х ар актер истика
К оманд а bode позв оляетполучи ть частотную характери сти ку мод елей LTI
bode	-	в ы чи сляетампли туд у и	фазу частотной характери сти ки	мод ели	LTI.
В ы зов	без указани я аргументов		при в ед еткотображ ени ю д и аграммы Бод е на

э кране. А мпли туд а в ы раж ена в д еци белах (dB), фаза - в град усах. В ы чи слени е

д еци бел д ля mag осущ еств ляется как 20log10	, гд е	яв ляется
частотной характери сти кой си стемы . Д и аграммы	Бод е и спользую тся д ля

15

анали за таки х св ой ств си стемы , какпред елуси лени я,

порогов оезначени ефазы ,

коэ ффи ци ента

уси лени я, ш и ри ны

полосы

частот,

под ав лени е в неш ни х

в озд ей ств и й и устой чи в ость си стемы .

bode(sys) –

строи тд и аграмму реакци и прои зв ольной

мод ели си стемы . . Э та

мод ель мож ет бы ть непреры в на и ли

д и скретна, SISO и ли

MIMO. В

MIMO

случае,

команд а состав и т масси в д и аграмм Бод е, каж д ы й

графи кв котором

буд ет

показы в ать

реакци ю

од ного опред еленного

канала

в ход а-в ы ход .

Д и апазон частот опред еляется ав томати чески ,

основ ы в аясь на располож ени и

корней и полю сов .

bode(sys,w)

-

явно опред еляетд и апазон частоти ли частоты ,

которы ебуд ут

и спользов аться д ля построени я графи ка.

Д ля фокуси ров ки ь на опред еленном

и нтерв але частот [wmin, wmax]

след ует зад ать w

=

{wmin,

wmax}. Ч тобы

и спользов ать

специ фи чески е

частоты ,

укаж и те

в

качеств е w

в ектор

ж елательны х

частот.

И спользуй те logspace д ля генераци и логари фми чески

разд еленны х

в екторов

частот.

В се частоты

д олж ны

бы ть

опред елены в

рад и анах/сек.

bode(sys1,sys2,...,sysN), bode(sys1,sys2,...,sysN,w)

–

размещ аю т

реакци и нескольки х LTI-мод ели на од ном графи ке. В сеси стемы д олж ны и меть

од и наков ое

чи сло

в ход ов

и

в ы ход ов .

К роме того,

зд есь

могут бы ть

ми кш и ров аны непреры в ны еи д и скретны еси стемы .

bode(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN')

-

опред еляет,

какой

цв ет, сти ль

ли ни и

и

маркер д олж ен и спользов аться д ля графи ка

каж д ой

си стемы . Н апри мер,

>>bode (sys1, ' r - ', sys2, 'gx')

и спользует красны е пункти рны е ли ни и д ля перв ой си стемы sys1 и зелены е маркеры 'x' д ляси стемы sys2.

Когд а команд а bode в ы зы в аетсясаргументами в лев ой части :

·[mag,phase,w] = bode(sys)

·[mag,phase] = bode(sys,w),

в озв ращ ается ампли туд а		и фаза	(в град усах)	частотной характери сти ки в
частотах w (в рад /сек).		В ы ход ы	ампли туд а и	фаза яв ляю тся трехмерны ми
матри цами . А мпли туд у мож но вы рази ть в д еци белах:
>>	Magdb = 20*log10 (mag)
П р им ер

Построи м д и аграмму Бод э д лянепреры в ной SISO си стемы :

, и еед и скрети заци и .

>>g = tf ([1 0.1 7.5], [1 0.12 9 0 0]);

>>bode(g)

Д ляполучени яреакци и в болееш и роком д и апазонечастот, напри мер, от0.1 д о 100 рад /сек, след уетнабрать:

>> bode(g,{0.1 , 100});

		16
Затем построи м	д и скретную	мод ель, и спользуя э кстраполяци ю нулев ого
поряд ка и	секунд , и	срав ни м непреры в ны е и д и скрети зи ров анны е
реакци и , набрав :

>>gd = c2d(g,0.5)

>>bode(g,'r',gd,'b--')

В э том случаеграфи кбуд ети меть в и д :

Д ля д и скретны х си стем частотная	характери сти ка получается путем
оцени в ани яперед аточной функци и	в ед и ни чном круге. Ч тобы облегчи ть

и столков ани е, в ерхняяполов и на ед и ни чного круга параметри зов ана как

,

гд е яв ляется в ременем в ы борки , - частота Н ай кв и ста. Э кв и в алент "

непреры в ной частоты "

затем и спользуется как переменная

-оси .

Поскольку пери од и чна спери од ом , команд а bode отобрази т

реакци ю только д о частоты Н ай кв и ста

. Е сли в ремя неопред елено, по

умолчани ю при ни мается.

17

Е сли си стема и меет полю с на ед и ни чном круге (в д и скретном случае) и w,

сод ерж и т э ту частоту,		коэ ффи ци ент уси лени я бесконечен,		яв ляется
си нгулярной , и bode в ы в ед етпред упреж д аю щ еесообщ ени е:				unit circle
«Singularity in freq. response due to jw-axis or
pole.»
Зад ан ие.	И зучи ть д руги е в озмож ности		построени я д и аграмм: nyquist, evalfr,
freqresp, nichols, sigma.
Simulink
Пакет расш и рени я Simulink служ и т			д ля и ми таци онного	мод ели ров ани я
мод елей ,	состоящ и х	и з графи чески х	блоков с зад анны ми св ой ств ами

(параметрами ). К омпоненты мод елей , в св ою очеред ь, являю тсяграфи чески ми блоками и мод елями , которы есод ерж атсяв ряд еби бли отеки спомощ ью мы ш и

могут переноси ться в	основ ное	окно	и	соед и няться д руг	с д ругом
необход и мы ми св язями .	В состав	мод елей		могут в клю чаться и сточни ки
си гналов разли чного	в и д а, в и ртуальны е			реги стри рую щ и е	при боры ,
графи чески е сред ств а ани маци и . Д в ой ной			щ елчокмы ш ью на блоке мод ели

в ы в од и токно со спи ском его параметров , которы епользов атель мож етменять. Запуск и ми таци и обеспечи в ает математи ческое мод ели ров ани е построенной мод ели снагляд ны м в и зуальны м пред став лени ем результатов . Пакетоснов ан на построени и блочны х схем путем переноса блоков и з би бли отеки компонентов в окно ред акти ров ани ясозд ав аемой пользов ателем мод ели . Затем мод ель запускается на в ы полнени е. Рассмотри м некоторы е блоки , пред назначенны ед ляработы сд и скретны ми си стемами .

Бл оки Discrete

Discrete State-Space

Пред став ляетд и скретную си стему в пространств есостояни й .

Э тот блок реали зует си стему,	опи санную	си стемой	урав нени й :
,
гд еu – в ход , x – состояни е, y - в ы ход . М	атри цы д олж ны и меть характери сти ки :

A- матри ца n*n, гд еn - чи сло состояни й .

B- матри ца n*m, гд ем. - чи сло в ход ов .

C- матри ца r*n, гд еr - чи сло в ы ход ов .

D- матри ца r*m.

Блокпри ни маетод но в ход ное и генери руетод но в ы ход ное значени е.	Размер
в ектора-в ход а опред еляется чи слом столбцов в матри цах B и D.	Размер

	18
в ектора-в ы ход а опред еляется чи слом строк в		матри цах C и	D. Simulink
преобразов ы в ает матри цу,	сод ерж ащ ую нули в	разреж енную	матри цу	д ля
э ффекти в ного умнож ени я.
Discrete Filter
Блок д и скретного фи льтра	зад ает д и скретную	перед аточную	функци ю	от
обратного аргумента (1/z):

						, гд е
m+1 и	n+1	– коли честв о		коэ ффи ци ентов	чи сли теля и	знаменателя,
соотв етств енно;
num	–	в ектор	и ли	матри ца	коэ ффи ци ентов	чи сли теля;
den – в екторкоэ ффи ци ентов знаменателя.
Параметры :

1.Numerator — В ектори ли матри ца коэ ффи ци ентов чи сли теля

2.Denominator –В екторкоэ ффи ци ентов знаменателя

3.Sample time — Ш аг д и скрети заци и по в ремени .

Unit Delay

Пред став ляет собой блок ед и ни чной д и скретной зад ерж ки и в ы полняет зад ерж ку в ход ного си гнала наод и нш аг мод ельного в ремени .

Параметры :

1.Initial condition – Н ачальноезначени ед лявы ход ного си гнала.

2.Sample time – Ш аг мод ельного в ремени .

В ход ной си гнал блока мож ет бы ть как скалярны м, так и в екторны м. При в екторном в ход ном си гнале зад ерж ка в ы полняется д ля каж д ого э лемента в ектора. Блок под д ерж и в ает работу с комплексны ми и д ей ств и тельны ми си гналами .

Zero-Order Hold

Блок э кстраполятора нулев ого поряд ка в ы полняет д и скрети заци ю в ход ного си гнала по в ремени .

ПараметрSample time – В ели чи на ш ага д и скрети заци и по времени .

Блокфи кси руетзначени ев ход ного си гнала в началеи нтерв ала кв антов ани яи под д ерж и в ает на в ы ход е э то значени е д о окончани я и нтерв ала кв антов ани я. Затем в ы ход ной си гнал и зменяетсяскачком д о в ели чи ны в ход ного си гнала на след ую щ ем ш аге кв антов ани я. Блокэ кстраполятора нулев ого поряд ка мож ет и спользов аться такж ед лясогласов ани я работы д и скретны х блоков , и мею щ и х разны еи нтерв алы кв антов ани я.

19

First-Order Hold

Блокэ кстраполятора перв ого поряд ка зад ает ли ней ное и зменени е в ы ход ного си гнала на каж д ом тактед и скрети заци и , в соотв етств и и скрути зной в ход ного си гнала напред ы д ущ ем и нтерв алед и скрети заци и .

ПараметрSample time – В ели чи на ш ага д и скрети заци и по времени .

Discrete-Time Integrator

Прои зв од и ти нтеграци ю и ли накоплени еси гнала

Э тотблокмож но и спользов ать вместо блока Integrator д лясозд ани яполностью

д и скретной	си стемы .	О н позв оляет опред елять	начальны е услов и я в
д и алогов ом	окне и ли	как в в од в блок в ход ного	значени я коэ ффи ци ента

уси лени я (K). Блоки спользуется д ля вы полнени я операци и и нтегри ров ани я в д и скретны х си стемах.

Параметры :

1.Integration method – М етод чи сленного и нтегри ров ани я:

o			Forward Euler - Прямой метод Э й лера.
М	етод и спользуетаппрокси маци ю T/(z-1) перед аточной функци и 1/s.
В ы ход ной си гналблока рассчи ты в аетсяпо в ы раж ени ю :
y(k) = y(k–1) + T*u(k–1),
y – в ы ход ной си гнали нтегратора,
u – в ход ной си гнали нтегратора,
T – ш аг д и скрети заци и ,
k – номерш ага мод ели ров ани я.
o			Backward Euler – О братны й метод Э й лера.
М	етод	и спользует аппрокси маци ю			T*z/(z–1) перед аточной функци и			1/s.
В ы ход ной			си гнал	блока	рассчи ты в ается	по	в ы раж ени ю :
y(k) = y(k–1) + T*u(k).
o			Trapeziodal – М етод трапеци й .
М	етод	и спользует аппрокси маци ю T/2*(z+1)/(z–1) перед аточной					функци и	1/s.
В ы ход ной			си гнал	блока	рассчи ты в ается	по	в ы раж ени ю :
x(k) = y(k–1) + T/2 * u(k–1).
2.	Sample time — Ш			аг д и скрети заци и по в ремени .
О стальны е			параметры	д и скретного	и нтегратора те	ж е, что	и у блока
аналогов ого и нтегратора Integrator (би бли отека Continuous).

Discrete Transfer Fсn

Д и скретная перед аточная функци я зад аетд и скретную перед аточную функци ю в в и д еотнош ени яполи номов :

,

				20
m+1 и	n+1	– коли честв о		коэ ффи ци ентов	чи сли теля и	знаменателя,
соотв етств енно;
num	–	в ектор	и ли	матри ца	коэ ффи ци ентов	чи сли теля;
den – в екторкоэ ффи ци ентов знаменателя.
Параметры :

1.Numerator — В ектори ли матри ца коэ ффи ци ентов чи сли теля

2.Denominator – В екторкоэ ффи ци ентов знаменателя

3.Sample time — Ш аг д и скрети заци и по в ремени .

Поряд окчи сли телянед олж енпрев ы ш ать поряд окзнаменателя.
В ход ной		си гнал		блока	д олж ен	бы ть	скалярны м. В		том	случае,	если
коэ ффи ци енты			чи сли теля зад аны			в ектором, то вы ход ной			си гнал блока буд ет
скалярны м (такж екаки в ход ной си гнал).
Discrete Zero-Pole
Блок Discrete			Zero-Pole		опред еляет д и скретную перед аточную					функци ю с
зад анны ми полю сами и нулями :
гд е							,
Z	–	в ектор		и ли	матри ца		нулей	перед аточной		функци и ;
P		–	в ектор		полю сов			перед аточной		функци и ;
K –	коэ ффи ци ент перед аточной функци и , и ли							в екторкоэ ффи ци ентов ,			если

нули перед аточной функци и зад аны матри цей . При э том размерность в ектора K опред еляетсячи слом строкматри цы нулей .

Параметры :

1.Zeros – В ектори ли матри цанулей .

2.Poles – В екторполю сов .

	3.	Gain –	Скалярны й		и ли в екторны й коэ ффи ци ент перед аточной
	функци и .
	4.	Sample time —		Ш аг д и скрети заци и по времени .
К оли честв о нулей			не	д олж но	превы ш ать чи сло полю сов перед аточной
функци и . В		том случае, если нули перед аточной функци и зад аны матри цей , то
блокDiscrete Zero-Pole мод ели руетв екторную						перед аточную функци ю . Н ули
и ли	полю са могут бы ть зад аны				комплексны ми	чи слами . В э том случае нули
и ли полю са д олж ны			бы ть зад аны комплексно-сопряж енны ми парами полю сов
и ли	нулей ,	соотв етств енно. Н ачальны е услов и я при					и спользов ани и	блока
Discrete Zero-Pole полагаю тсянулев ы ми .
Метод цифр ового			пер еобор уд ован ия н епр ер ы вн ого				р егул ятор а в	ср ед е
MATLAB/SIMULINK
Рассмотри м зад ачу			стаби ли заци и суд на на курсе. Л и ней ная математи ческая

мод ель перв ого поряд ка, опи сы в аю щ аяры скани есуд на, и меетв и д :