Особенности эконометрического метода.

Становление и развитие эконометрического метода происходили на основе так называемой высшей статистики – на методах парной, частной и множественной корреляции, выделения тренда и других компонент временного ряда, на статистическом оценивании.

Первый момент. Эконометрика как система специфических методов начала развиваться с осознания своих задач – отражения особенностей экономических переменных и связей между ними. В уравнения регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени – с целью отразить свойство оптимальности экономических переменных: наличия значений, при которых достигается минимальное и максимальное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесений удобрений на урожайность (до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности, но по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к повышению урожайности и даже может вызвать ее снижение). (В экономике – воздействие возраста рабочего на производительность труда или влияние дохода на потребление некоторых продуктов питания). В конкретных условиях нелинейность влияния переменных может не подтвердиться, если данные варьируют в узких пределах, то есть являются однородными.

Второй момент. Взаимодействие социально-экономических переменных, которое может рассматриваться как самостоятельная комопонента в уравнении регрессии. Например, имеем регрессию

y=a+b₁x+b₂z+b₃xz

Эффект взаимодействия (в данном случае это параметр b₃) может оказаться статистически незначимым. Поэтому гипотезы о нелинейности и неаддитивности связей не исключают особого внимания к проблеме применимости линейных и аддитивных уравнений регрессии.

Поясним по Голдбергу понятия аддитивности и линейности, часто отождествляемые.

• Функция y=f(x₁, x₂,…, x_k) линейна по всем независимым переменным тогда и только тогда, когда dy/dx_i не включает x_i, то есть d(dy/dx_i)=0, эффект данного изменения по x_i не зависит от x_i.

• Функция y=f(x₁, x₂,…, x_k) является аддитивной по x_i тогда и только тогда, когда dy/dx_i не включает x_j (j≠i), то есть тогда, когда d(dy/dx_i)dx_j=0, эффект данного изменения по каждой независимой переменной не зависит от уровня другой переменной. Аддитивность является необходимым определением этой особенности ввиду того, что совместный эффект изменения по всем учтенным независимым переменным может быть получен сложением отдельно вычисленных эффектов изменений по каждой из них.

Рассмотрим примеры оценки линейности и аддитивности ряда функций для случая двух объясняющих переменных в виде таблицы.

функция f(x1, x2)	df/dx1	df/dx2	линейность		аддитивность по x1, x2
			по x1	по x2
a1x1^2+a2x2^2+ +a3x1x2	2a1x1+a3x2	2a2x2+a3x1	нет	нет	нет
x2/x1	-x2/x1^2	1/x1	нет	да	нет
a1x1^2+a2x2	2a1x1	a2	нет	да	да
a1x1x2^2+a2lnx2	a1x2^2	2a1x1x2+a2/x2	да	нет	нет
a1x1+a2­x2	a1	a2	да	да	да

В эконометрических исследованиях сами уравнения регрессии стали обосновываться содержательно. Например, зависимость себестоимость (y) от объема производства (x) (количества единиц продукции) может быть представлена как

затраты, не зависящие затраты, зависящие

Затраты на производство = от объема производства + от объема производства

(постоянные затраты) (переменные затраты)

yx = b + ax

yx=b+ax => y=b/x+a , или

затраты на постоянные затраты переменные затраты

производство в = на 1 ед. продукции + на 1 ед. продукции

расчете на 1 ед.

продукции

Параметры такого уравнения могут оцениваться м.н.к., но особенность его в том, что каждый параметр имеет совершенно определенный экономический смысл.

В 30-е гг. XXв. повсеместное увлечение множественной регрессией сменилось разочарованием. Строя уравнение множественной регрессии и стремясь включить как можно более объясняющих переменных, исследователи все чаще сталкивались с бессмысленными результатами – прежде всего с несоответствием знаков при коэффициентах регрессии априорным предположениям, а также с необъяснимым изменением их значений. Причина заключается в том, что изолированно взятое уравнение регрессии есть не что иное, как модель "черного ящика", т.к. в ней не раскрыт механизм зависимости выходной переменной y от входных переменных x_i , а лишь констатируется факт наличия такой зависимости.

Для проведения правильного анализа нужно зхнать всю совокупность связей между переменными. Одним из первых подходов к решению этой задачи является конфлюэнтный анализ, разработанный в 1934г. Р. Фришем. Он предложил изучать целую иерархию регрессий между всеми сочетаниями переменных. При этом каждая переменная рассматривалась как зависимая от всех возможных подмножеств переменных, а также от всего множества переменных. Анализируя регрессии с разным числом переменных, Р. Фриш обнаружил "эффект деградации" коэффициентов регрессии. Он проявляется в том, что если в регрессию включается много переменных, имеющих линейные связи друг с другом (мультиколлинеарные переменные), то коэффициенты регрессии имеют тенденцию возвращаться к тем значениям, которые они имели в уравнении с меньшим числом переменных.

Например, при четырех переменных, вводя разное число в анализ, Р. Фриш получил следующие коэффициенты регрессии для связи между x₁ и x₂:

b₁₂= - 0,120 b_12,4=0,919 b_12,3= - 0,112

Это позволило ему сделать вывод о наличии какого-то оптимального круга переменных, выход за который не улучшает коэффициенты регрессии, а делает их неустойчивыми.

На основе изменения коэффициентов регрессии b_i и множественного коэффициента детерминации R² он разделил все переменные на постоянные, лишние и вредные.

Переменная считалась полезной, если ее включение значительно превышало R², когда этого не происходило и ввод новой переменной не изменял коэффициентов регрессии при других переменных, то она рассматривалась как лишняя; если добавляемая переменная сильно изменяла b_i без заметного изменения R², то переменная относилась к вредным. Конфлюэнтный анализ не получил большого распространения. Методы корреляций и регрессий создавались как методы описания двух и более переменных. Совместные изменения переменных могут не означать наличия причинных связей между ними.

Потребность в причинном объяснении корреляции привела американского генетика С. Райта к созданию метода путевого анализа (1910-1920) как одного из разновидностей структурного моделирования.

Путевой анализ основан на изучении всех структурных причинных связей между переменными, т.е. на построении графа связей и соответствующей рекурсивной системы уравнений. Его основным положением является то, оценки стандартизированных коэффициентов этой системы, которые интерпретируются как коэффициенты влияния (путевые коэффициенты), рассчитываются на основе коэффициентов парной корреляции. Это позволяет проанализировать структуру корреляционной связи с точки зрения причинности. Путевой анализ С. Райта, так же как и структурные модели, позволил объяснить проблему ложной корреляции, которой занимались статистики, например, К. Пирсон.

При работе с временны́ми рядами разных показателей были раскрыты проблемы ложной корреляции и проблема лага, т.е. сдвига во времени, который позволял уловить наличие связи между показателями (ВВП и инвестициями, приемом в ВУЗ и выпуском и т.д.).

Ложная корреляция возникала под влиянием фактора времени, т.е. трендовой компоненты в коррелируемых временных рядах в случаях, если

y_i – уровень одного временного ряда во время t,

x_t – уровень другого временного ряда во время t,

то связь между ними выражается графом связей:

x_t

t

y_t

Это привело к идее изменения корреляции не самих уровней x_t, y_t, а первых разностей: Δx_t=x_t-x_t-1

Δy_t=y_t-y_t-1 (при линейных трендах).

Исходя из структуры уровней временного ряда, которые включают

тренд – Т,

конъюнктурный цикл – К,

сезонную компоненту – S,

остаточную компоненту – R,

можно представить любой динамический ряд как сумму четырех составляющих. Временные ряды покупателей X и Y можно записать:

X_i =T(X)_{i ­}+K(X)_i +S(X)_i +R(X)_i

Y_i =T(Y)_i +K(Y)_i +S(Y)_i +R(Y)_i .

О. Андерсон (1887-1960) предложил измерять взаимосвязь между названными компонентами и находить частные корреляции между ними. Значимость каждой из них различна: если тренды обоих временных рядов сильно выражены и имеют одинаковую направленность, то соответствующая корреляция получает большое значение; если тренды разнонаправлены, то корреляция может быть более значительной по величине, но отрицательной по знаку; корреляция между остальными компонентами определяется теснотой связи между трендом и конъюнктурными колебаниями, трендом и сезонностью и т.д. Андерсон заметил, что невозможно предсказать, какое значение может получить ковариация тех или иных компонент, т.к. все определяется конкретным экономическим материалом, а также, что дисперсии уровней временных рядов также могут быть представлены как многосложные, включающие вариацию тренда, конъюнктурной компоненты, сезонной остаточный компонент.

М етод оценки разностей разных порядков во временных рядах для подбора наиболее подходящей степени полинома для описания тренда развивали Андерсон и Стьюдент. Выяснилось, что нельзя применять классические методы корреляционного анализа к временным рядам, т.к. не выполняется исходное условие – независимость наблюдений. Так был установлен эффект автокорреляции, выявление и устранение которого составляет одну из важных особенностей эконометрического метода.

Исследование динамики социальных и экономических процессов выявило довольно сильную распространенность эффекта насыщения: выхода на асимптоту при достижении определенных значений показателей. В силу этого в эконометрике большое распространение получили так называемые кривые с насыщением. К этому числу относится кривая Гомперца:

y=k*a^b*t, где k, a, b – параметры, t – время (1, 2,…).

Она используется для аналитического выражения тенденции развития показателя во времени, имеющего ограничения на рост.

Рисунки (а) и (б): верхний предел показателя y равен параметру k, нижний равен 0.

Рисунки (в) и (г): кривая имеет лишь нижний предел k.

Для определения параметров тренда а и b может использоваться метод наименьших квадратов, только если задан параметр k. Иначе возможно лишь приближенное оценивание параметров. Кривая Гомперца применяется в демографических расчетах и страховом деле.

К кривым насыщения относится и логистическая кривая

_t= , a, b, k – параметры; t – время

Кривая характеризует развитие показателя во времени, когда ускоренный рост в начале периода сменяется замедляющимся темпом роста вплоть до полной остановки.

Используется для описания развития производства новых товаров, роста численности населения.

Эконометрическая модель, как правило, основана на теоретическом предположении о круге взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. При всем стремлении к "наилучшему" описанию приоритет отдается качественному анализу.

Этапы эконометрического исследования и построения эконометрической модели

• постановка проблемы;

• получение данных, анализ их качества;

• спецификация модели;

• оценка параметров;

• интерпретация результатов;

(это верно как для пространственных, так и для временных данных).