20

Гл. 1. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений. § 1. Матрицы.

Определение 1. Таблица, содержащая m-строк и n –столбцов называется матрицей А и обозначается

А= либо А = ,

Числа m и n называются размерами матрицы.

Определение 2. Если m n , то матрица называется прямоугольной. Если m =n, то матрица называется квадратной. Если m = 1, получается матрица – строка, если n = 1, матрица – столбец.

Например, А= матрица размерами 3 2, В= матрица размерами 2 3.А, В – прямоугольные матрицы, Е= - квадратная матрица 3 порядка,

С=(1 2 3) матрица-строка, D= матрица-столбец.

Определение 3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называют нулевой.

Определение 4. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица вырождена.

А= вырожденная квадратная матрица, С= - невырожденная.

Определение 5. Место расположение элементов с одинаковыми номерами называют главной диагональю. Элементы стоят на главной диагонали.

Определение 6 . Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Например, А= , В= диагональные.

Определение 7. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы.

Е= единичная матрица третьего порядка. Единичная матрица 2-го порядка:

Е= .

Определение 8. Квадратная матрица А называется симметричной, если величины элементов симметричных относительно главной диагонали равны, т. е.

А= симметричная матрица, В= , С= несимметричные матрицы.

Определение 9. Квадратная матрица называется нижней (верхней) треугольной, если все ее элементы < ( > ).

A= - нижняя треугольная, В= - верхняя треугольная матрицы.

§ 2.Сложение матриц и произведение матрицы на число.

Определение 1. Пусть даны две матрицы А= и В= размерами m n. Говорят, что матрицы равны А = В, если,

Пусть даны две матрицы А= и В= размерами m n.

Матрица С размерами m n называется суммой матриц А и В, если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц А и В

С=А+В

Например А= , В= , тогда С= .

Определение 2. Пусть дана матрица В = размерами m n и число .

Произведением числа на матрицу В называется матрица С размерами m n, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы В на число .

С = В

Напрмер, если С= , то 3С= , -2С=

Заметим, что 2А=А+А, а разность матриц А – В = А + ( -1 )В.

Сложение матриц и умножение матрицы на число называют линейными операциями над матрицами .

Свойства линейных операций.

1. А+В = В+А

2. (А+В)+С = А+(В+С)

3.

4.

5.

6.

§ 3.Умножение матриц.

Определение 1.Пусть даны матрицы A = ( размерами m p, и В= , размерами p n.

Произведением матриц называется матрица C размерами m n C = AB = , каждый элемент которой = .

Пример 1. Пусть А= , В= , тогда существуют оба произведения АВ и ВА, причём АВ= , а ВА= .

Пример 2. Если А= , В= , то существует только произведение АВ и оно равно

АВ = = .