- •Тема3: Моделі проективного простору.
- •Інші моделі проективної прямої, площини
- •Питання для самоперевірки.
- •Рівняння прямої
- •Координати точки при перетворенні репера
- •Рівняння прямої на проективній площині
- •Взаємне розміщення 2 прямих
- •Питання для самоперевірки.
- •Тема 5: Принцип двоїстості.
- •Принцип двоїстості
- •Принцип двоїстості на площині
- •Принцип двоїстості у просторі
- •Теорема Дезарга
- •Питання для самоперевірки.
Тема 5: Принцип двоїстості.
Мета: дати поняття принципу двоїстості; показати використання принципу двоїстості при доведенні теорем( напр. теореми Дезарга).
План
1.Властивості відображення точок проективної площини на множину прямих цієї площини.
2. Принцип двоїстості на площині.
3. Принцип двоїстості у просторі.
4.Теорема Дезарга.
Ключові слова : ін’єктивне, бієктивне відображення ,принцип двоїстості, , пучок прямих, “точка лежить на”,” пряма проходить через”, теорема Дезарга, двоїсті образи прямої, точок прямої, пучка прямих .
Принцип двоїстості
P V , R P
Позначимо P* - множину всіх прямих площини P
f : P P* , M P
M m P* M(m , m , m ) m: х m + х m + х m =0
1) f-ін’єктивне:
M, N P , f(M) = m: m х + m х + m х =0 P*
f(N) = n: n х + n х + n х =0 P*
M N (m , m , m ) (n , n , n ) m n
2 ) f-сюр’єктивне:
m P*, m: m х + m х + m х =0
M(m , m , m ) M m
(1),( 2) f --бієктивне f : P* P - бієктивне
При f, f зберігається взаємна належність точок і прямих
Нехай: А, В, С d
f f f f -1
A a В b С c d D
A R d : d1x1+ d2x2+ d3x3=0.R Якщо А d
d1а1+ d2а2+ d3а3=0
Але
A D D(d1,d2.d3) a
B
C
d a b c
Тому, якщо А, В, С d
О тже, образом точок прямої при відображені f є пучок прямих, а при відображені образом пучка прямих є точки прямої
Принцип двоїстості на площині
Якщо справедливе твердження, у якому йде мова про точки, прямі та відношення належності між ними, то буде справедливе і твердження,
яке отримується такою заміною слів
т очка, пряма, лежить на, проходить через
пряма, точка ,проходить через, лежить на
Принцип двоїстості у просторі
Якщо справедливе твердження, у якому йде мова про точки, прямі, площини та відношення між ними, то буде справедливе і твердження,
які отримується такою заміною слів
т очка, пряма, площина, лежить на, проходить через
площина, пряма, точка проходить через, лежить на