5.2.4. Сложение гармонических колебаний
1) Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
- амплитуда результирующего колебания
A
=
- начальная фаза результирующего колебания
j
=
arctg
.
2)
Траектория точки, участвующей в двух
взаимно перпендикулярных колебаниях
(
,
y
=
):
а)
(если
разность фаз
= 0);
б)
(если
разность фаз
=
);
в)
1 (если
разность фаз
=
).
Примеры решения задач
Задача 1
Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:
x=
A1cos
,
(1)
y
= A2cos
,
(2)
где
А1
= 1 см;
с-1;
А2
= 2 см;
с-1.
Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Дано: x = A1cos y = A2 cos А1 = 1 см = 0,01м А2 = 2 см = 0,02м |
Решение: Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что y = A2cos(w1/2)t , применим формулу косинуса половинного угла:
|
y = f(x) = ? |
.Используя это соотношение и отбросив размерности x и y, можно написать:
y
= 2 cos
=
2
;
х
= cos
,
откуда
y
=
или y
=
.
(3)
Выражение (3) есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси OX равна 1, а по оси ОУ –2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1 до +1, а ординаты – от –2 до +2.
Для
построения траектории найдем из уравнения
(3) значения y,
соответствующие ряду значений x,
удовлетворяющих условию
1:
x
y
=
х
y
=
- 1 0 0 1,41
- 0,75 0,71 0,5 1,73
-
0,5
1
1
2
1
1 x
-1
Рис. 1
Начертив координатные оси и выбрав единицу длины (сантиметр), построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки, которая представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд.
Далее определим направление движения точки. Из уравнений (1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх = 2 с, а по вертикальной оси Ту = 4 с.
Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по оси OУ. В начальный момент (t = 0) имеем: х = 1, у = 2 (точка находится в положении 1) при t = 1 с получим: х = –1 и у = 0 (точка находится в вершине параболы); При t = 2 с получим: х = 1 и у = –2 (точка находится в положении 2). После этого она будет двигаться в обратном направлении.