- •Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве. Понятие функции
- •Тема 1. Прямая на плоскости
- •Тема 2. Кривые второго порядка
- •Тема 3. Уравнение плоскости
- •Тема 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Тема 5. Функция. Область определения
- •Тема 6. Непрерывность функции. Предел функции
Тема 3. Уравнение плоскости
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
2. Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение плоскости.
3. Даны точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно .
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: , и .
6. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно плоскости .
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости .
8. Написать уравнение плоскости:
параллельной плоскости и проходящей через точку ;
проходящей через ось z и через точку ;
параллельно оси и проходящей через точки и .
9. Через точку провести плоскость, которая отсекала бы на осях координат положительные и равные между собой отрезки.
10. Составить уравнение плоскости, зная ее расстояние от трех точек , , , а именно: , , .
11. Вычислить отрезки, отсекаемые по осям координат следующими плоскостями:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
12. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
13. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
, ;
, ;
, ;
14. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
, ;
, ;
, .
15. Определить, при каких значениях l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
, ;
, ;
, .
16. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
, ;
, ;
, ;
, .
17. Вычислить высоту h пирамиды с вершинами , , , .
18. На оси Oz найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: и .
19. На оси Ox найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: и .
20. Две грани куба лежат на плоскости , . Вычислить объем этого куба.
Тема 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
1. Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три точки: , , .
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осями координат углы, соответственно равные , и .
3. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:
1) вектору ; 2) прямой ;
3) оси Ox; 4) оси Oy; 5) оси Oz.
4. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , .
5. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно:
1) вектору ;
2) прямой ;
3) прямой , , .
6. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
7. Составить канонические уравнения следующих прямых:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
8. Вычислить направляющие косинусы прямых:
1) ; 2) .
9. Доказать параллельность прямых:
1) и ;
2) , , и ;
3) и .
11. Доказать перпендикулярность прямых:
1) и ;
2) , , и ;
3) и .
12. В плоскости найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную к прямой .
13. Напишите уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .
14. Найти острый угол между прямыми: , .
15. Даны прямые , . При каком значении l они пересекаются?
16. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
17. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости с прямыми и .
18. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и через прямую .
19. Через прямую провести плоскость, перпендикулярную плоскости .
20. При каком значении А плоскость будет параллельна прямой ?
21. При каких значениях коэффициентов А и В плоскость перпендикулярна прямой ?
22. Проверить, лежит ли прямая:
на плоскости ;
на плоскости .
23. Написать уравнение общего перпендикуляра двух прямых: и .
24. Найти тупой угол между прямыми , , и , , .
25. Написать уравнение плоскости, проходящей через следующие две параллельные прямые: и .
26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной прямым и .