Тема 5. Функция. Область определения
Определить область определения следующих функций:
1)
;
6)
;
2)
;
7)
;
3)
;
8)
;
4)
;
9)
;
5)
; 10)
,
.
Определить область определения и множество значений следующих функций:
1)
;
3)
2)
;
4)
.
Записать функцию, выражающую зависимость радиуса r цилиндра от его высоты h при данном объеме V=1. Построить график этой функции.
Выразить площадь равнобокой трапеции с основаниями a и b как функцию угла при основании a. Построить график функции при a=2, b=1.
Исследовать на монотонность следующие функции:
1)
;
2)
3)
;
4)
;
5)
,
.
Определить, какие из данных функций
являются четными, а какие нечетными:
1)
; 2)
;
3)
,
;
4)
;
5)
.
Используя правила преобразования графиков функций по графику функции
,
построить эскизы графиков следующих
функций:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
; 11)
; 12)
;
13)
; 14)
; 15)
;
16)
; 17)
;
19)
;
20)
; 21)
;
Построить эскизы графиков следующих функций:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
.
Тема 6. Непрерывность функции. Предел функции
Покажите, что функция
ограничена в интервале
.Покажите, что функция
не ограничена в любой окрестности
точки
,
однако не является бесконечно большой
при
.С помощью
рассуждений докажите, что:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Пусть
При таком выборе числа а
функция
будет непрерывной? Построить ее график.С помощью рассуждений доказать, что функция
непрерывна при
.Вычислите пределы:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 7)
;
8)
; 9)
;
11)
; 12)
;
16)
; 17)
;
18)
; 19)
;
20)
; 21)
;
22)
,
; 23)
;
24)
; 25)
;
26)
; 27)
;
28)
; 29)
;
30)
; 31)
;
33)
;
34)
;
35)
;
36)
;
37)
; 38)
;
39)
; 40)
;
41)
; 42)
;
44)
;
45)
;
46)
; 47)
;
48)
;
49)
;
50)
; 51)
;
52)
; 53)
;
54)
; 55)
;
56)
; 57)
;
58)
;
59)
;
60)
; 61)
;
62)
; 63)
;
64)
; 65)
;
66)
,
; 67)
;
68)
; 69)
;
70)
; 71)
;
72)
; 73)
;
74)
; 75)
.
Пусть дана функция
.
Показать, что для каждого
можно подобрать
такое, что
,
если только
,
а для
для всех значений х
этого сделать нельзя. В каких точках
нарушается непрерывность этой функции?С помощью рассуждений доказать непрерывность следующих функций:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Исследовать на непрерывность и изобразить графически следующие функции:
1)
,
если
и
– произвольно;
2)
,
если
и
;
3)
,
если
и
;
4)
,
если
и
– произвольно;
5)
,
если
и
;
6)
,
если
и
;
7)
,
если
и
– произвольно;
8)
;
9)
,
если
и
;
1
0)
;
11)
.
Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек если:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
; 11)
; 12)
.
Пусть
При каком выборе числа а функция
будет непрерывной?Исследовать следующие функции на непрерывность и выяснить характер точек разрыва, если:
1)
2)
3)
4)
5)
Показать, что при любом выборе числа функция
будет разрывная при х=1.Функция теряет смысл при х=0. Определить число так, чтобы была непрерывна при х=0, если:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
.