Шпоры по физике

Также можем записать dA=M_zdφ, где M_zFrsinα=Fl. Таким образом работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии (кинетическая энергия Wк тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции J тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости ω): dA=dW, но dW=d((J_z ω²)/2)=J_zωdω, поэтому M_zdφ= J_zωdω, учитывая то,что ω=dφ/dt, получаем M_z =J_z (dω/dt)= J_z ε. – это уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. (Jz-момент инерции тела относительно оси z – физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси; угловое ускорение – физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости по модулю (как быстро изменяется)).

Билет 67. Вопрос 2. Постулаты СТО. Преобразования Лоренца и инварианты этих преобразований. Основы СТО были заложены Эйнштейном. Эта теория представляет современную физическую теорию пространства и времени, в которой полагается что время однородно и изотропно. В основе СТО лежат постулаты Эйнштейна. Постулаты: 1) Принцип относительности: никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой. (согласно этому постулату все ИСО равноправны, то есть явления во всех системах протекают одинаково). 2) Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех ИСО. (согласно этому постулату, постоянство скорости света – фундаментальное свойство природы, которое констатируется как факт). Преобразования Лоренца. Рассмотрим две ИСО K (с координатами x,y,z) и К’ (с координатами x’,y’,z’), движущимися относительно K (вдоль оси x) со скоростью v=const. Пусть в начальный момент времени начала координат O и O’ совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в обеих системах одинакова и равна c. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки, пройдя расстояние x=ct, то в K’ координата светового импульса в момент движения точки A x’=ct’. Вычитая получаем x’-x=c(t’-t). Так как x=!x’, то t!=t, то есть отсчет времени в системах К и K’ различен – отсчет времени имеет относительный характер (в классической физике считается, что время во всех ИСО течет одинаково). Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной системы отсчета к другой, заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна. Эти преобразования были предложены Лоренцом в 1904 году, еще до появления СТО и имеют вид: 1) при К->K’. x’=(x-vt)/√(1-β²), y’=y, z’=z, t’=(t-vx/c²)/√(1-β²); 2) при К’->K x=(x’+vt’)/ √(1-β²), y=y’, z=z’, t=(t’+vx’/c²)/√(1-β²); (примечание β=v/c ). Из преобразований Лоренца следует важный вывод о том, что как расстояние, таки промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной ИСО к другой. Инварианты преобразований: инварианты – величины, которые не изменяются при переходе от одной ИСО к другой. с=3*10⁸ м/с. Интервал между двумя событиями ∆S= √(c²∆t²-∆x²-∆y²-∆z²). E=c√(p²+m₀²c²), (E²/c²)-p²= m₀²c². (E²/c²)-p²=inv.

Билет 68. Вопрос 1. Движение точки по окружности. Векторы угловой скорости и углового ускорения, их связь с векторами мгновенной скорости и нормальным и тангенциальным (касательным) ускорениями. ускорениями. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R. Ее положение через промежуток времени ∆t зададим углом ∆φ. Модуль вектора dφ равен углу поворота, а его направление совпадет с направлением поступательного движения острия винта, вращение головки которого подчиняется правилу правого винта. Векторы направления, которых связывают с направлением вращения не имеют определенных точеск приложения и могут откладываться из любой точки оси вращения. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота по времени: w=lim( при ∆t->0)( ∆φ/∆t)=dφ/dt; Вектор w направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же как и вектор dφ. Единица измерения рад/с.линейная скорость точки v=lim(при∆t->0)( ∆s/∆t)= lim(при∆t->0)(R∆φ/∆t)=R*lim(при∆t->0) ∆φ /∆t= Rw. В векторном виде формулу для линейной скорости можно записать как векторное произведение: v=[wR]. Угловым ускорение называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: ε=dw/dt: при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору w, при замедленном движении – противоположно направлен. Тангенциальная составляющая ускорения равна a_τ=dv/dt, v=wR и => a_τ=d(wR)/dt=Rdw/dt=Rε; нормальная составляющая ускорения a_n=v²/R= w²R²/R= w²R; таким образом связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: s=Rφ; v=Rw; a_τ= Rε; a_n= w²R.

Билет 68. Вопрос 2. Теплопроводность идеального газа. Уравнение теплопроводности, физический смысл величин входящих в него. Связь коэффициента теплопроводности с длиной свободного пробега и средней скоростью молекул. Теплопроводность: если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье j_E=-λdT/dx, где j_E= плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени, в единичную площадку, перпендикулярную оси x. λ-теплопроводность. dT/dx- градиент температур, равных скорости температуры за единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает на то, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры. Теплопроводность λ численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно показать, что λ=1/3С_vp<v><l>. (где С_v-удельная теплоемкость газа при постоянном объеме- количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1К при постоянном объеме; р- плотность газа – масса единичного объема вещества; <v> - средняя скорость теплового движения молекул; <l>-средняя длина свободного пробега молекул – путь между двумя последовательными столкновениями молекул ).

Билет 69. Вопрос 1. Кинетическая энергия тела. Чему она равна для электрона, движущегося со скоростью, равной половине скорости света? Кинетическая энергия – энергия механического движения тела. Сила F действует на покоящееся тело и вызывая его движение , совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом работа dA силы F на пути , который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии тела dE_k, то есть dA= dE_k, используя второй закон Ньютона F=m(dv/dt) и умножая на перемещение dr, получаем Fdr= m(dv/dt)dr=dA. Так как v=dr/dt, то dA=mvdv=dE_k, откуда E_k=∫(от 0 до v) mvdv=mv²/2. Таким образом тело массой m, движущееся со скоростью v обладает кинетической энергией E_k= mv²/2. Видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, то есть кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения. Кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. m электрона=9,1*10^-31кг. v=(3/2)*10⁸м/с. Ek=20,5*10^-15.

Билет 69. Вопрос 2. Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной вынуждающей силы. Резонанс. Резонансные кривые. Амплитуда колебаний при резонансе. Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы. ; ma = F ; m d2 x / dt (ст.2) = F ; Fупр = - kx ; Fтр = - b dx / dt ; F = F0 sinΩt ; (d2 x / dt (ст.2)) + (2 БЕТА dx / dt) + w 0 (ст.2) = (F0 / m) sinΩt ; Это дифференциальное уравнение описывает вынужденные колебания. В общем случае общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: X(t) = X1(t) + X2(t) ; X1(t) является общим решением однородного диф. уравнения, описывающего свободный гармонический затухающий осциллятор. Видно, что после начала действия вынуждающей силы возникает сложный колебательный процесс, состоящий из суммы 2х колебаний – затухающего колебания X1(t) с частотой wt и незатухающего колебания с частотой Ωt. X1(t) за достаточно небольшой промежуток времени затухает и остается только одно колебание с частотой вынужденной силы Ω0. Это время, в течении которого X1(t) затухает, называется временем установки вынужденных колебаний. Чем больше добротность осциллятора, тем больше время установления ТАУ~10 Q/w0 (это время, в течении которого амплитуда затухающего колебания уменьшится в 100 раз). В общем случае установившееся вынужденное колебание имеет вид:

X =Asin(Ωt +ФИ); непосредственно подставляя это выражение в дифференциальное уравнение вынужденного колебания можно получить:

A = F0 / m (корень (w 0 (ст.2) – Ω(ст.2) + ФИ БЕТА (ст.2) Ω (ст.2)) ;

tgФИ = - 2 БЕТА Ω / (w 0 (ст.2) – Ω (ст.2))

1. при Ω=0 ; A = F0 / m w 0 (ст.2) = F0 / k – статическое смещение.

2. при ΩБЕСКОНЕЧНОСТЬ ; A0 ;

Максимум амплитуды вынужденных колебаний достигается при частоте

Ω = (корень w 0 (ст.2) – БЕТА (ст.2)) ;

При частоте w = (корень w 0 (ст.2) – БЕТА (ст.2)) амплитуда достигает максимума: Amax = F0 / 2 m БЕТА Ω. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. При δ²<<ω₀² значение ω_рез практически совпадает с собственной частотой ω₀ колебательной системы. Используя значение для ω_рез= √(ω₀²-2δ²), вычислим значение амплитуды при резонансе: Aрез=x0/(2δ√(ω₀²-2δ²)).

Исходя из представлений на рисунке мы видим: чем меньше δ, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если ω->0 , то все кривые достигают одного и того же отличного от нуля предельного значения: х₀/ω₀². Если ω->к бесконечности, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Билет 70. Вопрос 1. Момент импульса твёрдого тела. Закон сохранения момента импульса. Определите момент импульса шара радиусом R и массой m, вращающегося вокруг оси касательной к его поверхности с угловой скоростью ω. Момент импульса (количество движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О – физическая величина, определяемая векторным произведением: L=[rp]=[r, mv], r- радиус –вектор, проведенный из точки О в точку А; p=mv – импульс материальной точки. Модуль вектора импульса равен L=rpsinα=mvrsinα=pl. Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z, не зависит от положения точки О на оси z. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной сои z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью v_i. Скорость v_i импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу. Момент импульса отдельной частицы равен L_iz=m_iv_ir_i. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц L_z=∑ (от i=1 до n) m_iv_ir_i. L_z=∑ (от i=1 до n) m_iwr_i²=w∑ (от i=1 до n) m_ir_i²=J_zw. В замкнутой системе момент внешних сил M=0, dL/dt=0, откуда L=const. Это выражение есть закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени. Для начало нужно рассчитать момент инерции шара: для этого надо рассчитаем для половины шара, затем умножим на 2. Разобьем шар на диски бесконечно малой толщины. dJ=1/2dm*x², так как dm=pdV=pπx²dy, преобразуем: dJ=3/8m/R³*x⁴dy; Так как есть расчеты для половины шара применим Теорему Штейнера и рассчитаем момент инерции шара: Jc=2*3/8m/R³*x⁴dy=3/4 m/R³*x⁴dy; J=3/4 m/R³*x⁴dy+ ma². Момент импульса L=J*w, =>3/4 (m/R³*x⁴dy+ ma²)*w.

Билет 70. Вопрос 2. Понятие о физической кинетике. Время релаксации. Эффективный диаметр молекул. Длина свободного пробега. Физическая кинетика – это микроскопическая теория процессов в неравновестных системах. Физическая кинетика исходит из представления о молекулярном строении рассматриваемой среды и силы взаимодействия между частицами.

Физическая кинетика включает в себя кинетическую теорию газов, основанную на следующих общих положениях классической статистической физики:

1. В системе частиц выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда и числа частиц.

2. Все частицы являются “меченными”, т.е. тождественные частицы отличны друг от друга.

3. Все физические процессы в системе протекают непрерывно в пространстве и времени (не квантуются).

4. Каждая частица системы может иметь произвольное значение координат и компонент скорости, независимо от других частиц. Релаксация - процесс установления термодинамического, а следовательно, и статистического равновесия в физической системе, состоящей из большого числа частиц. Р. — многоступенчатый процесс, т. к. не все физические параметры системы (распределение частиц по координатам и импульсам, температура, давление, концентрация в малых объёмах и во всей системе и др.) стремятся к равновесию с одинаковой скоростью. Обычно сначала устанавливается равновесие по какому-либо параметру (частичное равновесие), что также называется Р. Все процессы Р. являются неравновесными процессами, при которых в системе происходит диссипация энергии, т. е. производится энтропия. Время, за которое первоначальное отклонение какой-либо величины от ее равновесного значения уменьшается в e раз называется временем релаксации. Процесс установления равновесия в газах определяется длиной свободного пробега частиц l и временем свободного пробега t (среднее расстояние и среднее время между двумя последовательными столкновениями молекул). Отношение l/t имеет порядок величины скорости частиц. Величины l и t очень малы по сравнению с макроскопическими масштабами длины и времени. С др. стороны, для газов время свободного пробега значительно больше времени столкновения t0 (t >> t0). Только при этом условии Р. определяется лишь парными столкновениями молекул. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d , он зависит от скорости сталкивающихся молекул, то есть от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Билет 71. Вопрос 1. Импульс тела и импульс силы. Закон сохранения импульса. Изменение импульса незамкнутых систем. Импульс происходит от лат impulses что в буквальном смысле означает толчок. Импульсом тела (количеством движения материальной точки) называют векторную физическую величину, являющуюся мерой механического движения. Импульс тела – количество движения. P = m v (вектор) – справедливо для материальной точки. Если тело имеет конечный размер, то импульс этого тела можно найти как векторную сумму импульсов материальных точек, на которое можно разбить это тело. Импульс тела измеряется произведением масс тела на его скорость. p(вектор)=m*v(вектор); d/dt (m1v1)=F’1+F1, d/dt (m2v2)=F’2+F2,……. d/dt (mnvn)=F’n+F’n, складывая почленно эти уравнения получаем: d/dt (m1v1+m2v2+…+mnvn)=F’1+F’2+…+F’n+F1+F2+…+Fn. Так как геометрическая сумма сил по третьему закону равна нулю, то: d/dt (m1v1+m2v2+…+mnvn) = F1+F2+…+Fn. dp/dt= F1+F2+…+Fn, где p=∑ (от i=1до n) mivi – импульс системы. Таким образом производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. В случае отсутствия внешних сил (в замкнутой системе): dp/dt=∑ (от i=1до n) d/dt ( mivi)=0, то есть p=∑ (от i=1до n) mivi=const. Это и есть закон сохранения импульса: Импульс изолированной системы двух материальных точек сохраняется, то есть остается постоянным во времени, каково бы не было взаимодействие между ними. Согласно формуле dp/dt=F1+F2+…+Fn, импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна 0.

Билет 71. Вопрос 2. Диффузия в газах. Коэффициент диффузии. Его связь с длиной свободного пробега и средней скоростью движения молекул. Диффузия: - происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей или даже твердых тел. Она сводится к обмену масс частиц этих тел возникает и продолжается до тех пор, пока существует градиент плотности. Подчиняется закону Фика: j_m=-Ddp/dx, где j_m= плотность потока массы. D – диффузия, dp/dx- градиент плотности. Диффузия численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. D=1/3<v><l>.

Билет 72. Вопрос 1. Гармоническое колебание и его характеристики. Векторная и комплексная форма представления колебаний. Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа s=Acos(ω₀t+φ), где А- максимальное значение колеблющейся величины – амплитуда. ω₀-круговая частота, φ- начальная фаза колебаний в момент времени t₀. (ω₀t+φ)-фаза колебаний в момент времени t. Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени T, который носит название периода колебаний, за который фаза колебаний получает приращение 2π , то есть ω₀(t+Т)+φ= ω₀t+φ+2π, откуда T=2π/ ω_0. величина, обратная периоду колебаний ν=1/Т, - это частота колебаний – то есть число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом φ, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор A, модуль которого равен амплитуде А, рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение угловой скоростью w0, равной циклической частоте колебания, то проекция конца вектора будет перемешаться по оси х и принимать значения от –А до + А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону: s=Acos(ω₀t+φ).

Комплексная форма представления колебания.

S=Asin(wt + φ0) = Acos(wt + φ1); φ1 = φ0 – π/2 ; Согласно формуле Эйлера: e (в ст. iφ) = cosφ + i sinφ; (i – мнимая единица), поэтому гармонические колебания можно записать в экспоненциальной форме:

S = N e (в ст. iwt) = A e ( в ст. i (wt + φ)) = cos(wt + φ1) + i Asin(wt + φ1) .

Билет 72. Вопрос 2. Удельная и молярная теплоемкость. Теплоёмкость многоатомных газов. Недостаточность классической теории теплоёмкости. Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1К: c=dQ/mdT (Дж/(кг*К)). Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1К. Сm=dQ/vdT (Дж/(моль*К)), где v=m/M. Удельная теплоемкость связана с молярной соотношением Сm=cM, где М – молярная масса вещества. Различают теплоемкости при постоянно давлении и при постоянном объеме, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается постоянным. Первое начало термодинамики: C_mdT=dU_m+pdV_m. Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии: C_v=dU_m/dT, то есть молярная теплоемкость при постоянном объеме C_v= изменению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К. C_v=(i/2)R. Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение для первого начала термодинамики можно представить как: C_p=dU_m/dT+pdV_m/dT. Учитывая, что dU_m/dT не зависит от вида процесса (так как определяется только температурой T) и всегда равна С_v, получаем, что C_p=C_v+R. Ср=((i+2)/2)*R. Из приведенных формул для расчета Cp и Cv следует, что теплоемкости определяются только лишь числом степеней свободы молекул. Это утверждение МКТ справедливо довольно в широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы зависит от температуры. (например Сv водорода при низкой температуре 3/2R при комнатной 5/2R вместо расчетных 7/2R. Дело в том, что нужно учитывать квантовые энергии вращения и колебания молекул. Если энергия теплового движения недостаточна, то эти колебания не вносят вклада в теплоемкость.

Билет 73. Вопрос 1. Кинетическая энергия тела. Связь между кинетическими энергиями тела в различных инерциальных системах отсчёта. Энергия – общая универсальная, количественная мера всех видов движений. Кинетической энергией называют энергию, которой обладают движущиеся тела и частицы, то есть это энергия механического движения этой системы. Тело массой m, движущееся со скоростью V обладает кинетической энергией. Wк=mc². Кинетическая энергия зависит только от скорости и массы тела, следовательно, она является функцией состояния движения системы. В разных инерциальных системах отсчета скорости, а соответственно кинетические энергии будут не одинаковы (следовательно, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета). Изменение кинетической энергии происходит за счет работы внешних сил. dVk = dA = Fdr ; dr = vdt ; dWk = Fdr = F v dt = vdP

F = dP / dt = 1/m * vdP = d(P²/ 2m) ; dWk = d(P² / 2m) ;

Wk = P²/ 2m = (mv²)/ 2. В различных системах отсчета кинетические энергии по разному взаимодействуют, преобразуются при переходе от одной системы отсчета к другой. v (итое)= dv/dt = (dr / dt) + (dr итое штрих / dt) = v нулевое + v итое’. v итое = v нулевое + v итое' ; v итое в квадрате. = v нулевое в квадрате. +2 v нулевое v итое’ + v итое’ в квадрате. Wk = сумма mi vi в квадрате. / 2 = v нулевое в квадрате. * сумма[mi /2] + 2 v нулевое * сумма[mi vi / 2] + 1/2 *сумма[mi vi’ в кв.] –а это и есть кинетическая энергия. Если выбрать начальную систему отсчета k’ в центре масс, то v’c (где v’c – скорость центра масс)=0, то Wк=Wк’+1/2mV².

Билет 73. Вопрос 2. Волна. Уравнение плоской гармонической волны. Фазовая и групповая скорость волны. Волновой вектор и волновое число. Колебания возбужденные в какой- либо точке среды, распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Процесс распространения волны частицы среды называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы не движутся, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества. Выделяют следующие типы волн: 1) волны на поверхности жидкости; 2) упругие –механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде (бывают продольные и поперечные); 3) электромагнитные. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ. Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период, т.е λ=vT, или v= λυ, где υ – частота колебаний. Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Для вывода уравнения бегущей волны – зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени – рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны. Рассмотрим некоторую частицу B среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии x. Если колебания точек, лежащих в плоскости ч=0, описываются функцией ξ(0,t)=Acosωt, то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид ξ(х,t)=Acosω(t-x/v) – это и есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то ξ(х,t)=Acosω(t+x/v). В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ч в среде, не поглощающей энергию, имеет вид ξ(х,t)=Acos[ω(t-x/v)+φ₀]. Для характеристики волн используется волновое число k=2π/λ=2π/(vT)=ω/v. Исходя из этого уравнению бегущей волны можно придать вид: ξ(х,t)=Acos(ωt-kx+φ₀). Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных: (д²ξ)/(дх²) + (д²ξ)/(дy²)+ (д²ξ)/(дz²)=(1/v²)* (д²ξ)/( дt²) или ∆ξ=(1/v²)* (д²ξ)/( дt²). Для плоской волны: (д²ξ)/(дх²)= (д²ξ)/( дt²). Волновой вектор, вектор k, направление которого совпадает с направлением распространения бегущей волны, численно равный волновому числу.

dx/dt=v следовательно скорость распространения волны у равнении есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью. Групповая скорость отвечает за скорость распространения волнового пакета (то есть суперпозиции волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства), принимают за нее скорость движения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве целого волнового пакета. dx/dt=dw/dk=u, это и есть групповая скорость (скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет). Связь между групповой и фазовой скоростями u=v-λdv/dλ.

Билет 74. Вопрос 1. Вынужденные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний под действием гармонической вынуждающей силы, его решение и анализ. Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитные колебания. Решим дифференциальное уравнение (дS²)/(дt²)+2δ(ds/dt)+ω₀²s=x₀cosωt, применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (х₀ в случае механических колебаний равно F₀/m, в случае же электромагнитных U_m/L). Решение этого дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения свободных затухающих колебаний ((дS²)/(дt²)+2δ(ds/dt)+ω₀²s=0) и частного решения неоднородного уравнения, частное решения найдем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения на комплексную величину x₀e^iωt: ˙s˙+2δs˙+ ω₀²s= x₀e^iωt. Частное решение будем искать в виде s=s₀e^iήt. Получим s₀e^iήt(-ή²+2iδή+ω₀²)= x₀e^iωt’. Так как равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время из него должно исключаться. => ή= ω. Учитывая это найдем s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на (-ω²-2iδω+ω₀²), затем представим в экспоненциальной форме. s₀=Ae^-iφ. Где А=x₀/(√((ω₀²- ω²)²+4δ² ω²)). φ=arctg((2δω)/( ω₀²- ω²). Следовательно , решение уравнения в комплексной форме примет вид: s= Ae^i(ωt-φ). Таким образом рещение неоднородного уравнения имеет вид: s= x₀/(√((ω₀²- ω²)²+4δ² ω²))*cos(ωt- arctg((2δω)/( ω₀²- ω²)). Решение дифференциального уравнения равно сумме общего решения уравнения s1= Ae^-δtcos(ω₁t+ φ1) и частного решения. Слагаемое s1 играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством А=x₀/(√((ω₀²- ω²)²+4δ² ω²)). В установившемся режиме колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний зависят от ω.