- •Оглавление
- •Числовые выражения Свойства дробей
- •Основное свойство дроби
- •Действия с дробями
- •Линейные уравнения и системы линейных уравнений
- •Линейное уравнение с одной переменной
- •Задания для решения
- •Системы линейных уравнений
- •Алгебраические выражения
- •Формулы сокращённого умножения
- •Тождественные преобразования рациональных выражений
- •Задания для решения
- •Квадратное уравнение и его корни
- •Задания для решения
- •Теорема Виета
- •Задания для решения
- •Уравнения, сводящиеся к квадратным
- •Задания для решения
- •Множества
- •Числовые множества
- •Операции над множествами
- •П ересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Разность множеств
- •Задания для решения
- •Прямоугольная система координат
- •Прямоугольные координаты точки
- •Векторы на плоскости и в пространстве
- •Геометрические фигуры на плоскости
- •Треугольники
- •Задания для решения
- •Четырёхугольники
- •Задания для решения
- •Окружность и круг
- •Задания для решения
- •Функции
- •Основные понятия
- •Функции
- •Задания для решения
- •Линейная функция
- •Задания для решения
- •Функции , ,
- •Задания для решения
- •График и свойства квадратичной функции
- •Задания для решения
- •Системы уравнений с двумя переменными
- •Показательная и логарифмическая функции
- •Показательная функция
- •Задания для решения
- •Показательные уравнения
- •Логарифмическая функция ,
- •Задания для решения
- •Показательные и логарифмические уравнения
- •Задания для решения
- •Элементы тригонометрии
- •Графики тригонометрических функций
- •Задания для решения
- •Тригонометрические преобразования и уравнения
- •Задания для решения
- •Арифметическая и геометрическая прогрессии
- •Арифметическая прогрессия
- •Геометрическая прогрессия
- •Приложения последовательностей в финансовой математике
- •Задачи для подготовки к зачёту
-
Тригонометрические преобразования и уравнения
Тригонометрические формулы
1) ; |
6) ; |
|
2) ; |
7) ; |
|
3) ; |
8) ; |
|
4) ; |
9) ; |
|
5) ; |
10) ; |
|
11) ; |
||
12) ; |
||
13) ; |
||
14) ; |
||
15) ; |
16) . |
Пример 3. Преобразуем выражение и вычислим его значение, если .
Решение. По формулам 4) и 6)
, .
По формуле 5) .
По формулам 1) и 16) .
Задания для решения
-
Преобразуйте выражение и вычислите его значение:
а) ,если ;
б) , если ;
в) , если ;
г) , если ;
д) , если .
-
Упростите выражение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) .
-
Решите уравнения:
1) . Отв. .
2) .
Отв. .
3) .
Отв. .
4) . Отв. .
-
Найдите значение выражения
1) ; |
3) ; |
5) ; |
2) ; |
4) ; |
6) . |
-
Арифметическая и геометрическая прогрессии
-
Арифметическая прогрессия
– арифметическая прогрессия.
, – формулы n-го члена арифметической прогрессии.
D – разность арифметической прогрессии.
– сумма n первых членов арифметической прогрессии.
– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.
– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.
арифметическая прогрессия.
первый член арифметической прогрессии,
второй член арифметической прогрессии,
десятый член арифметической прогрессии,
эн плюс первый член арифметической прогрессии.
сумма десяти первых членов арифметической прогрессии.
?
Пример 1. Найти арифметическую прогрессию, если её четвёртый член равен 11, а седьмой член равен 20.
Решение. .
. Разность арифметической прогрессии . Найдём первый член: , .◄
Задачи.
-
Найти арифметическую прогрессию, если сумма второго и пятого членов равна 14, а сумма третьего и восьмого членов равна 6.
-
Найти арифметическую прогрессию, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма их квадратов равна 8.
-
Найти арифметическую прогрессию, в которой сумма первых трёх её членов равна 15, а произведение этих же членов равно 80.
-
В арифметической прогрессии найти:
-
Геометрическая прогрессия
– геометрическая прогрессия
– формула n-го члена геометрической прогрессии.
– первый член геометрической прогрессии,
– n-ый (энный) член геометрической прогрессии,
q – знаменатель геометрической прогрессии,
– сумма n первых членов геометрической прогрессии,
– формула для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Если – сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пример 2. геометрическая прогрессия: первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии,
, , .
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:
.
Пример 3. бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии, , .
сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
Пример 4. Сумма первого и третьего членов геометрическая прогрессии равна 20, а сумма второго и четвёртого членов равна 60. Найти геометрическую прогрессию.
Решение. Сумма первого и третьего членов геометрическая прогрессии равна 20: . Сумма второго и четвёртого членов равна 60: .
Тогда , .
, .
– геометрическая прогрессия.◄
Задачи.
-
Разность между шестым и четвёртым членами геометрической прогрессии равна 216, а разность между третьим и первым членами равна 8. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии.
-
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен , а знаменатель равен .
-
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её первого и четвёртого членов равна 54, а сумма второго и третьего равна 36.
-
В геометрической прогрессии найдите