- •Оглавление
- •Числовые выражения Свойства дробей
- •Основное свойство дроби
- •Действия с дробями
- •Линейные уравнения и системы линейных уравнений
- •Линейное уравнение с одной переменной
- •Задания для решения
- •Системы линейных уравнений
- •Алгебраические выражения
- •Формулы сокращённого умножения
- •Тождественные преобразования рациональных выражений
- •Задания для решения
- •Квадратное уравнение и его корни
- •Задания для решения
- •Теорема Виета
- •Задания для решения
- •Уравнения, сводящиеся к квадратным
- •Задания для решения
- •Множества
- •Числовые множества
- •Операции над множествами
- •П ересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Разность множеств
- •Задания для решения
- •Прямоугольная система координат
- •Прямоугольные координаты точки
- •Векторы на плоскости и в пространстве
- •Геометрические фигуры на плоскости
- •Треугольники
- •Задания для решения
- •Четырёхугольники
- •Задания для решения
- •Окружность и круг
- •Задания для решения
- •Функции
- •Основные понятия
- •Функции
- •Задания для решения
- •Линейная функция
- •Задания для решения
- •Функции , ,
- •Задания для решения
- •График и свойства квадратичной функции
- •Задания для решения
- •Системы уравнений с двумя переменными
- •Показательная и логарифмическая функции
- •Показательная функция
- •Задания для решения
- •Показательные уравнения
- •Логарифмическая функция ,
- •Задания для решения
- •Показательные и логарифмические уравнения
- •Задания для решения
- •Элементы тригонометрии
- •Графики тригонометрических функций
- •Задания для решения
- •Тригонометрические преобразования и уравнения
- •Задания для решения
- •Арифметическая и геометрическая прогрессии
- •Арифметическая прогрессия
- •Геометрическая прогрессия
- •Приложения последовательностей в финансовой математике
- •Задачи для подготовки к зачёту
Задания для решения
-
Постройте в одной системе координат графики функций , и .
Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой из функций.
-
Постройте в одной системе координат графики функций:
В какой точке находится вершина параболы? В какой точке парабола пересекает ось Oy?
-
Постройте график функции:
.
-
График и свойства квадратичной функции
– квадратичная функция
Квадратичную функцию можно задать формулой вида .
Доказательство. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
.
Обозначим и . Получим
График функции – парабола с вершиной в точке . Значит, график функции – парабола с вершиной в точке .
Ось симметрии параболы – прямая .
Парабола пересекает ось Oy в точке (0;с)
Пример 6. Построим график функции .
Решение. Выделим полный квадрат: парабола с вершиной в точке (2; –3). Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке (0;5). |
Задания для решения
-
Найдите вершину параболы, точку пересечения параболы с осью , точки пересечения с осью (если такие есть). Схематически постройте параболу по полученным точкам:
-
Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
-
Системы уравнений с двумя переменными
Пример 7. Сумма квадратов двух чисел равна 25. Разность чисел равна 1. Найдём числа.
Решение. x – первое число, y – второе число.
Нужно решить систему уравнений:
График уравнения – окружность радиуса с центром в начале координат. График уравнения – прямая линия.
Окружность и прямая пересекаются в двух точках (рисунок 14.7). Значит, система уравнений имеет два решения.
Рисунок 14.7
|
– корни уравнения . Найдём соответствующие значения переменной y:
Ответ: .
|
Пример 8. Найдите количество решений системы уравнений графически.
Рисунок 14.8 |
Решение. Графики функций построим схематически. Гипербола получается смещением гиперболы вправо на 1 и растяжением от оси в 2 раза. Вершина параболы находится в точке . Парабола пересекает ось в точке (0;–5) и симметрична относительно прямой . Гипербола и парабола пересекаются в трёх точках. Значит, система уравнений имеет три решении. Ответ: 3 решения. |
-
Показательная и логарифмическая функции
-
Показательная функция
-
– число е.
экспонента.
Пример 1. Построим графики функций и по точкам.
|
|
|||||||||||
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
0,25 |
0,5 |
1 |
2 |
4 |
|
y |
4 |
2 |
1 |
0,5 |
0,25 |
Рисунок 15.1
Графики функций пересекают ось Oy в точке (0;1). Графики функций и симметричны относительно оси Oy. Функция возрастает на всей числовой оси, функция …..