1.2.3. Вычислительная схема (алгоритм) решения явной разностной схемы

1. В системе координат xOt строим прямоугольную сетку с шагом h по оси Ох и с шагом τ по оси Ot:

a) x_i=ih, i= l, n, n=L/h;

б) t_k=kτ, k= l, m, m=T/τ;

в) и_i,k= u(x_i, t_k) = u(ih, kτ).

2. Вычисляем значения функции u(x_i, t_k) в узлах, лежащих на прямых х=0 и x=L:

3. Вычисляем u_i,0=f(ih), i= 1, n.

4. Используя (1.16) или (1.23), найдем решение для всех внутренних узлов: u_i,k+n, i= l, n-l, k= 0, m-l.

1.3. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом сеток

1.3.1. Постановка задачи. Алгоритм метода

Р

(1.24)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

ассмотрим смешанную задачу (т. е. заданы начальные и граничные условия) для волнового уравнения

в области D={0≤x≤L, 0≤t≤T} с начальными условиями

и граничными условиями

Будем предполагать, что f(x), g(x) – достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования в двух углах области D(x=0, t=0), (x=L, t=0), обеспечивающие существованне и единственность решения u(x, t).

Для дискретизации исходной задачи построим в области

прямоугольную сетку

где h – шаг сетки в направлении х, τ – шаг сетки в направлении t,

Используя для аппроксимации частных производных центральные разности второго порядка (1.10), для каждого внутреннего узла сетки получим систему разностных уравнений

которые аппроксимируют волновое уравнение (1.24) в узле (х_i, t_k) с погрешностью O(h² + τ²).

Здесь u_i,k – приближенное значение функции и(х, t) в узле (x_i, t_k).

Полагая λ = аτ/h, получим трехслойную разностнуюсхему:

Схема (1.28) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения u_i,k функции и(х, t) на трех временных слоях с номерами (k-l), k, (k+1).

Разностной схеме (1.28) соответствует пятиточечный трехслойный шаблон типа «крест» (рис. 1.2).

Рис. 1.2

С

(1.29)

хема (1.28) связывает значения u_i,k=u(ih, kτ) на трех слоях по времени, и чтобы перейти на уровень (k+1), необходимо знать как u_i,k, так и u_i,k-1, что является следствием того, что дифференциальное уравнение (1.24) содержит вторую производную по времени. Численное решение задачи (1.24) – (1.26) состоит в вычислении приближенных значений u_i,k решения u(х, t) в узлах (х_i, t) при i = 1, n, k=1, m. Схема вычислений по (1.28) является явной, она позволяет вычислить приближенно значения функции в узлах (k+1)-го слоя по известным ее значениям на двух предыдущих слоях. На первых двух слоях значения функции определяются из начальных условий (1.25). Полагаем

Для производной по времени применяем аппроксимацию (1.5)

(1.30)

отсюда

(1.31)

(1.32)

Порядок аппроксимации (1.30) равен О(τ).

Заметим, что (1.29), (1.31) дают решения для первых двух строк: k=0, k=1. Подставляя k=1 в (1.28), получим:

Все слагаемые в правой части уравнения (1.32) включают значения и_i,k только из первых двух строк сетки; но ведь все эти значения известны из начальных условий.

После этого, зная решения и_i,1 , и_i,2 , можно по (1.28) вычислить значения функции и_i,k на третьем временном слое, четвертом и т. д.

Описанная выше схема вычислений (1.28) – (1.31) aппpoксимирует задачу (1.24) – (1.26) с точностью О(τ+h²). Невысокий порядок аппроксимации по τ объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в формуле (1. 30).

Рассмотрим теперь вопросы сходимости и устойчивости. Не приводя здесь доказательств, ограничимся формулировкой окончательных результатов. Схема вычислений будет устойчивой, если выполняется условие Куранта

τ

(1.33)

<h

Это означает, что при выполнении (1.33) малые погрешности, возникающие, например, при вычислении на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условия Куранта разностная схема (1.28) обладает равномерной сходимостью, т. е. при h→0 и τ→0 решение разностной задачи (1.28) – (1.31) равномерно стремится к решению исходной задачи (1.24) – (1.26).

Условие (1.33) является достаточным для сходимости, но не является необходимым. Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, для которых (1.33) не выполняется, но все же получается правильный результат. Все дело в том, что тогда нельзя гарантировать сходимость. В общем случае, конечно, желательно обеспечить сходимость наверняка, и поэтому требование соблюдения условия (1.33) обязательно.

Таким образом, как только выбрана величина шага h в направлении х, то появляется ограничение на величину шага τ по времени. Отличительная особенность всех явных методов заключается в том, что при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (1.33), обеспечивающее сходимость и устойчивость метода.