1.4.3. Решение эллиптической разностной схемы
Наиболее простой вид разностная схема (1.37) – (1.38) имеет при l=h:
(1.40)
Рассмотрим подробно систему линейных уравнений (1.40). Начнем с i=1,k=1 и при неизменном k пройдем значения i = 1, п -1:
(1.41)
Теперь увеличим k до 2 и снова пройдем значения i = 1, n -1:
(1.42)
Структура уравнений систем (1.41), (1.42) достаточно очевидна. Так, в частности, каждое уравнение, которое соответствует внутренней точке, не примыкающей к границе, содержит только неизвестные, а уравнения для внутренних узлов, примыкающих к правой части, по крайней мере одно значение иi,k, которое задается граничными условиями.
Если продолжить и дальше таким же образом, увеличивая каждый раз k (конечное число k=m-1) и проходя значения i= 1,n-1, в итоге получим системы, обладающие той же самой структурой. Следовательно, разностная схема (1.40) имеет следующие свойства:
1. Подавляющая часть элементов матрицы коэффициентов при иi,k равна нулю.
2. Каково бы ни было n, в каждой строке матрицы имеется не более пяти отличных от нуля элементов.
Последнее свойство связано с тем, что производные в каждом внутреннем узле аппроксимировались по пяти соседним узлам (рис. 1.3). Такие матрицы называют обычно разреженными матрицами, и они возникают не только при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных, но и в целом ряде других задач.
Для решения систем линейных уравнений с разреженными матрицами разработаны достаточно эффективные прямые методы решения – варианты Гауссова исключения со специальным хранением (упаковкой) матрицы в памяти ЭВМ и специальной обработкой. Прямым алгоритмам решения разреженных систем посвящены книги.
Альтернативу методам Гауссова исключения составляют итерационные методы: метод Якоби (метод простой итерации), метод Гаусса-Зейделя. Подробное рассмотрение этих методов имеется в книгах. Рассмотрим применение итерационных методов к дискретному аналогу (1.40) уравнения Лапласа.
Если матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений строго диагонально доминирующая, т. е.
(1.43)
тогда итерации Якоби и итерации Гаусса-Зейделя сходятся к единственному решению при любом начальном условии. Разностная схема (1.40) не удовлетворяет требованию строгого диагонального доминирования. Действительно, в каждой строке матрицы коэффициентов систем уравнений (1.41), (1.42) один из элементов равен (+4); и если в строке имеется пять отличных элементов, то сумма остальных четырех равна (-4), так что соотношения (1.43) как строгие неравенства не выполняются. Oднако подчеркнем, что соотношения (1.43) накладывают чрезмерно жесткие ограничения на достаточное условие сходимости итерационного процесса. На самом деле для многих, если не для большинства, дискретных аналогов эллиптических уравнений в частных производных матрица коэффициентов разностных уравнений будет симметричной и положительно определенной. В таких случаях итерации Гаусса-Зейделя всегда сходятся, хотя для сходимости метода Якоби симметричность и положительная определенность не являются достаточными.
Можно показать, воспользовавшись другим подходом, что для разностных уравнений (1.40) оба рассматриваемых метода сходятся в случае, если матрица коэффициентов является неразложимой и диагонально доминирующей, причем хотя бы одно из соотношений
(1.44)
выполняется как строгое неравенство. Тогда система уравнений имеет единственное решение и как итерации Якоби, так и итерации Гаусса-Зейделя сходятся к этому решению при любом начальном приближении. Условию сходимости (1.44), как это следует из систем (1.41) – (1.42), разностная схема (1.40) действительно удовлетворяет. Можно показать, что матрица коэффициентов уравнений (1.40) неразложима и, следовательно, итерационный процесс для дискретных аналогов эллиптических уравнений в частных производных будет сходящимся. Метод Якоби для этой задачи сходится в два раза медленнее.
Метод Гаусса-Зейделя в применении к эллиптическим разностным уравнениям называется методом Либмана, который состоит в построении последовательности итераций вида:
(1.45)
(1.46)
где верхними индексами s обозначен порядковый номер итерации.
Формула (1.45) получена из (1.40). Согласно (1.45), новое приближение ui,k будет средним значением двух новых и двух старых приближений в четырех соседних узлах сетки (рис. 1.3).
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все иi,k(s+1) станут достаточно близки к иi,k(s). В качестве критерия близости можно принять условие
где определяется максимальное значение разности для всех i, а ε – некоторое положительное число, определяющее погрешность. По выполнении критерия итерационный процесс следует остановить.
Погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностным; погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (1.40).
Известно, что при h→0 процесс Либмана сходится к точному решению исходной задачи, независимо от выбора начального приближения иi,k(0). Следует иметь в виду, что в силу принципа максимума для значений искомой функции должны быть выполнены неравенства:
т ≤ иi,k≤ М,
где т, М – минимальное и максимальное значения функции и(х,у) на границе области D.
Поэтому разумно полагать
т ≤ иi,k(0)≤ М,
что способствует более быстрому завершению итерационного процесса.