1.3.2. Вычислительная схема решения задачи

1. Выбираем шаг сетки h по оси х и шаг τ по оси t, с учетом τ<h (предполагается, что все величины задачи измеряются в совместимых единицах).

2. Присваиваем λ=аτ/h, m=T/τ, n=L/h.

3. Вычисляем по формуле (1.29) значение решения на нулевом слое (k = 0):

4. Вычисляем по формуле (1.31) значение решения на первом слое (k=1):

5. Из граничных условий находим значения функции u(x,t) в граничных узлах:

6. Находим решение на (k+1)-м слое, исходя из значений на k-м и (k-1)-м слоях по формуле (1.28):

(по «k» – внешний цикл, по «i» – внутренний цикл).

1.4. Решение уравнения лапласа методом сеток

1.4.1. Построение разностной схемы

Рассмотрим численные методы решения, которые применимы к уравнениям эллиптического типа. Однако, чтобы не загромождать изложение, ограничим детальное обсуждение случаем двумерного уравнения Лапласа в прямоугольной области.

Поставим следующую задачу. Найти непрерывную функцию u(x,y), удовлетворяющую внутри прямоугольной области D = {(x,y) | 0 ≤ х ≤ а, 0 ≤ у ≤ b} уравнению Лапласа

(1.34)

(1.35)

и принимающую на границе области D следующие значения:

где f₁, f₂, f₃, f₄ – заданные функции, удовлетворяющие условию непрерывности и(х, у) на границе области D, т. е.

Так, поставленная задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения Лапласа (1.34). Предположим, что и(х,у) имеет непрерывные производные по х и у до 4-го порядка включительно.

Заменим область D сеточной областью. Для этого, выбрав шаги h и l по х и у соответственно, строим сетку

где n = а/h, m = b/l, х_n = nh = а, у_т = ml = b.

Введем обозначения и_i,k = u(x_i, y_k). Заменим во внутренних узлах сетки производные в (1.34) разностными отношениями второго порядка:

Подставляя эти соотношения в (1.34), отбросив погрешность аппроксимации производных, получим разностные уравнения для неизвестных и_i,k:

(1.36)

Погрешность замены дифференциального уравнения (1.34) разностным (1.36) составляет величину O(h² + l²).

Если теперь обозначить λ= l/h, то разностные уравнения (1.36) можно переписать в виде:

(1.37)

для

Уравнение (1.37) можно представить схематически, начертив пять узлов и обозначив около каждого из них соответствующий коэффициент. В результате получим пятиточечный трехслойный шаблон (Рис. 1.3), геометрически иллюстрирующий разностную аппроксимацию дифференциального уравнения.

Рис. 1.3

Заметим, что переменные u_0,k, u_n,k (k = 0, т) u_i,0, и_i,n (i = 0, n), соответствующие точкам сетки, лежащим на сторонах квадрата области D, определяются из граничных условий (1.35):

(1.38)

Система уравнений (1.37) – (1.38) – это разностная схема непрерывной задачи (1.34) – (1.35). Решения и_i,k этой разностной схемы есть приближения к точному решению и(х_i, у_k) в узлах (x_i, y_k).

1.4.2 Принцип максимума. Оценка погрешностей и сходимость решений разностных уравнений

Важным фактом разностных уравнений (1.37) является теорема, которая называется принципом максимума.

Теорема (принцип максимума).

Каждое решение разностного уравнения (1.37) принимает свое наибольшее и наименьшее значение в некоторых точках границы области D.

Доказательство этой теоремы дано в книгах. В силу принципа максимума для значений искомой функции должны быть выполнены неравенства

M ≤ u_i,k ≤ M,

г

(1.39)

де f(x, у) – заданная непрерывная на границе области D функция, т = min f(x, у), М=max f(x, у). Можно доказать, что принцип максимума, справедливый для системы разностных уравнений, эквивалентен устойчивости разностной схемы. Но тогда так же, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений решения разностных уравнений при h→0 сходятся к точному решению краевой задачи со скоростью, определяемой порядком аппроксимации уравнения и граничных условий. Таким образом для точного решения и(х, у) имеем оценку погрешности:

Оценка погрешности (1.39) справедлива, если точное решение четырежды непрерывно дифференцируемо в области D. Для области с угловыми точками, например, прямоугольника, вообще говоря, u(х, у) не удовлетворяет этим условиям. Однако, если граничные функции, т. е. функции f₁(y), f₂(y), f₃(x), f₄(x) удовлетворяют в углах специальным условиям согласования, то оценка (1.39) является верной.

Для прямоугольной области D={0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} такими условиями согласования могут быть:

1) достаточная гладкость функций f₁(y), f₂(y), f₃(x), f₄(x);

2) эти функции должны удовлетворять в углах прямоугольника дифференциальному уравнению.

Например, функция φ(х, y)=x²+y² удовлетворяет условиям согласования для уравнения

в углах D.

Оценка погрешности (1.39) имеет в основном теоретическое значение, поскольку ее практически трудно определить. Поэтому в реальных расчетах используется правило Рунге оценки погрешности, аналогичное тому, которое применяется в численном интегрировании и решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Проводятся два варианта расчета: u_i,k(h) с шагом h и u_i,k(h/2) с шагом h/2. Тогда погрешность имеет вид

и главная часть погрешности определяется на совпадающих узлах.