4.2 Перетворення випадкових сигналів у лінійних каналах з постійними параметрами

Дослідження перетворень випадкових процесів при їхньому проходженні через динамічні системи (як з регулярними, так і з випадково змінюваними параметрами) пов'язане з розв’язанням задач двох типів: визначення кореляційної функції і спектральної щільності потужності відгуку на виході системи, заданої своїми характеристиками, щодо даної кореляційної функції або спектральної щільності потужності вхідного впливу; визначення багатомірного розподілу імовірностей відгукуна виході системи по багатомірному розподілу вхідного впливу.

Друга із зазначених задач є загальнішою. З її розв’язку може бути отриманий розв’язок першої задачі. Однак надалі обмежимося розглядом тільки першої задачі і лише вкажемо шляхи розв’язання другої, складнішої задачі. Так, можна стверджувати, що якщо смуга частот , яка зайнята вхідним випадковим процесом, на багато ширша від смуги пропусканняданої лінійної системи, то розподіл вихідного випадкового процесумає тенденцію наближатися до гауссівського.

Дійсно, у стаціонарній детермінованій лінійній системі з фінітною тобто обмеженою в часі межами імпульсною характеристикою (ІХ),відгук на її діюможна записати відповідно до інтеграла Дюамеля у наступному вигляді:

. (4.1)

Крок дискретизації можна вибрати рівним інтервалові кореляції вхідного процесу. Припустимо, що вхідний процес центрований, тоді центрований і вихідний процес. Вузька смуга пропусканняозначає, що тривалість імпульсної характеристикивелика в порівнянні із.

Перетин вихідного процесу в будь-який момент часувизначається згідно (4.1)доданками суми. У цю суму входить безліч некорельованих між собою перетинів процесу. Розподіл імовірностей такої суми відповідно до центральної граничної теореми теорії імовірності (теореми Ляпунова) близький до гауссівського (причому тим ближчий, чим більшою є величина, обумовлена відношенням)[30]. У граничному випадку, якщо на вхід каналу впливає “білий” шум, у якого ширина спектра нескінченна (не співпадаючі в часі відліки не корельовані), а канал має обмежену смугу пропускання, тоі вихідний процес буде строго гауссівським. Відзначена властивість лінійного каналу зберігається і при зміні параметрів каналу.

Використовуючи функції знаходження законів розподілу випадкових величин (випадкових процесів), можна знаходити і розподіл вихідного процесу будь-якого порядку, якщо відомий розподіл вхідного процесу. Однак, визначення багатомірних імовірнісних характеристик відгуку лінійних систем виявляється досить громіздким і складним, незважаючи на те, що для розв’язання цієї задачі розроблений ряд спеціальних прийомів.

Далі визначимо функції кореляції вихідного процесу. Ясно, що для стаціонарних випадкових процесів існує пара перетворень Вінера-Хінчина між функціями кореляцій (ФК) ,процесівіі їхніх спектральних щільностей потужності (СЩП):,. Для стаціонарної лінійної системи і при випадкових стаціонарних впливах ФК вихідного стаціонарного процесувизначається з виразу

.

Можна також показати, що ФК відгуку детермінованої параметричної системи на стаціонарні вхідні впливи визначається формулою

, (4.2)

тобто у даному випадку вихідний процес - нестаціонарний.