1. Методология математического моделирования технологических машин и оборудования пищевых производств

1.1. Основные понятия планирования эксперимента (активный эксперимент)

При активном планировании любой фактор должен быть управляемым, чтобы его значения можно было устанавливать на разных уровнях. В многофакторном активном эксперименте факторы должны быть независимыми, тогда любой из них можно устанавливать независимо от уровней других факторов. Все возможные сочетания уровней изучаемых факторов встречаются при полном факторном эксперименте (ПФЭ). В этом случае количество испытаний n равно взаимному произведению чисел уровней каждого из факторов. Если число уровней K каждого из факторов одинаково, то n = K^p, где p – количество факторов. Для десяти факторов, имеющих по четыре уровня, n = 4¹⁰ млн. В подобных случаях схему ПФЭ реализовать практически невозможно. Активные эксперименты ставятся таким образом, что в каждом опыте независимые факторы варьируются по специальному плану.

Методы активного планирования эксперимента позволяют нейтрализовать пропущенные сочетания уровней. Родоначальником направления является английский ученый Р.А. Фишер. Направление получило дальнейшее развитие в работах Иэйтса, Г.Е. Бокса, К.В. Уилсона, В.В. Налимова.

Предположим, что находят уравнение модели объекта в форме полинома (отрезка степенного ряда Тейлора):

В каждом i-м опыте факторы представляются i-й

точкой факторного пространства. Целью планирования эксперимента является нахождения оценок коэффициентов b_... уравнения модели по результатам опытов в n точках факторного пространства. Поверхность отклика обычно исследуется до тех пор, пока не будет обнаружена область, близкая к оптимальному (минимальному или максимальному) значению Y. На этом исследование прекращают.

При планировании эксперимента должны учитываться следующие предпосылки:

1) наблюдения отклика y_i – независимые нормально распределенные случайные величины;

2) ² дисперсии [Y_i ] равны между собой в любой точке факторного пространства (воспроизводимость с равной точностью);

3) значения факторов X₁, ..., X_p изменяются (варьируются) с малыми ошибками по сравнению с ошибками отклика Y, т. е. значения факторов являются неслучайными величинами.

Полный факторный эксперимент. Пусть для выбранного объекта исследования надо найти такое сочетание факторов, при котором значение целевой функции минимально, y = f_min(x₁, ..., x_p ). Если надо найти максимум целевой функции g (x₁, ..., x_p) , то это равнозначно нахождению минимума функции f ( ) = –g ().

Точка начала эксперимента называется базовой (нулевой) точкой. Это центр плана эксперимента. Его координаты (x₁₀, ..., x_j0, ..., x_p0 ) = ₀ называются базовым, или нулевым, уровнем. Базовую точку ₀ выбирают ближе к центру области факторного пространства, в которой ведется математическое описание объекта.

Ограничимся случаем, когда для нахождения поверхности отклика в окрестности базовой точки ₀ каждый из факторов X_j варьируют на двух уровнях, отличающихся от базового уровня x_j0 на величину интервала варьирования х_j. Интервал варьирования х_j не может быть меньше той ошибки, с которой выставляется уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень оказался за пределами области определения факторов. Поэтому интервал варьирования выбирают равным 0,05–0,3 от допустимого диапазона изменений факторов, т. е. область варьирования составляет 10–60 % от всего диапазона.

Для упрощения обработки результатов эксперимента и интерпретации результатов переходят от натуральных значений факторов x_j к нормированным, безразмерным значениям:

z_j = (х_j – х_j0) / х_j.

В новой системе координат верхнему и нижнему уровням фактора x_j соответствуют нормированные значения z_jв = 1, z_jн = –1, которые не зависят от физической природы и интервалов варьирования факторов.

Матрица планирования полного факторного эксперимента реализует все возможные неповторяющиеся комбинации уровней p независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций n = 2^р определяет число точек факторного пространства и равно числу опытов.

Планирование эксперимента сводится к построению матрицы планирования (МП). Если исследуется трехфакторная модель объекта, для которой функция отклика относительно стандартизированных факторов имеет вид

то матрица планирования ПФЭ (матрица Адамара) для p = 3 выглядит так, как показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Матрица планирования полного факторного эксперимента

Примечание: 1) z₀ – фиктивный фактор, соответствующий постоянной составляющей b₀ уравнения объекта; 2) y – значения отклика, соответствующие определенным сочетаниям фактора.

Правила построения матрицы планирования:

1. В первой строке (i = 1) все факторы устанавливаются на нижнем уровне: z _j = –1, j = 1, ..., p.

2. Последующие строки формируются по такому правилу: при последовательном переборе точек факторного пространства (строк МП) частота смены знака для каждого последующего фактора z_j+1 вдвое меньше, чем для предыдущего z_j.

3. Все взаимодействия факторов z_jz_i (i =  j  i  …) для каждой точки факторного пространства получаются перемножением нормированных значений соответствующих факторов.

Проведение ПФЭ позволяет оценить не только силу влияния факторов на отклик, но и эффекты взаимодействия: например, как добавление одних веществ будет стимулировать влияние других на качество выпускаемого продукта.

Столбцы МП, соответствующие факторам z₁, z₂, ..., z_p (в табл. 1.1 обведены), образуют матрицу спектра плана. Вся МП, включающая фиктивный столбец и взаимодействия факторов, часто называется расширенной информационной матрицей.

Свойства матрицы планирования (без фиктивного столбца):

1) симметричность относительно нулевого уровня; означает, что алгебраическая сумма элементов каждого столбца равна нулю;

2) сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (свойство нормировки);

3) дисперсии предсказанных значений отклика одинаковы на равных расстояниях от нулевого уровня (свойство ротатабельности);

4) ортогональность; означает, что сумма почленных произведений любых двух различных вектор-столбцов матрицы равна нулю:

.

Таким образом, ПФЭ обладает ортогональной матрицей планирования (ОМП). Ортогональность вектор-столбцов МП позволяет оценивать коэффициенты модели регрессии независимо друг от друга, т. е. избавиться от неопределенности, связанной с неоднозначным оцениванием этих коэффициентов.

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) проводится, когда пропущены некоторые сочетания уровней факторов. Он дает возможность при неизменном числе испытаний исследовать гораздо большее число факторов, чем ПФЭ. При этом не учитывается та информация, которая в данный момент несущественна. Как и ПФЭ, дробные планы строятся для двухуровневых экспериментов. С их помощью в многомерном факторном пространстве формируется гиперплоскость – линейная модель поверхности отклика.

Особенно широко используются ДФЭ, в которых теряется лишь информация о взаимодействиях изучаемых факторов. Такие ДФЭ подробно изучались Фишером и Иэйтсом. Для исследования дополнительных факторов при неизменном числе опытов новому фактору присваивается вектор-столбец, принадлежащий тому взаимодействию, которым пренебрегают.

Как мы видели ранее, при исследовании трех факторов по планам полного факторного эксперимента необходимо провести восемь различных опытов: n = 2³ = 8. Без учета взаимодействий линейная модель имеет вид

Для оценки четырех параметров b_j этой модели следует иметь четыре уравнения с неизвестными b_j:

т. е. как минимум надо провести четыре опыта. Опыты проводятся по следующему плану.

Используется матрица планирования полного факторного эксперимента 2², т. е. матрица для двух факторов с четырьмя опытами. Для нового фактора z₃ присваивается вектор-столбец z₁z₂ (табл. 1.2).

Таблица 1.2

В общем случае максимальное количество факторов, которое может быть исследовано с помощью матрицы ПФЭ 2^р для линейной модели равно 2^р – 1. План с предельным числом факторов для данной матрицы планирования 2^р называется насыщенным. Таким образом, для трех факторов план 2² с четырьмя опытами является насыщенным (2² – 1 = 3).

Для рассмотренной ранее матрицы ПФЭ 2³ максимальное количество факторов, которое может быть исследовано, равно семи (2³ – 1 = 7 ). В этом случае четыре фактора приравниваются к эффектам взаимодействия: z₄ = z₁z₂, z₅ = z₁z₃, z₆ = z₂z₃, z₇ = z₁z₂z₃. Дробность плана равна

.

Данная матрица ДФЭ называется 1/16 репликой полного факторного эксперимента 2⁷, ее обозначают 2^7–4 – для анализа семи факторов, четыре фактора приравнены к эффектам взаимодействия, восемь опытов.

План ПФЭ 2³ можно использовать для анализа линейной модели с числом факторов меньше семи, например для модели с четырьмя факторами:

.

Здесь минимальное число опытов, определяемое количеством оцениваемых параметров (b₀, b₁, ..., b₄), равно пяти. Так как 2²  5  2³, то используется план, предназначенный для проведения восьми опытов. Один фактор z₄ приравнивается к эффекту взаимодействия z₁z₂. В этом случае матрица ДФЭ 2^4–1 является полурепликой ПФЭ 2⁴.

Полуреплика содержит половину опытов полного факторного эксперимента. Например, рассмотренный ранее план ДФЭ 2^3–1 (три фактора, четыре опыта) является полурепликой ПФЭ 2³, а матрица спектра плана 2³ содержит два повторяющихся спектра плана 2².

На практике редко пользуются полурепликой 2^5–1 (16 опытов), еще реже 2^6–1 (32 опыта) и т. д.; с ростом числа факторов обычно используют более дробные реплики.

Помимо рассмотренных матриц планирования, существуют другие виды планов, отличающиеся числом уровней варьирования факторов и критериями оптимальности. Наиболее часто ищут планы с минимальным числом опытов при заданной точности уравнения регрессии и планы, оптимизирующие точность уравнения регрессии.

Проведение эксперимента на объекте

Из-за действия неучтенных (неконтролируемых или неуправляемых) факторов отклик объекта носит случайный характер. Поэтому для каждого сочетания факторов, т. е. в каждой точке факторного пространства, обычно выполняется не один, а серия из m опытов, которые называются параллельными (дублированными).

Дублирование позволяет проверить воспроизводимость эксперимента и адекватность модели и исследуемого процесса. В качестве значений отклика принимается среднее арифметическое из m измерений. Матрица планирования с параллельными опытами приведена в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Погрешность опыта из-за действия неучтенных внешних факторов оценивается выборочной дисперсией отклика:

План такого эксперимента описывает n  m опытов.

Для устранения систематических ошибок, вызванных внешними условиями, проводят рандомизацию опытов во времени. Она позволяет предупредить влияние изменения температуры и влажности воздуха и сырья, изменения состава и характеристик сырья, износ рабочих органов. К примеру, в матрице спектра ПФЭ в первой половине опытов фактор X_p находится на нижнем уровне, а в последней – на верхнем. Если первая половина опытов ставится в один день, а другая – через неделю, то изменение внешних условий может вызвать появление систематических ошибок в определении отклика. При рандомизации последовательность проведения опытов ПФЭ выбирается случайно или последовательно отдельными блоками.

Выполнение опыта в i-й точке факторного пространства заключается в следующем:

1) по нормированным значениям факторов z_j для i-й строки спектра плана определяются натуральные значения координат x_i = (x_1i, x_2i, ..., x_ji, ..., x_pi);

2) факторы устанавливаются на уровни, соответствующие координатам точки x_i;

3) измеряется отклик y_ik объекта.

Проверка воспроизводимости эксперимента

Данная проверка основана на проверке гипотезы об однородности выборочных дисперсий отклика . Осуществляется она с помощью попарных сравнений по F-критерию или с помощью критерия Кохрена:

с m – 1 и n степенями свободы.

Если при заданном уровне значимости  наблюдаемое значение G меньше найденного из таблиц критического значения G_кр, то нет оснований отвергать гипотезу об однородности дисперсий и можно считать, что эксперимент воспроизводим. В противном случае следует попытаться увеличить число параллельных опытов или отбросить резко выделяющиеся значения отклика.

Если дисперсии однородны, то вычисляют оценку дисперсии воспроизводимости:

с n (m – 1) степенями свободы. Эта дисперсия является дисперсией отклика и позволяет оценивать влияние на отклик неучтенных, шумовых факторов (аналогична при регрессионном анализе).

Получение оценок коэффициентов модели

Параметры уравнения модели регрессии находят методом наименьших квадратов из условия минимума величины:

Для линейной модели с p-факторами при ПФЭ коэффициенты независимы и вычисляются по формулам

.

т. е. столбец соответствующего фактора умножается на столбец и сумма почленных произведений делится на число опытов в матрице планирования (без учета параллельности). Аналогично вычисляют коэффициенты для взаимодействий факторов:

Проверка значимости коэффициентов модели

Данная проверка заключается в проверке гипотезы H₀:  _.= 0, где  – теоретический коэффициент, оценка которого b_... является случайной величиной. Она основана на вычислении статистики Стьюдента t =  b_... / S_b, где

S_b = .

При использовании ПФЭ величины S_b для каждого из коэффициентов минимальны и равны (следствие ортогональности матрицы планирования). Для дробных реплик коэффициенты регрессии имеют большую дисперсию, чем коэффициенты, определенные по данным ПФЭ.

Доверительный интервал для каждого из коэффициентов

.

Критическая область определяется неравенством t > t_1–, где t_1– – квантиль t-распределения с числом степеней свободы n (m – 1), с которым определялась дисперсия .

Для ортогонального планирования все незначимые оценки могут быть приравнены к нулю, а соответствующие им члены уравнения регрессии отбрасываются без пересчета всех остальных оценок коэффициентов.

Незначимость оценок коэффициентов может быть обусловлена следующими причинами:

1) соответствующий фактор (или взаимодействие) не имеет функциональной связи с откликом Y;

2) эксперимент проводится в окрестностях частного экстремума по соответствующему фактору;

3) интервал варьирования соответствующего фактора выбран малым;

4) дисперсия воспроизводимости слишком велика, т. е. на фоне «шума» выделить влияние данного фактора невозможно.

Проверка адекватности математической модели

Проверка сводится к проверке гипотезы об однородности дисперсий воспроизводимости и адекватности . Дисперсия адекватности характеризует рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии (аналогична при регрессионном анализе):

где l – число значимых коэффициентов модели .

Адекватность проверяют с помощью критерия Фишера

F = /,

где   .

Для уровня значимости  находят критическое значение F_ с числом степеней свободы n – 1 и n (m – 1). Модель является адекватной при F  F_.

Решение о проведении дальнейших исследований принимается в зависимости от возможной ситуации.

1. Если коэффициенты регрессии значимы и линейная модель адекватна, то модель объекта можно считать построенной. При условии близости отклика к оптимальному значению f_min исследования можно закончить.

2. Если все коэффициенты регрессии незначимы (кроме b₀), а линейная модель адекватна, то необходимо расширить интервал варьирования или увеличить точность эксперимента (снизить ) за счет большего числа параллельных опытов. Увеличение интервалов варьирования приводит к увеличению абсолютных величин коэффициентов регрессии.

3. Если линейная модель неадекватна, то это означает, что поверхность отклика не удается апроксимировать плоскостью. В этом случае необходимо уменьшить интервалы варьирования, перенести нулевую точку варьирования или использовать более сложную модель – добавить взаимодействия факторов, т. е. перейти к нелинейным моделям. При сужении области экспериментирования необходимо помнить об ограничениях, накладываемых на минимальную величину х_j.

4. Если коэффициенты регрессии значимы, а план эксперимента является насыщенным, то адекватность проверить невозможно, так как в этом случае число степеней свободы, с которым определяется , n – l = 0. Проверка возможна, если число коэффициентов модели меньше числа точек факторного пространства, в которых измерялся отклик. В этом случае можно провести дополнительные измерения в некоторой точке, например в , тем самым увеличив n.

Интерпретация модели

Интерпретация модели – это описание влияния факторов на параметр оптимизации y на языке экспериментатора. Величина коэффициента регрессии – количественная мера этого влияния. Знак коэффициента характеризует направление изменения фактора при поиске экстремума критерия оптимизации. Если надо найти минимум функции отклика, то благоприятным является увеличение всех факторов, коэффициенты которых имеют знак минус.

Используя формулы для перехода к нормированным значениям z_j, можно получить уравнение модели с натуральными переменными. Коэффициенты модели изменятся. При этом пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величине и знакам коэффициентов b_..., так как соответствующие вектор-столбцы в матрице планирования уже не будут ортогональными, а коэффициенты будут определяться в зависимости друг от друга.

Продолжение апроксимирующего эксперимента

В тех случаях, когда не удается построить адекватную линейную модель, как было сказано ранее, переходят к более сложным апроксимирующим зависимостям, расширяя по определенным правилам количество проводимых испытаний.

Пример 1.1. Предварительные исследования по выбору устройства для измельчения и режима термообработки высокоминерализованной добавки для рыбного фарша из пелагических рыб (трески, минтая и др.) проводили на макетном образце рабочего органа, представляющем собой пружину с нанесенным методом гальваностегии абразивным покрытием в виде металлической связки на основе Ni и электрокорунда белого. В качестве основных параметров, влияющих на эксплуатационные характеристики рабочего органа, выявили два – отношение диаметра сечения витка к шагу пружины d/t и относительный размер абразивных частиц a/d. При этом обнаружены интервалы, в которых это влияние сказывается наиболее ощутимо. Для первого из названных параметров

0,6 < < 0,8,

для второго

0,05 << 0,11.

В целях детального исследования влияния указанных параметров на качество получаемого фарша для разработки рекомендаций по проектированию рабочих органов измельчителя целесообразно провести факторный эксперимент, выбрав указанные выше интервалы в качестве интервалов варьирования изменяемых факторов d/t и a/d.

На первом этапе проведения эксперимента надо найти зависимость качества измельчения, характеризуемого максимальным касательным напряжением при определенных скоростях сдвига, принятого в качестве функции отклика, от варьируемых параметров для разного времени термообработки сырья в виде

Y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂.

Для выбранных модели и интервалов варьирования нормированные переменные проводимого полного факторного эксперимента представляются следующим образом:

Х₁ = ; Х₂ = .

Достаточно высокая точность поддержания выбранных факторов на заданных уровнях, выявленная в ходе предварительных исследований, позволила ограничиться для дублирования тремя параллельными опытами.

Рандомизировав последовательность опытов при помощи таблицы случайных чисел для устранения влияния случайных погрешностей, записываем матрицы планирования эксперимента в виде табл 1.4.

После испытания образцов в порядке, соответствующем второму столбцу таблицы, результаты заносились в столбцы, отведенные для функций отклика: Y₁ – касательное напряжение добавки после термообработки сырья в течение 1,5 ч; Y₂ – касательное напряжение добавки после термообработки сырья в течение 2 ч; Y₃ – касательное напряжение добавки после термообработки сырья в течение 2,5 ч; Y₄ – касательное напряжение добавки после термообработки сырья в течение 3 ч.

Таблица 1.4