1.2. Особенности обработки данных при пассивном эксперименте

В производственных условиях, когда наблюдения входных и выходных параметров производятся случайным образом без изменения режима роботы технологического оборудования, проводится пассивный эксперимент.

Такое моделирование, например, на продукцию машиностроения включает следующие основные этапы:

– выбор основного эксплуатационного показателя;

– сбор исходной статистической информации, ее систематизацию и оценку;

– отбор существенных факторов, которые необходимо учитывать при построении модели изменения выбранного эксплуатационного показателя;

– построение диаграмм рассеивания, подбор математических форм связи между величиной показателя и влияющими на него факторами;

– расчет параметров и построение математической модели изменения или прогнозирования показателя;

– оценку полученной модели математико-статистическими методами;

– проведение вычислений по модели;

– физическую интерпретацию модели и разработку рекомендаций по ее применению.

Факторы принято разделять на экзогенные, т. е. внешние по отношению к моделируемому объекту, и эндогенные – внутренние, присущие моделируемому процессу.

Поскольку на большинство эксплуатационных показателей влияет значительное количество факторов, задачу моделирования приходится упрощать путем выделения несущественных и существенных факторов, последние из которых и включаются в модель.

Для моделирования эксплуатационных показателей технологического оборудования пищевых производств применяются методы и модели корреляционно-регрессионного анализа. При этом математические модели строят в виде уравнений регрессии – одно- или многофакторных, в которых в качестве независимых переменных выступают формирующие эксплуатационный показатель факторы, а в качестве зависимой переменной – сам выбранный показатель. В общем виде такая модель может быть представлена в виде

S = f (x₁, x₂, x₃, ..., x_i, ..., x_m, t)

Наиболее часто применяют модели описания формы связи эксплуатационного и физических показателей.

При однофакторном анализе решается задача построения математической модели, описывающей связь эксплуатационного показателя у и одного фактора х. Вначале для этой цели проводится сбор экспериментальных сведений путем многократного измерения величин у и х_i, результаты которых оформляют в виде таблицы. По этим результатам строится диаграмма рассеивания в корреляционном поле. Если последовательность точек диаграммы рассеивания группируется в виде некоторой линии, то можно сделать предположение о наличии корреляционной связи. Затем выбирается форма связи путем сравнения внешнего вида диаграммы рассеивания с имеющимися математическими моделями. Линия, которая описывает диаграмму рассеивания, называется линией регрессии, а описывающее ее уравнение – уравнением регрессии.

Процесс нахождения теоретической линии регрессии называют выравниванием эмпирической линии регрессии. После выбора математической формы связи определяют значения коэффициентов математической модели, используя метод наименьших квадратов.

Понятие о методе наименьших квадратов

В том случае, когда вид эмпирической формулы выбран, ставится задача определения ее параметров так, чтобы эта формула наиболее соответствовала имеющимся данным.

Чаще всего при подборе параметров эмпирических формул пользуются методом наименьших квадратов (принципом Лежандра): из формул вида у = f (х) наиболее соответствующей опытным данным считается та, для которой сумма квадратов отклонений эмпирических данных от вычисленных является наименьшей.

Рассмотрим, каким образом этот принцип применяется, например, для определения коэффициентов линейной модели.

Пусть пары значений (x_i; y_i) представлены точками плоскости и лежат примерно на одной прямой, т. е. существует некоторая приближенная линейная зависимость

у = ах + b или ах – у + b = 0.

Если в записанное уравнение подставить координаты эмпирических точек, то в общем случае мы не получим тождества, так как точки только приблизительно лежат на прямой, а получим равенства типа

ах_i – у_i + b = _i,

где числа _i означают отклонения по ординатам каждой из точек от апроксимирующей их прямой.

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшей функцией вида у = ах + b служит та, для которой сумма квадратов отклонений

S = (₁)² + (₂)² + (₃)² + ... + (_n)²

является наименьшей. Если эта минимальная сумма квадратов окажется малой, то сами погрешности будут малыми по абсолютной величине.

Подставляя в последнее выражение значения _i, получим

S = = f (a, b).

Таким образом, S можно рассматривать как функцию двух переменных а и b, дифференцируемую на всей числовой плоскости. Для искомой прямой (при минимальном отклонении модели от данных) эта сумма должна быть наименьшей. Тогда в силу необходимого признака экстремума дифференцируемой функции f (a, b) должны соблюдаться условия S/a = 0; S/b = 0. Находя частные производные и приравнивая их к нулю, получим

а + b=

a+ b_n =

Данную систему называют нормальной системой уравнений для определения параметров а и b функции у = ах + b методом наименьших квадратов.

Для моделей параболического типа решают специальную систему нормальных уравнений (табл. 1.6).

Проще всего провести построение и оценку математической модели, имеющей линейную форму связи. Поэтому часто другие формы связи путем замены переменных приводят к линейной форме (см. табл. 1.5).

Таблица 1.6