тий с g2 ( ) P ( ) . в этом случае восстановление сигнала x(t) эквивалент извлечению его из «белого» шума с интенсивностью g1 P . например, для однополюсного спектра сигнала x(t) функция h( ) соответствует RC – фильтру.

3Допусти, что корреляционная функция g2 (t1 ,t2 ) 0 или с увеличением интервала 0,t стремится к нулю. Примером таких потоков событий {ti } являе6тся пуассоновский поток и поток Бернулли с парциаль-

ными плотностями 1t и числом событий на интервале 0,t , равном

0t . в этом случае задача восстановления непрерывного сигнала x(t) вырождается в ранее рассмотренную, так как производящий функционал потока Бернулли при указанных условиях

		1 t		ot
L u lim 1		t	u( )d		exp 0	u( )d
t			0			0

то есть совпадает с производящим функционалом пуассоновского потока событий.

Заметим, что решение задачи оценки текущих значений интенсивности потока импульсов, образованного из пуассоновского путем модуляции ее интенсивности случайной функцией времени, при коррелированных значениях амплитуд импульсов приводит, по существу, к тем же модельным представлениям, определяемым выражением (2.41).

2.5. Модели систем с нелинейными преобразователями случайных сигналов

В качестве сигналов в данном разделе рассматриваются случайные импульсные последовательности. Импульсные последовательности являются базовыми случайными процессами во многих информационных системах, в частности, оптоэлектронных. Характерной особенностью этих систем является малость длительности импульса по отношению к постоянной времени всей си-

стемы. Например, длительность отклика фотоприемника на отдельный квант света обычно не превышает единиц наносекунд, а постоянная времени оптоэлектронной системы в ряде случаев составляет миллисекунды и более. В этом случае говорят о - импульсной последовательности.

Рассматриваются две последовательности информационных систем: Системы с аппаратурным «мертвым» временем и системы с автоматиче-

ской регулировкой усилителя.

2.5.1. Модели с аппаратурным «мертвым» временем

Рассматриваема задача оценки влияния аппаратурного «мертвого» времени непродлевающегося типа на погрешность оценивания средней скорости счета рекуррентной импульсной последовательности. Данная задача возникает, например, в оптической физике, ядерно – физическом эксперименте, радиометрическом контроле материалов.

В данной работе решение этой задачи проводится на основе анализа взаимосвязи между выборочным средним m* временных интервалов между импульсами наблюдаемой последовательности и математическим ожиданием m1 интервалов между импульсами истинной последовательности. Такой подход к решению рассматриваемой задачи возможен при малых относительных флукту-

ациях m1 , где m1			– оценка параметра m1 . В этом случае оценка интенсивно-
		1			2	2
сти
		m , а ее дисперсия				m1 .
		1
	Известно, что плотность распределения интервалов t *						между импульса-
ми наблюдаемой последовательности
	(t* ) f (t* ) f (t* x)g(x,m1 )dx ,						t*
			0

(2.24)

(t* ) 0 , t*

где	f (t) –	плотность распределения между импульсами; функция
g(x, m1 ) определяется как решение интегрального уравнения
g(x,m1 ) f (x)			f (x y)g( y,m1 )dy
		0
(2.43)
	- длительность аппаратурного мертвого времени. Из (2.43) после
преобразования следует
*
m1	m1 1	g(x,m1 )dx
		0

(2.44)

В этом случае задача оценивания интенсивности импульсной последова-

тельности сводится к решению относительно m1 уравнения
*					,	*	(и)	1	n	*
m1	m1 1 g(x,m1 )dx					m1			ti
		0							i 1

(2.45)

где n – число измеренных временных интервалов между наблюдаемыми импульсами. Точное решение уравнения (2.45) и определения на этой основе для большинства практических задач не представляется возможным. Тем не менее в указанных задачах требуется относительная погрешность измерения параметра составляет порядка единиц процентов и менее, что позволяет непосредственно из (2.44) и (2.45) оценить величину дисперсии

			2 *			n	1 2
			m					*
m1							t			g(x,m1 )dx 2
			m*
2			1
			1			(1 g(x,m1 )dx m1				m1	)
			m			0			0
			1
(2.26)
где t2*			- дисперсия наблюдаемого интервала t * из выражения (2.42).

При условии 0 оценка дисперсии оценки m1 1, где

*	1	n *
m1	(и)	ti

i 1

Составит

02 n0 1 t2

(2.48)

Где 1 – дисперсия интервалов между импульсами истинной последовательности. Наличие аппаратурного мертвого времени снижает прежде всего быстродействие измерений прибора . Для сохранения быстродействия необходимо соблюдать следующие равенства:

n	n0
	1 g(x,m1 )dx
	0

(2.48)

Тогда квадрат относительного увеличения погрешности измерения параметра за счет аппаратного мертвого времени выразится так

						2	2			*2
	1 g(x,m1 )dx 2m1					xg(x,m1 )dx (m1	t	) 1 g(x,m1 )dx m1
2		0				0			0			(2.49
				2			g(x,m )			2
			t
					1 g(x,m1 )dx m1			1	dx
						0	m1

)

Рассмотрим результаты решения нашей задачи для различных типов импульсных последовательностей.

1.Допустим, что {ti } – случайная величина с плотностью вероятностей

	1			t
				m
f (t) m		e	1
	1

В этом случае g(x, m ) 1 , а

1 m1

		1	n	*		2
m1	n		ti		;	1	1
									m1
			i 1

(2.50)

Отметим, что оценка параметра 2 совпадает с качественной. 2.Пусть {ti } образует поток Эрланга второго порядка:

				4t								m
														2t
f (t) m 2								e						1
					1
Тогда получим
							1													4 x																			m		4
g(x,m )													1 e							m1			;													m* m (			1 ) 1 e m1
			1			m1																													1			1
(2.51)	2				2 1													m					7				1							1	m
																															m
																		4													4				4
			3		m									2		e			1								8		e 1 (1					2	e 1 )
2																					16
							1
2														3						1											4
																											)e			m			2
														(4				(4													1	)
																								m
																										1
(2.52)
При условии																		1								значение 22									составит			149 , а при			1
													m																								m			m
														1																					1					1
оно выразится через 22																		1 4(										)2 .
																										m1
3.предположим, что закон распределения интервалов равномерный на
промежутке времени 0,2m1																															. При			0 x 2m1 следует, что
			1					x																														m1* m1*e
g(x,m1 )					e2m1 ;
																																										2m1
		2m
				1

(2.53)

Рассматриваемое увеличение погрешности измерения

		6						4
			3e 2m1			12e m1			8
32		m								при	0 2m1
		1
			(1				)2
						2m
						1

(2.54)

32 1 12 m1 при m1 1.

Следует обратить внимание на тот факт, что в рассматриваем случае аппаратурное мертвое время не увеличивается, а уменьшает погрешность измерения параметра . Это обусловлено неоптимальностью оп минимуму среднеквадратической погрешности метода моментов на уровне выборочного среднего, так кА лучшей оценкой в указанном смысле – оценкой среднего значения равномерно распределенной случайной величины – является среднее между максимальным и минимальным наблюдаемым значениями.

4.пусть истинная последовательность импульсов – поток Эрланга k -ого

	порядка со средним интервалом m1 . Тогда при								1
								m
						1
g(x, m )			(k k xk 1)
	1		mk (k			1)!
		1
(2.55)
2		k k				k
4 1
		(k 1)! m				.
				1

Анализ полученных результатов и их графическая иллюстрация показывают, что степень влияния мертвого времени на точность оценивания интенсивности в значительной мере определяется законом распределения интервалов между импульсами.

Рассмотрим частный пример. В газоразрядных счетчиках типа СБЬ 19 , используемых для измерения потока ионизирующего излучения, аппаратурное мертвое время составляет 3 10 5 с . Требуется оценить во сколько раз необходимо увеличить время измерения оценки по сравнению с идеальным детек-