где S - информативный («полезный») сигнал; n - «мешающий» (шумовой) сигнал.

Вид функции определяет свойства системы ( специфику преобразований сигналов S и n ).

1.2. Модели системы

1.2.1.Модели усилителя

Вэтом случай y k S ,

где k - коэффициент усиления усилителя; S - в общем случай случайный сигнал.

Если k - постоянная величина, то

y k				, y2 k 2 S2
		S
y	y				S			S .	(1.8)
					S
	y

В этом случаи значение коэффициента усиления не влияют на относительные функции выходного сигнала. Иными словами, единицы измерения (масштаб) случайной величины не изменяют ее относительные флуктуации.

Если

y k (S n) ,
то
y2	k 2 ( S2 n2 )	(1.9)

2 2

y (SS n)n2 .

В реальных системах усилитель может быть источником неопределенностей (шумов). Тогда говорят об усилители со случайными значением коэффициента усиления k . Если значение k не зависит от значений S и n , то

yk (S n) ;

yk (S n) ;

2 2 2 k2 (S n)2 k 2 ( S2 n2 ) k2 ( S2 n2 )k2 (S n)2 k 2 ( S2 n2 )

а относительные флуктуации:

			2			2		; k2	2
y k2 (1 k2 )				S		n					k .
			(S n)2
									k 2
При n n2 0
											и
y		k2 (1 k2 ) S2

(1.10)

при k2 1

y k2 S2 .

(1.11)

Данное выражение для y наиболее часто используется для анализа усилителей со случайным коэффициентом усиления.

Обобщением модели усилителя с детерминированным коэффициентом усиления является модель линейной системы обработки случайных величин:

n

y i xi B ,

i 1

где xi - i -тый входной сигнал; n - число входных сигналов; i - совокупность параметров, задающих линейную систему; B - постоянная величина, также характеризующая систему. Тогда

n

y i xi B ;

i 1

n

y2 i i2 ,

i 1

где i - дисперсия i -ого воздействия xi . Параметр n характеризует число слагаемых в выходном сигнале y , а его значения считается заданным (детерминированным).

В ряде информационных задач n является случайной величиной. Например, если y - суммарный импульс тока лавинного фотодиода за время измерения T , то число n в этом случаи характеризует число квантов света, поступивших в чувствительную область фотодиода, и является величиной случайной.

Вычисление характеристик выходного сигнала y в этом случаи в общем виде предполагает усреднение y по всевозможным значениям n . В частном случае, если

n

y xi ,

i 1

где xi - независимо и одинаково распределенные случайные величины, то y n x .

Дисперсия y2 определяется следующим образом:

			n
2 y2 y2 ( xi )2				(n x)2
			i 1

(1.12)

В данном случае усреднение производится вначале по всевозможным значениям xi при фиксированных значениях n , а потом при всевозможным значениям n . После преобразований получим:

y2 n2 x 2 n x2 ; y n2 n1 x2 .

Например, для пуассоновского распределения n с параметром ( = n

)

n2 n ; y2 n2 n1 x2 1 (1 x2 ) .

Более изящный вывод для рассматриваемого случая заключатся в следующем. Если ( j ) – характеристическая функция случайной величины xi , то при фиксированном n характеристическая функция y

j n const n ( j ) .

Усреднение j по n приводит к следующему выражению:

j (j ) ,

(1.13)

где (z) производящая функция числа n :

(z) z n .

Например, для пуассоновского распределения числа n :

(z) zn zi e e z .

n

i

i!

i 0

Поскольку

;

2

,

n

n2

n

z

z 1

z2

то

=

n

; n2 n ; n

1

.

1.2.2. Модели многоканальной измерительной системы

Рассматривается следующая модель. Имеется N независимых измерений неизвестного значения S , то есть наблюдается случайная величина xi , для которых

xi S , i 1,2...N ;

X2 i i2 - погрешность i -ого измерения. Итоговая оценка S неизвестного параметра S :

N

S i xi B .

i 1

(1.14)

Иными словами на вход линейной системы N с входами поступают случайные величины xi , а ее выход является итоговой оценкой неизвестного параметра S . Синтез линейной системы, в этом случае, заключается в выборе таких

значений i (коэффициентов усиления по i -тому входу), которые бы минимизировали погрешность итоговой оценки S .

Требования несмеценности оценки S

S S

Приводит к следующему выражению:

N

S S i B .

i 1

Поскольку система обработки значений xi линейная, то ее параметрыi и В не зависят от значения S . Поэтому выполнение вышеуказанного соот-

N

ношения возможно только при B 0, i 1.

i 1

Итоговая погрешность оценки неизвестного параметра S

2 S S 2 N i2 i2 . i 1

(1.15)

Отыскание минимума ошибки 2 по N переменным i при условии

N

i 1являете задачей линейного программирования. Ограничение в виде ра-

i 1

венства позволяет упростить решение задачи оптимизации. Решение этой задачи может быть представлено следующим образом:

n

N 1 i , n N 1.

	i 1
	n		n
2 i2 i2		(1	i ) N2 .
	i 1		i 1

Отыскание минимума ошибки 2 приводит к системе n уравнений с n

неизвестными: