x(t)

тором при 105 с 1 и постоянстве погрешности оценивания. В этом случае из (2.50) следует, что время измерения должно быть увеличено в 4 раза.

2.5.2. Модели систем с автоматической регулировкой усиления

Оценка параметров сигнала, прошедшего безынерционный усилитель с автоматической регулировкой усиления (АРУ), является одной из распространенных задач теории и практики радиотехнических цепей и сигналов.

Данная задача возникает, например, при анализе специального детектора ионизирующего излучения, охваченного обратной связью по коэффициенту усиления фотоэлектронного умножителя, или пеленгационных частотных дискриминаторов. Известные подходы решения этой задачи базируются в основном на аппроксимации усилителя с АРУ линейным фильтром с постоянными во времени параметрами при условии малых изменений входного сигнала относительно среднего значения. Использование этих подходов при анализе последовательности кратковременных импульсов, прошедший усилитель с АРУ, приводить в ряде случаев к значительным погрешностям расчета из – за невыполнения вышеуказанного условия. Целью данной работы является оценка параметров последовательности кратковременных импульсов, прошедший усилитель с АРУ, при линейной регулировочной характеристике, фильтре первого порядка в цепи обратной связи и учете нелинейных свойств рассматриваемого усилителя. Блок – схема такого простейшего усилителя с АРУ и вводимые обозначения представлены на рис.1. Отметим, что в данном случае кратковременным является импульс, длительность которого во много раз меньше постоянной времени цепи обратной связи. Например, радиометрических системах контроля длительность электрических импульсов составляет микросекунды и менее, а постоянная времени цепи обратной связи – секунды и десятки секунд.

Учет нелинейных свойств рассматриваемого простейшего усилителя с АРУ может быть проверен на основе точного решения интегрального уравнения

y(t) x(t) K0		h(t ) y( )d , h( ) e 1( )
(2.56)
Определяющего связь между входным x(t)								и выходным y(t)	сигнала-
ми.
Решение	интегрального		уравнения		(2.43)			при начальном	условии
y(0) K0 x(0)	известными методами приводит с следующей зависимости сиг-
нала y(t) от значений параметров K0 , ,						усилителя с АРУ и выходного
сигнала x(t) :
				t
		t	x ( ) d
y(t) K				0	d
	0 x(t) 1 h(t )x( )e
		0

(2.57)

Из выражения (2.56) находим отклик рассматриваемого усилителя с АРУ на одиночный кратковременный импульс x0 (t) :

		е
		x0 ( ) в
y(t) K 0 x0 (t)		0
	1 h(t)(1 e		) .

(2.58)

Непосредственное интегрирование выражения (2.58) приводит к соотношению между площадями входного и выходного импульсов:

Sвых K0 (1 e Sd [ )

(2.59)

Анализ этого выражения показывает, что только площадь кратковременного импульса определяет площадь импульса рассматриваемого на выходе нелинейного радиотехнического звена. При Sвых 1 площадь Sвых K0 Sвх , что соответствует линейному приближению рассматриваемого усилителя. Если Sвх - случайная величина с характеристической функцией ( j ) находим

K (t)

Sвых	K0	1 ( ) 2 Sвых	K	0	2	( 2 ) 2 ( )
			2

(2.60)

Из выражений (2.57) и (2.59) следует также, что при вычисление интегральных параметров сигнала y(t) последовательность кратковременных импульсов x(t) может быть представлена как - импульсная. Тогда из выражения (2.57) с учетом вытекающего из определения - функции равенства

	t
t	( t0 )d		1	(ea 1) f0 (t0 );t0 (0,t)
( t0 ) f0	( )e0	d
0			a

(2.61)

где f0 (t) - функция, не имеющая разрывов в окрестности точки t0 , находим площадь N -ого выходного импульса

										N
	K 0				Sd [ ( N )		N 1	Sd [ (i )		Sвх (i )
Sвых (N )				e			e		h(t ti )e	j i 1
			(1			) 1
							i 1
(2.62)
Сомножитель			(1 e Sd [ ( N ) )				характеризует изменение площади выходно-

го импульса под действием «самого на себя», а остальные сомножители – значение коэффициента усиления к моменту появления N -ого импульса. Из выражения (2.62) следует так же, что площадь импульса на выходе усилителя с АРУ зависит от суммарной площади ранее поступивших импульсов, а при Sвх (i) const от номера импульса.

Для определения параметров процесса y(t) при поступлении на вход усилителя с АРУ произвольной импульсной последовательности решение интегрального уравнения (2.56) представив в следующем виде:

y(t) e t dtd f (t) ,

(2.63)

где

f (t)	K e d			e	t
	t				x ( ) d
	0
			dt

(2.64)

Тогда смешанные моменты распределения процесса

y(t ) y(t

)...y(t )

0

e

1

2

n

1

2

n

K n

t

t

... t

n

n

t t

2

... t

n

1

n ti

t1

tn

n

x ( ) d

... e t1

t2 .. tn

e

i 1 i

X ( )d 1d 2 ...d n

1 2 ... n

0

0

(2.65)

где . X ( ) - символ усреднения по всевозможным значениям X ( ) . Выражение под знаком усреднения . X ( ) представляет собой значение 2n -мер- ной характеристической функции процесса N (t) X ( )d , тогда

( j 1 , j 2 .. j n , n ,t1 ,tn ...tn ) exp( j 1 N (t1 ) j 2 N ( 1 ) .. j 2n 1 N (tn ) j 2 n N ( n )

при j 2m 1 j 2 m ; m tm ; m 1,2.., n . В этом случае получим

K n

exp t

t

... t

y(t ) y(t

2

)...y(t

n

)

1

0

1

2

t1

tn

n

... e t1

t2 .. tn

0

0

1 2 ... n

L ( ( 1(t1 ) 1( 1

) ... 1(tn

		n		n
n
		1 2 ... n		t1 t2 ... tn

(2.

) 1( n )) 1 d 1...d n

67)

где L u - производящий функционал потока входных импульсов на интервале ,t .

В частном случае среднее по множеству реализаций процесса y(t) есть

		K0e t	d	t			L ( ) 1 d
y(t)				e
			dt 0

(2.68)

В установившемся режиме и стационарном процессе x(t) среднее по времени выходного процесса

y(t) K0 K (t)

(2.69)

где непосредственно из (2.57)

	t
	x ( )d
K (t) K	0 h(t )e	d

(2.70)

Тогда из выражения (2.69 – 2.70)

		K		t
			1 h(t )L ( ) 1 d
y(t)		0
				0

(2.71)

Аналогично среднему вычисляются моменты распределения процесса y(t) более высокого порядка. Например, для стационарного потока импульсов x(t) в установившемся режиме определяем корреляционную функцию процесса y(t)

B( ) 1 2 R( ) R ( )

2

R( ) - корреляционная функция процесса K (t) , определяемого выражением (2.70). с учетом выражений (2.67) и (2.70)

R( ) K02 2 h(t u)h(t )L( ( 1(t ) 1(u ) 1(t ) (2.71( )) 1)d du y(t)2

3)

(0,t)

Приведем результаты определения параметров последовательностей различного типа, прошедших усилитель с АРУ.

Предположим, что поток импульсов на входе рассматриваемого усилителя ест поток Бернулли с числом точек k 1 на интервале и парциальной плотностью g(t ) , производящий функционал которого

t

L(u) 1 1 u( ), 1 g( )d

Из выражения (2.68) находим среднее по множеству реализаций процесса

y(t)

y(t) K0 (1 ( ))g(t ),t (0,t) ,

А непосредственно из выражения (2.67) получим корреляционную функ-

цию

				2	1 2 ( ) ( 2 ) g(t1) (t2 t1) g(t2)g(t1)
		K02
B(t1	,t											,
		2)			1 2 ( ) ( 2 ) g(t ) (t t					)g(t );t t
		K02					2	) g(t	2			2
				2	1	1				1	1

Допусти, что x(t) - последовательность равноотстоящих импульсов с ча-

стотой поступления	f0 и парциальными плотностями			i 1	. В этом
		g(t ) t
				f0
случае производящий функционал
L u (1 u(i 1)) ,
n
i 1	f0

А среднее значение площадей импульсов

											( N 1)
	K				1		( )
											f	( N 1)
Sвых (N )		0	1	( ) 1					(1 e	0
					e			( )
						f0

( ))

(2.74)

Отсюда следует, что установившийся режим функционирования усилителя с АРУ достигается при условии

( ) у 1;S ,S const

f0

0 f0 вых

(2.75)

Которое является, по существу, условию устойчивости по среднему значению выходного сигнала рассматриваемого усилителя. В установившемся режиме

					1 e
		K0	1 ( )			f0
Sвых
			1		( )e				f0

(2.76)

А квадраты относительных флуктуаций площади выходных импульсов и коэффициента усиления K (t) в моменты появления импульса равны

							( 2 )	2	( )			1 2 (2 ) ( 2 )
			2	(Sвых1 )
							1 ( ) 2				1	exp( 2 ) ( 2 )
												f0
				(2.77)
	2					( 2 ) 2 ( )
						exp(2 ) ( 2 )
			k
							f0
	2
	f
222		, S 1
kse0

Выражение (2.77) получено в предложении

2

( 2 )e f0 1

Являющемся условием устойчивости в среднеквадратическом смысле усилителя с АРУ. Более того, следует, что для устойчивости рассматриваемого усилителя по n -ому моменту вероятностного распределения величины Sвых необходимо совместное выполнение условий

( m )e	m	1,	m 1,2,.., n.
	f0

(2.78)

Отметим, что при фиксированных значениях площади выходных импульсов из выражения (2.76)

1 e

K

1 e

S

f0

Sвых1

0

0

S0

1

e

f0

(2.79)

Которое в рассматриваемом случае соответствует известному выражению. Пусть последовательность выходных импульсов является пуассоновской

с интенсивностью и производящим функционалом

t

L(u) exp( 1 u( ), d )

Тогда при условии

( ) 1

(2.80)

Среднее процесса y(t) и площади импульсов на выходе усилителя есть

K0 C1

K0 C1

K0

y(t)

Sвых 2

K (t)

C1

C1

C1

(2.81)

где C1 1 ( ) . Условие является условием устойчивости усилителя с АРУ по среднему значению выходного процесса. При детерминированных амплитудах данное условие

S0 1 ln(1 )

(2.82)

Если 1, условие (2.82) тождественно соответствующему условию (2.75)

при f0 . В общем случае допустимые значения S0 больше соответствующих значений, определяемых условием (2.75), так как флуктуация числа импульсов, поступающих на вход импульса с АРУ, снижают его устойчивость.

Корреляционная функция R( ) процесса K (t) есть

2		2 2		2			( C1 )
R( ) K0		( C1 )(2 C1 )		( C1 )	2	e

(2.83)

где C2 1 ( 2 ) . Квадрат относительных флуктуаций коэффициента усиления

2		2C1 C2
k		2
		1 ( 2 )

(2.84)
При					экспоненциальном																					распределении значений площади импульсов
( ( ) (1 S0 ) 1 )
											K0				0
													S
	y(t)
																	S0
			1									0
									S
(2.85)
																				0
2																			S
	k
					S0														S0 (1
(1											)													2		)
а при								0			1
						S

0

2 2

2

S

k

S0 (1 2

)

0 k0

S

y(t)

S0

(2.86)

В случае сильного влияния цепи обратной связи на параметры процесса y(t) и

K (t)

y(t)K0		,													k2
(1
																				2
(2.87)
Если предположить, что														1, то соответственно получим
																					0 2	2
					K0				0										S
								S						2
		y(t)												k
											,
				S0
																S0									)

(2.88)

			K0 ,						k2 1
	y(t)
(2.89)
В случае «редкой» импульсной последовательности (							1 )
										0 2 2
		K0			0 ,		k2		S
	y(t)
				S

(2.90)

2						K0
			,	y(t)
k		2

(2.91)

При детерминированных площадях импульсов и 1

k2 1 e S0

1 e S0

(2.92)

Из выражений (2.84) и (2.92) следует, что при постоянных значениях площади

	импульсов и произвольных значениях параметров													,			относительные
											S		0
	флуктуации k2 1. Непосредственно
			R( )		2K 2 2	(C C		)				(2C C						2 )	e	( C )
					0	1	2		( )						1		1			1
				2
														2( C1 )
					( C1 )(2 C1 )
	(2.93)
	Получено при условии
	( 2 ) 2		1

(2.94)

Являющемся условием устойчивости в среднеквадратическом смысле рассматриваемого усилителя с АРУ. Условие устойчивости по m -ому моменту распределения процесса y(t) в рассматриваемом случае имеет вид

( m ) m 1

(2.95)

Допусти, что площади выходных импульсов независимы и с вероятностью p принимают значения S0 , а с вероятностью p 1 – нулевые значения, тогда

K

p C *

y(t)

0

,C* 1 e

S0

1

p C1*

1

C 2

k2

1

,C2* 1

e 2

S0

2

C2*

p

Что соответствует пуассоновскому потоку импульсов с фиксированной площадью ( S0 S )

и интенсивностью p

допустим, что входной поток импульсов – парнокоррелированный с производящим функционалом

L(u) exp( 0 u(x)dx 1 t t g(x1 , x2 )u(x1 )u(x2 )dd x1 x2 )

2

Площади импульсов фиксированы, а второй корреляционный момент потока импульсов g(x1 , x2 ) P (x1 x2 ) . В этом случае входной поток импульсов мо-

жет бать представлен как пуассоновский с интенсивностью 0										P	и
( j ) (1 2 0 P )e				0 2 0 P e						2
			j S				2 j S	0
	P				P

Данное тождество справедливо при 0 P и обусловлено возможностью представления парнокорреляционного потока импульсов в виде суперпозиции пуассоновских потоков одиночных и двукратных импульсов.

Например,

						C	*	1 C		* P
			K0 0			1		2		2
	y(t)
			C *						1 C * P
						0	1		2	1

а условие устойчивости по среднему значению выходного сигнала

			1			1					1)
S				ln				( 1		2 P
	0									2
							P			0
При 0					P

		K				C *
y(t)			0
						2
								* , S0		1		2
		2				0					ln 1
							C			2		0
						2		2

Оценим нелинейные свойства рассматриваемого усилителя на основе вышеприведенных результатов. На рис.2.4 представлены зависимости

1

Sвых 2

Sвых 2

От параметров S0 , при f0 и детерминированных площадях входных

импульсов. При S0 1 или 1 параметр 1 1, так влияние обратной связи на значение коэффициента усиления незначительно. Также 1 1 или

1 из-за малых значений коэффициента усиления . Минимум значений

1 достигается при S0 1 и 1.793 и равно 1мин 0.770 . На рис.2.5 представлены зависимости

1 y0 (t)

y1 (t)

где y0 (t) и y1 (t) – средние значения пуассоновской последовательности им-

пульсов при 0 , S S0 , m0 , S S0 m соответственно при 1 . Сплош-

ными линиями изображены зависимости 2 от параметра m для детерминированных площадей импульсов, пунктирными – для флуктуирующих по экспоненциальному закону площадей импульсов со средним S0 . Анализ этих зависимостей показывает, что в области малых значений S0 и m 1 величина2 1 из-за слабого влияния сигнала u p (t) на значения коэффициента усиления K (t) . В области m 1 значение величины 2 не зависит от m и определяются лишь значениями параметра S0 . При m 1 зависимость 2 от параметра m приближается к линейной.

y(t)...y(tm )

При учете равенства средних значений входных сигналов из приведенных результатов можно отметить, что аппроксимация простейшего усилителя с АРУ линейными инерционным фильтром может привести к сколь угодно большой погрешности оценки параметров импульсов последовательности, прошедшей данный усилитель.

Отметим, что при S0 1, как следует из выражения (), рассматриваемый усилитель с АРУ может быть аппроксимирован нелинейным фильтром второго порядка:

y(t) K		t	xср (t )
	0 x(t) 1 h(t )x( )e			d
		0
где xср	– среднее по времени входного процесса. Данная аппроксимация озна-

чает замену с автоматической регулировкой коэффициента усиления «назад» усилителем с АРУ « вперед» с условие полосы пропускания фильтра на величину xср . Например, для пуассоновской последовательности импульсов с фиксированной амплитудой с учетом xср S0 , x(t)x( ) 0 S02 (t ) 2 S02 полу-

				K0	S0
	чим	y(t)				, что соответствует выражению ()
				( S0 )

в указанном приближении.

Таким образом, результаты проделанной работы показывают, что нелинейные свойства усилителя с АРУ в наибольшей степени проявляются при поступлении на его вход последовательности кратковременных импульсов. Как следует из выражения (), порядок нелинейности исследованного усилителя с АРУ является сколь угодно большим, так как для оценки любого n -го момента веро-

ятностного распределения процесса y(t) недостаточно значения	конечного
числа начальных моментов процесса x(t) . При вычислении	моментов

в явном виде возможно лишь одиночного импульса, периодической и пуассоновской последовательности импульсов, а так же последовательностей, образованных из них путем вариаций значений площади импульсов. В остальных случаях необходимо использовать численные методы вычисления