100

Φс(1/T )≠0 . Предлагается определить, чему равно это ненулевое значение,

атакже построить графики энергетических спектров обоих импульсов.

2.2 Спектр мощности дискретной случайной последовательности

Из-за неограниченности числовой последовательности во времени (рис. 41) имеет смысл спектр мощности.

Если мы хотим вычислить спектр мощности, то последовательности чисел

Рисунок 41: Реализация дискретной следует поставить в соответствие сигнал.

случайной последовательности

Сигнал образуется носителем, два вида которых (прямоугольный и косинусный импульсы) были рассмотрены выше.

Для исследования спектральных свойств последовательности следует взять носитель в виде следующей функции

1, если n=0;
δn={0 , если n≠0. .	(39)
Эта функция для радиотехники является единичным импульсным
сигналом, имеющим равномерный периодический спектр (с периодом	1/T )
Gδ(f )=T ∑ δn e− j 2 πn f T =T δ0 e− j 2 π0 f T=T .	(40)
n

Равномерность спектра позволяет отделить влияние импульса-носителя на спектр последовательности. Конструирование спектра из двух произойдет в конце работы — в этом и будет состоять ее смысл.

Известно, что спектр мощности пропорционален квадрату модуля спектральной функции. Это вытекает из того, что спектральная плотность

мощности связана с функцией корреляции	R(τ) преобразованием Фурье19
∞
Φ(f )=−∫∞ R (τ)e− j2 π f τ d τ	, Вт/Гц.	(41)

Подставляя в (41) выражение для функции корреляции вещественного импульса g(t) длительностью T

19 Для стационарных случайных процессов

101

1

∞

R(τ)=

∫ g(t) g(t−τ)dt

, Вт,

(42)

T

−∞

последовательно получим

1

∞

∞

− j 2 π f

τ

Φ( f )=

∫ ∫ g(t) g(t−τ)dt e

d τ ,

T

−∞ −∞

1

∞

∞

−j 2 π f τ

Φ( f )=

∫ g(t)∫ g(t−τ)e

d τ dt

,

t−τ= p

,

T

−∞

1

−∞

(43)

∞

∞

j 2 π f

p

− j 2 π f t

Φ( f )=

∫ g(t)∫ g( p)e

dp e

dt ,

T

−∞

−∞

1

∞

1

1

Φ( f )=

G*

( f )∫ g(t)e− j 2 π f t dt=

G

* ( f )G( f )=

|G ( f )|2 .

T

−∞

T

T

Для последовательности чисел функция корреляции

ϕ(i)

будет

дискретной, поэтому спектр мощности найдется через сумму

Φdigit (f )=T ∑ ϕ(i)e− j 2π i f T , Вт/Гц,

(44)

i

где T — интервал следования чисел, определяющий период спектра как

f T =1/T .

А) Рассмотрим последовательность некоррелированных чисел

bn ,

n , с некоторым средним значением

μb

и дисперсией

Db

μb=M [bn ],

Db=M [(bn−μb)2 ],

,

(45)

M

[(bn−μb)(bn−i−μb)]

1, i=0 ;

r=

={0,

Db

i≠0.

где M [.] — оператор нахождения среднего значения,

r

— коэффициент

корреляции bn и bn−i

, зависящий только от индекса

i .

Тогда функция корреляции данной последовательности будет равна

2

Db +μb

2 , i=0;

ϕbb (i)=M [bn bn−i]=M [(bn−μb)(bn−i−μb )]+μb

={μb2 ,

i≠0. .

(46)

Подставляя (46) в (44), получим спектр мощности

Φbb (f )=Db T +μb

2 T ∑ e− j 2π i f T .

(47)

i

Используя знакомую замену суммы экспонент из (33), можно записать

102

Φbb (f )=Db T +μb	2 ∑ δ(f −i/T ) .	(48)
	i

Из формулы (48) следует, что спектр случайной последовательности некоррелированных чисел состоит из двух слагаемых: первое возникает из-за отсутствия корреляции и говорит о равенстве мощностей всех частотных составляющих спектра, а второе — из-за отличного от нуля среднего значения μb и говорит о полной корреляции по постоянной составляющей. Игольчатые выбросы в спектре, связанные с ненулевым средним, вредны (лишняя трата энергии), поэтому при проектировании систем связи делают все возможное для уменьшения этого среднего.

Б) Рассмотрим последовательность коррелированных чисел In , где корреляция вызвана линейным преобразованием некоррелированных чисел

bn с нулевым средним и дисперсией				Db
In=bn +bn−1 , μb=M [bn ]=0 ,				Db=M [(bn−μb)2 ] .		(49)
Функция корреляции последовательности In					будет равна
ϕii (i)=M [In In−i]=M [(bn+bn−1)(bn−i+bn−i−1)]=
=M [bn bn−i+bn bn−i−1+bn−1 bn−i +bn−1 bn−i−1 ]=
=	2 Db ,		i=0;		.	(50)
	D	,	i=±1;
{	0,b		|i|>1.
Три слагаемых в (44) определят искомый спектр мощности
Φii(f )=2 Db T [1+cos(2π f T )] .						(51)
Функция корреляции	для		вещественного		случайного	процесса —

четная, поэтому у каждой экспоненты преобразования Фурье найдется комплексно-сопряженная пара, значит спектр мощности — это неотрицательная вещественная функция, что, в общем-то, следует и из квадрата модуля.

Площадь фигуры, ограниченной кривой спектра мощности и осью частот за период, определяет среднюю мощность сигнала; в данном случае она равна 2 Db , что говорит о повышении мощности в два раза после

103

преобразования (49), так как площадь спектральной фигуры для последовательности bn равна Db .

Введение корреляции (49) обнулит составляющие с частотами, кратными (2n+1)/(2T), а введение корреляции типа In=bn−bn−1 обнулит составляющие с частотами, кратными n/T, в том числе и постоянную составляющую (составляющую с нулевой частотой), где n — любое целое число. Вычисление разности In=bn−bn−1 по смыслу является дифференцированием, после которого естественным образом удаляется постоянная составляющая.

2.3 Спектральная плотность цифрового сигнала с линейной модуляцией

Математической моделью цифрового сигнала с линейной модуляцией является сумма * [1]

	v (t)=∑ In g(t−nT ) ,	(52)
	n
где T	— длительность импульса-носителя	g(t) ;
In	— последовательность чисел, содержащая информацию.

*Принято считать, что если в сумме не указаны пределы суммирования, то индекс пробегает весь диапазон целых чисел. Отсутствие границ упрощает многие математические выкладки.

Вычислим функцию корреляции случайного процесса (52) [1]

ϕv v (t +τ; t)=M [v(t)v (t +τ)]=∑∑ M [In Im ]g(t−nT )g(t +τ−mT ) . (53)

nm

Так как в (53) индекс суммирования			m	пробегает все множество
целых чисел, то	заменим	его на	m+n	и предположим,	что
последовательность	In стационарна по отношению к функции корреляции
	M [In Im ]=M [In In+m ]=ϕii (m) .				(54)
Тогда подставив (54) в (53) и поменяв суммы местами, получим
ϕv v(t+τ ;t )=∑ ϕii (m)∑ g(t−nT ) g(t+ τ−nT −mT ) .					(55)
	m	n

104

Из (55) следует, что функция корреляции

процесса v (t) —

периодическая функция времени с периодом

T . Это можно обосновать

тем, что индекс

n в сумме пробегает все множество целых чисел, поэтому

сколько раз

T

ни прибавляй к аргументу g(t) , результат суммирования

не изменится.

Обозначая среднее значение последовательности In как μi=M [In ] ,

найдем среднее значение процесса

v (t)

M [v(t)]=μi ∑ g(t−nT ) .

n

Видим, что среднее зависит от времени и является периодической

функцией с периодом T

. Значит процесс

v (t)

является периодически

стационарным по отношению к функции корреляции.

Усредним (55) за период, дабы убрать зависимость от времени t

1

T /2

ϕv v (τ)=

∫ ϕv v(t+τ ;t)dt=

T

.

−T /2

(56)

1

T /2−nT

=∑ϕi i(m)∑

∫ g(t) g(t+τ−mT )dt

T

m

n

−T /2−nT

Интеграл в (56) вместе с суммой по

n

в точности является функцией

корреляции сигнала g(t)

1

∞

ϕg g (τ)=

−∫∞ g(t) g(t+τ)dt

,

(57)

T

Поэтому подстановка (57) в (56) дает

ϕv v(τ)=∑ϕii(m)ϕgg (τ−mT ) .

(58)

m

Преобразование Фурье (58) дает спектральную плотность мощности

процесса v (t)

Φv v (f )=

1

|G(f )|2 Φi i(f )

, Вт/Гц,

(59)

2

T

где G(f )

— преобразование Фурье сигнала

g(t)

;

Φii(f )=T ∑ϕii (m)e−2 π j f m T

— спектр мощности последовательности

m

In .