книги из ГПНТБ / Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению

Для	упрощения			определения		избыточного поро­
вого	давления		urz	в	случае движения		воды	в
вертикальном			и	горизонтальном		направлениях		(в
дрену	и	горизонтальную			дренирующую		подушку)
на основе		теоремы		Н.	Карилло	допустимо	опреде­
лить	его	только		при	движении	воды в	дрену	иг

и только при движении воды в горизонтальную дрени­ рующую подушку иг. Поровое давление, обусловленное одновременным движением воды в горизонтальном и вертикальном направлениях, приближенно определя­ ется по формуле

и,г =	1^-г.	(ІѴ.3.3)
	и нач

Метод расчета. Общее дифференциальное уравнение пространственной задачи консолидации, устанавливаю­ щее зависимость между скоростью вытекания (фильтра­ ции) воды из единичного объема и временем при уплот­ нении водонасыщенных грунтов, может быть записано так:

^	_ ] _ ^	+ ^ =	(ІѴ.3.4)
дх	ду	dz	1 + Ё с р dt '

Для решения этой задачи принимаем линейную зави­ симость между коэффициентом пористости и давле­ нием

= a.

(ІѴ.3.5)

да

Считаем, что движение воды при уплотнении сильносжимаемых водонасыщенных грунтов проходит с откло­ нением от закона Дарси. При этом величина начального градиента напора іо принимается постоянной и равной среднему значению (начального) градиента, изменяю­ щегося в процессе уплотнения.

Если вертикальными плоскостями отделить зону влияния дрен в массиве грунта друг от друга (см. рис. ІѴ.2), то массив разделится на отдельные призма­ тические блоки с вертикальной дреной в центре.

В пределах каждого блока отжатие воды из грунта происходит таким образом, как если бы вертикальные стороны блоков были покрыты водонепроницаемыми мембранами, так как отжимаемая из водонасыщенного грунта вода движется в противоположные стороны от

13—1

193

плоскостей вертикальных сечений в направлении дрены. Без существенных ошибок можно заменить призмати­ ческие блоки цилиндрами того же объема с дреной, рас­ положенной по оси цилиндра.

В этом случае пространственная задача консолида­ ции сводится к осесимметричной задаче. Для решения этой задачи целесообразно принять цилиндрическую

систему	координат.				в него х —
Уравнение		(ІѴ.3.4)	после	подстановки
= rcos	ф; у—г	sin ср запишется в виде
		JL + ÈL =		L _ . &	{ Î V 3 6 )
		г	dr	1+е ср dt

Согласно принятому нами основному положению консолидации, сумма порового и эффективного напря­ жений в грунте в любой момент времени t равна внеш­ ней нагрузке q:

Щ + °эфі = Я-

Решая совместно уравнения (ІѴ.3.5) и (ІѴ.3.6), по­ лучим

—	= — ^ 3	Ф = a dfîÈ =	_ а —	(IV 3 7)
dt	ааэф 'dt	J dt	dt'

Рассмотрим случай, когда движение воды происхо­ дит только горизонтально к вертикальной дрене. Такой случай возможен, когда вертикальные дрены устраива­

ют без

сплошной

горизонтальной

песчаной

подушки

(например,

при

устройстве

гидротехнических

дамб).

При движении воды горизонтально закон фильтрации

примет

следующий

вид:

v,=kJ-±-

~

-

i o

\

(ІѴ.3.8)

Учитывая,

что

ut

- f 0 э ф

=<?,

и

подставляя

выражения

(ІѴ.3.7)

и

(ІѴ.3.8)

в уравнение

(ІѴ.3.6),

получим

kr

du

kr (0

kr

d2u

a

du

Увг

dr

r

VB ' dr*

l + e c p

dt

или

du

_ kr(\

+cC p) fd2u

1

du

_Ѵв_\

(IV 3 9)

dt

YB a

[dr*

r

dr

r

) '

(

n

k (1 + E C D )

известно

в

механике

Выражение

— - — • — = с

Ѵвя

грунтов [69] как коэффициент консолидации. С учетом

194

Ѵв to

от центра дрены R до края грунтового цилиндра ско­ рость фильтрации через поверхность цилиндра равна нулю, граничное условие может быть принято следую­ щим:

этого уравнение осесимметричнои задачи принимает сле­ дующий вид:

ди		, / д2и				.		—		—	(
		Л дг2
Математически			задача		сводится		к	г	интегрированию
неоднородного		линейного				дг			)		урав­
						дифференциального
нения
ди		= с	д2и			ди		«о Тв		(ІѴ.3.10')
dt			дг2			~~д7
при граничных	и начальных условиях:
			«	М	=	0;			(а)
г	=	л	т . е .	( ди \			уі0;		(б)	(ІѴ.3.11)
« U		0;		{ —
	и (гО) = ы„а ч				=	q-~p,СТр-			(в)

Если расстояние между дренами в плане таково, что радиус цилиндрического грунтового блока R, по оси ко­

торого расположена	дрена, меньше /?ф ,	где # ф =
_ £—Рстр_ ^ т о и с х о д я	и з положения, что на	расстоянии

~	0, т. е.	ди
		~дТ = Тв h-
Это объясняется	тем, что поверхность цилиндра яв­

ляется поверхностью, делящей расстояние между дре­ нами пополам, в результате чего возникает симметрич­ ный отток воды от поверхности цилиндра к дренам. Ана­

логичное	допущение	было сделано Л. Рендулликом
и Р. Барроном в своих		работах.
Если радиус грунтового цилиндра R						больше	і?ф ,
фильтрации на расстоянии, равном или большем R§							от
поверхности дрены, не		будет. В этом			случае граничные
условия следует определять на границе /?ф ,						т. е. на этой
границе	скорость фильтрации		равна		нулю:
	п	du \		I	„ =	Тв h-
	= 0.	т. е. —
		дг

13*

195

При	этом оказывается, что		в	грунтовом цилиндре,
в зоне,	где R>R$	фильтрация	в	грунтах отсутствует,

вода не отжимается в дрены и применение их неэффек­ тивно.

Таким образом, вертикальные дрены следует распо­

лагать	в	плане		на	таком расстоянии одна					от другой,
чтобы	R -КЯф			u(rt) в виде
Будем		искать					суммы		двух функций
				u{rt) = U(r) + W(ri),						(ІѴ.3.12)
причем функцию U(г) подберем								так, чтобы она удовлет­
воряла	обыкновенному					дифференциальному				уравнению
			dW		J_	dU		ув t„ = 0		(IV.3.13)
			dr2		r	dr
и граничным			условиям:
				U(r0)		= 0;	(a)			(IV.3.14)
				dU )		yi0.	(6)
				dr
					)r=R
Функцию			W(rt)		подберем		так, чтобы она			удовлетво­
ряла дифференциальному уравнению
					=	с	. 1		dW\	(ІѴ.3.15)
				dt				г	dr J
и граничным			и начальным условиям
									(а)
									(б)	(ІѴ.3.16)
		W(r0)		= um4-U(r)			=	f(r).	(в)

Можно показать, что сумма (ІѴ.3.12) выбранных таким образом функций будет удовлетворять всем условиям задачи (IV.3.11). Действительно, имеем тождество:

ir(w + u) =

ÔW

dU

dW

^

1

dW

dt

dt

dr*

r

dr

= С

dt

dW

1

dU

TB t'n

+

с

-t-

dr2

r

dr

r

U(rot)

=

U(ro)+W(r0t)

=

0,

dU

\

=

Y . » o ; U(r0)

= U(r) + W(r0)

=

uM

dr

)r=

196

Перейдем к решению первой вспомогательной задачи (ІѴ.3.13). Заменив в этом уравнении dUjdr через Ь, полу­ чим решение в виде

V(r) = VBio(r-r0).

(ІѴ.3.17)

Уравнение (ІѴ.3.15) при начальном и граничных услови­

ях	(IV.3.16, а)			решаем		методом разделения переменных
Фурье.
	Ищем решение этого уравнения в виде произведения
W(rt)		=	ç> (r)	Q (t),	из	которых		р зависит	только от
r,	a	Ѳ	только от t. Подставляя					последнее	равенство
в	(ІѴ.3.15), находим
				рѲ' =	с(р"Ѳ +		— р'Ѳ);
							r
				—	= —		— - .		(ІѴ.3.18)

Ѳр

Так как левая часть последнего равенства зависит от t и не зависит от г, а правая часть зависит от г и не

зависит	от	t, то равенство левой и правой частей этого
уравнения		возможно лишь тогда, когда они обе равны
одному	и	тому же постоянному числу. Из физических

условий задачи следует, что это постоянное число не мо­ жет быть положительным, так как в этом случае вели­ чина порового давления и с возрастанием времени уве­ личивается и может сделаться больше любой наперед заданной величины, что невозможно. Следовательно, это число должно быть отрицательным.

Приравнивая каждое из отношений в (ІѴ.3.18) отри­

цательному постоянному	числу — сп2,	получаем первое
уравнение
— = — сп\	Ѳ = De~mH	(ІѴ.3.19)
ѳ
и второе уравнение

Р" + — Р' Л- л2 Р =-- 0.

г

Последнее представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка, общий интеграл которого

р = AJ0 (пг) + BY о (nr).

(ІѴ.3.20.)

197

Уравнение (ІѴ.3.20) имеет решение

W

= De~cnH

\AJ0

(nr) +

BY0

(nr)\,

(IV.3.21)

где

J0 (nr) и Y0

(nr) — есть

функции Бесселя

и

Неймана

нулевого порядка.

Дифференцируя

(IV.3.21) по г, находим

~

=

— De~mH

п \AJ1

(nr) - f BY1

(nr)],

(IV.3.22)

or

где

J1(nr)Yl(nr)

— функции Бесселя и Неймана

пер­

вого

порядка.

Уравнение (ІѴ.3.22) получено из следующих свойств

бесселевых

функций:

dJ0

(nr)

dJ0

(nr)

d (nr)

= nJo (nr) — — nJt

(nr);

dr

d (nr)

dr

d Y

o ( n r )

=

nYo (nr) = -

nYx

(nr).

dr

Подставляя

в

(IV.3.21)

r=r0

и в

(IV.3.22)

r=R, а так­

же используя граничные условия (ІѴ.3.16,а и

б),

полу­

чим

AJ0(nra)

+ BY0(nrQ)

= 0, I

Для того чтобы система двух линейных однородных уравнений относительно неизвестных А и В имела не­ тривиальные решения, определитель системы должен быть равен нулю:

	Л (л/о)	Y0(nr0)	0.
	Jt(nR)	Y1 (nR)
Отсюда для	определения	собственных чисел щ		получа­
ем следующее характеристическое			уравнение:
J,	(nR) Y0 (nr0) -	J0 (nr0)	Y, (nR) = 0.	(IV.3.24)

Это уравнение имеет множество положительных вещест­ венных корней Пі, п-2, п3 , которым соответствует мно­ жество решений вида

W(r,t) = Dfi-*«4 \А, J0 (ntr) + В, Y0(n,r)]

(IV.3.25)

Если в это выражение вместо Bt подставить его зна­ чение из (ІѴ.3.23), то

g _ _ Ai Jо (ni r0)

198

		—cn.i
	W^rO-C.e			U0(ntr),			(IV.3.26)
где введены	обозначения
		Di Aj	=	c	-
	Y0	(n{r0)
U0 (ntr) =	J0 (n,r) Y0	(щг0)	-	J0	(щ r0) Y0	(ntr).	(IV.3.27)
Решение	уравнения	(IV.3.15)			будем	искать	в виде

бесконечного ряда, членами которого являются функции

W{rt):

W(rt) = S W,(rt) =	S С, e	и0(піГ).	(IV.3.28)
г=і	1=1

Для определения коэффициентов С, этого разложения воспользуемся начальным условием (ІѴ.3.16,в). Полагая

в уравнении	(IV.3.28) t =	0, получим
	І {r) = "нач -	U(r) =	* Ct	UQ (щ r).	(IV.3.29)
Умножая	левую и правую		части	уравнения	(ІѴ.3.29)
на rUo(tikr)	и интегрируя в пределах			от Го до R, получа­

ем (предполагая допустимость почисленного интегриро­

вания

ряда)

1 rf (r) Uo (nkr)

dr =

І Ct

J rU0 (ntr) U0 (nkr)

dr.

(IV.3.30)

Покажем,

что

система

бесселевых

функций

Vç)(nt r)

на

интервале

[r0 ,

R]

ортогональна

с

весом г,

т. е. что

R

^ги0(п{г)и0

(nkr)dr=

0,

при

щ

i=nk,

так

как

R

Г rU0

(ntr) U0

(nkr)

dr =

1

[nk RU0

(ntR)

U,

(nkR)-

J

4-"l

— n, RU0

(nkR)

U±

(riß)

— nk

r0 U0

(n,r0) Ux

(nkrQ)

+

+ ¥ , y . ( V . ) î / 1 ( « / i ) ] ,

(IV.3.30

где

Uo (nr)

=

JQ (nr) Y0

(nr0) + J0 (nr0)

Y0

(nr);

(IV.3.32

Ui (nr)

=

A (nr) Y0

(nr0)

-

/„ (nr0)

Y1

(nr).

(IV.3.33)

199

Если nt

и nk

являются корнями характеристического

уравнения

(ІѴ.3.24),то

U1(niR)

=

0; f/i(nf t /?)

=

0.

(IV.3.34)

Непосредственной

подстановкой r=r0

в

(IV.3.33)

по­

лучаем

тождества:

£/о(л/о)

=

0; UQ(nkr0)

=

0.

Таким

образом,

при

всех

i=f=k, формула

(ІѴ.3.30)

дает

jrU0{nir)U0(nkr)dr

=

0,

(ІѴ.3.35)

что и выражает

ортогональность

системы функций

и0(Піг);

U0(n2r);

U0(n3r)...,

с весом г в промежутке

[/о/?].

Так как все члены ряда

(IV.3.30)

обращаются

в

ну­

ли,

кроме

одного, соответствующего

значению

i=k,

то

это

равенство

можно

записать

в

виде

J

rf (г) U0 (nkr)

dr =

c j

rUl (nkr) dr.

(IV.3.36)

Согласно теории бесселевых

функций

J

xUo {ах) dx =

-j

[Ul {ax) +

U\ {ax)] +

С,

(IV.3.37)

и, применяя

соотношения

(IV.3.36)

и

(IV.3.37),

получим

J rf (r) U0

{nkr)

dr=^-

[R* Ul (nkR)

-

r\ U\ (nk

r0)}.

(IV.3.38)

Преобразуем

правую

часть

последнего

равенства

к бесселевым

функциям

первого

рода. Для

вычисления

Ui(nkr0)

положим в

выражении

(ІѴ.3.32) r = r0 и

вос­

пользуемся

формулой

для

вронскиана

функций

Jo{x)

иY0(x):

	h (X) Y0 {X) - J0 (x) Yx (*) =	— .	(IV.3.39)
Тогда		ЯХ
ѴіЫ	= Ji{nkr0)Y0{nkr0)~J,{nkr<))HY{nkr0)	= -J—. (IV.3.40)
		nrik	r0

200

Д ля нахождения U0(nkR)				заметим,		что	по характе­
ристическому уравнению			(ІѴ.3.20)
	Y0(nr0)=		Jo(nro)yAnR)				(iv.3.41)
и поэтому				Ji	(nR)
U о (nkR) = J о (nkR) YQ			(nkrQ) — J 0 (nkr0) Y0				(nkR) =
= T T ^ S r	M> (nkR)	Y,	(nkR)	-	J x (nkR)	Y0	(nkR)\.
Применяя	формулу	(IV.3.40),			находим
U0 (nkR) =		— J°(ПкГо)			• — — .		(IV.3.42)
			J г (n/,,R)		nnkR

Подставляя значение (IV.3.40) и (IV.3.42) в (IV.3.38), получаем

		R
Ck =	n24Jï("kR)	!
	—	*
	2[Jo(nkr0)-A{nkR)}

Таким образом, окончательное (ІѴ.3.15) дается рядом (ІѴ.3.28)

rf(r)uo{nkr)dr

. (IV.3.43)

решение уравнения

я 2

w И =

2

f . ")A{<hR))ri(r)Uo{nir)dr

*

X

Sy 0 ( « , r 0 ) - y ? ( n f « )

2

			Х « " Я ' ' ( / » М .				(IV.3.44)
Согласно		(ІѴ.3.16, в) и		(ІѴ.3.17)
/	(r)	= "нач —	U(r)	= Инач — YB 'В		™ Г0).
Для нахождения			интеграла		в выражении		(IV.3.43)
		R
		Fi = J г [«„„, —			Uо (ntr)	dr
применим	формулу		интегрирования по			частям,	полагая
		W =	U, ач	YB f'o ^ —/"о)!
откуда			dV =	/-Ѵ0 (П;г) dr,
			dW =	— Y B	i'o dr;
			V =	— M	M		201

и, следовательно,
Fi =	(Инач — Ѵв ''о			{Г —	Г 0	) } — иг	(ПіГ)
						m
			Ѵв 'о	R
				rUl		(nj)dr.		(IV.3.45)
			m
Для вычисления			J rU1	{ntr)dr		применим также фор-
			<•»'
мулу интегрирования			по частям и найдем, что
R						R
Г rU1 (я,- r)dr =	-	—	U0 fa	R) +	— Г UQ (я, г) dr. (IV.3. 46)
*		Пі			ГЦ ,)
						r«
Подставляя	в	(ІѴ.3.45)		это	выражение,			получим
								R
Fi = [Инач — YB t'o (Г — Го)J — иг							(П[	Г)

= YB	f f / o ( Я * rfr — "нач — Ui (tlt Га)	—
	lit
	-ЩРи0(п{Ю.	(IV.3.47)

Значение интеграла Jc/ 0 (rti - r)dr вычислим, пользуясь

формулой трапеции, взяв шаг h — —rr—^ . Тогда

			10
| ф ( г )	Ф(г0) ; Ф(/?)	+ Ф ( Г і )	+ Ф ( г 2 ) . . . Ф ( г 9 )
Подставляя	найденное	значение	выражения (ІѴ.3.47)

в (ІѴ.3.44) и взяв сумму функций (ІѴ.3.17) и (ІѴ.3.44), получим окончательное решение задачи (ІѴ.3.10)

202