книги из ГПНТБ / Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению

5. РАСЧЕТ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПЕСЧАНЫХ ДРЕН

С УЧЕТОМ	СТРУКТУРНОЙ	ПРОЧНОСТИ СЖАТИЯ ГРУНТА
И НАЧАЛЬНОГО ГРАДИЕНТА		НАПОРА
(СЛУЧАЙ	РАВНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ)

В тех случаях, когда после устройства вертикальных дрен их пригружают высокой дамбой для создания на­ пора в поровой воде, а дрены размещают на расстоянии 1,5—3 м одна от другой, основание работает по схеме равных деформаций. По этой же схеме основание рабо­ тает, если дрены расположены на большем расстоянии друг от друга, но поверху горизонтальной дренирующей песчаной подушки установлен фундамент в виде жесткой железобетонной плиты.

При разработке расчета консолидации водонасыщен­ ных глинистых грунтов в этом случае мы исходим из об­ щего дифференциального уравнения пространственной задачи консолидации грунтов (ІѴ.3.4) и считаем, что фильтрация воды через грунты основания в дрены про­ текает с отклонением от закона Дарси.

Переходя к полярной системе координат и выразив скорость фильтрации ѵ через избыточное поровое давле­ ние и и начальный градиент напора і0, запишем диффе­ ренциальное уравнение осесимметричной задачи консо­ лидации грунтового массива в следующем виде:

k	I д* и .	1	ди	Ѵв 'о	\	_ _	1	de	(IV 5 1)
Ѵв	l dr*	r	' dr	r	)	~	1 + eCp '	dt

В нашем расчете, как и в предыдущем пункте, мы ис­ ходим из положения, что сумма среднего порового дав­ ления и и среднего эффективного напряжения оэф в грунтовом массиве в любой момент времени t равна внешней нагрузке q:

" + °Эф = q.

Поскольку деформации на любой глубине в любое заданное время равны, т. е. зависят только от време­ ни t, коэффициент пористости е также является функ­ цией только времени:

Зе	öe	da	_	<Эаэф _	du
dt	даэф	dt		dt	dt
Подставив	полученный		результат		в уравнение (ІѴ.5.1)
и введя обозначение		коэффициента			консолидации

213

с _ kr		(1 + ecp) • ,
приведем уравнение	(IV.5.1)		к виду
а2 ы	, 1	_ди	'о Ѵв \ _	du	(IV 5 2)
дг2	г	дг		dt
где и — избыточное поровое давление				воды;
и — среднее избыточное			поровое	давление:
			R
и —	R2-rl		и (г t)rdr.		(ІѴ.5.3)

Уравнение (IV.5.2) решается при следующих гранич­ ных и начальных условиях [по аналогии с граничными условиями (ІѴ.3.11)]:

		U (Г() | < = 0 =			« Н а			(ІѴ.5.4)
Так как граничные условия неоднородны, ищем ре­
шение уравнения		(ІѴ.5.2)		в виде
	и (rt) =		W (rt) +		ув i0	(г -	го).	(I Ѵ.5.5)
Подставив выражение				(ІѴ.5.5) в			(ІѴ.5.2),	получим
							dW
	дг2		дг				dt
Таким	образом, функция W(r,					t)	определяется диф­
ференциальным		уравнением
	d*w		± .		m	dW		(IV.5.6)
		+		дг		dt
		дг2			)
при следующих граничных				условиях:
								(ІѴ.5.7)
dW		ди		_д[уві0		(г — го)]		(ІѴ.5.8)
дг	r=R	дг	r=R		дг		r=R

214

Определим

начальное

условие

для функции

W(r,

t):

R

и (r/)|f=o W (rt)\t=o+

— — -

Г Тв t'o (r — r0) rdr =

wr i a 4 ;

Г

( r f ) | , =

0 =

«нач

f

4*

l°

( Г _

Г о ) rdr

=

*

~ro

J

Го

где

' о

Введем обозначение

Ф (n) = 2 ^ 2

7п

-

1

(ІѴ.5.10)

3n

(n

-|-

1)

и с учетом его запишем условие

(IV.5.9)

в виде

Wt-o

= »m-Vjo-RVW=WQ.

(ІѴ.5.11)

Решение уравнения

(ІѴ.5.6) ищем

в виде

W (r, t) =

Ѳ (r) е~и,

(IV.5.12)

при этом

W = W0e~M.

(IV.5.13)

Подставим (ІѴ.5.12) в уравнение (ІѴ.5.6) [с учетом

того, что W0 — среднее значение

Ѳ

(г)]

и найдем

д* ѳ (r)

„-u

+

j

_ .

аѳ { r ) - u

] =

_ Ш о

в - *

дг2

г

дг

I

Обе

части

уравнения сократим

на

е

=^= 0:

д*в(г)

|

I

дѲ(г)

^

W0

(IV

5.14)

дг2

г

дг

с

при Ѳ(г0) =

0

и

дИВ1=0.

дг

Подстановкой у=дѲ (г)/дг (ІѴ.5.14) сводится к ли­ нейному дифференциальному уравнению первого поряд­ ка, решение которого имеет следующий вид:

215

Ѳ(г)

4с

2c

4c

^ о ^ 2 l n

т

kWBR*

l n ^

-

-

^

Ч

'

2

-

^

(IV.5.15)

2c

r„

2c

a решение

уравнения

(IV.5.6)

записывается

так:

W (rt) =

2c

Я 2 In —

r2—rr2o

-Xi

(IV.5.16)

r0

2

Для

определения

к

воспользуемся

начальным

усло­

вием W\t=o= W0:

R

R

Wl

0=

-

[W{rt)rdr

=

— 2

Ш

°

f x

Гa

2

2

X

tf2ln

r

—rn

rdr\

2kW0

Я Г

2

2 1

R

rdr •

* 1 I n *

P2

r2

f i n i

J

r 0

2

'о

4

'

«Я

2

2

Я4 - ' S

г

2

2

И

j '

Г —К

/?

4

4

Обозначив

R

=n,

получим

kWn

, 2 /?2 _И

R'-rl

с

2

rn

8

8

откуда

— 1

kR2

— I Inn

3n2

2c

n2

4п2

Обозначив

выражение

в

квадратной

скобке

через

F(ri),

запишем

Х = -^—.

(ІѴ.5.17)

#2F(n)

216

Подставим полученное	значение		Я, в (ІѴ.5.16):
(^ 2 1 п Л	2	2 \	2с
	_ і	r l ) e - w m \		(IV.5.18)

Таким образом, решение уравнения (ІѴ.5.2) в соот­ ветствии с (ІѴ.5.5) будет иметь следующий вид:

	" (rt) = ув	і0	(г — г0 ) +		W {rt) =		YB f0 (r — / о) +
"нач YB »o Щ (п) I n 2			] n S		.2	_2\	2c _ /	(IV.5 19)
						r°\e-	R'F{n)
Я 2	F W	V	Г0	"	'	2
При	i'o = 0 получается			известное			решение	Баррона.

6.РАСЧЕТ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПЕСЧАНЫХ ДРЕН

СУЧЕТОМ ПЕРЕМЯТОЙ ЗОНЫ ГРУНТА ВОКРУГ ДРЕНЫ (СЛУЧАЙ СВОБОДНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ)

При устройстве вертикальных песчаных дрен по ме­

тоду

забивной

трубы

с раскрываемым или

оставляемым

в грунте

железобетонным

башмаком

вокруг

дрены

воз­

никает

зона

грунта

в

°

1

нарушенном,

переуп­

лотненном

состоянии.

Размеры

этой

зоны за­

1

!

I

;!

1

висят

от

физико-меха­

1

и'

и

нических

свойств

уп­

и

!

и'

лотняемых

грунтов

и

диаметра

устраивае­

1

г,

мой дрены.

R

Грунт

перемятой

зоны, по данным иссле­

Рис. IV.7. Расчетная

схема для

оп­

дований,

характеризу­

ределения

степени

консолидации

ется

другими

показа­

грунта

при

наличии

перемятой

зо­

телями

фильтрацион­

ны грунта вокруг дрены

ных

свойств, чем

грунт

природной структуры. Так, в ленточных глинах коэффи­ циент фильтрации уменьшается в этой зоне в десятки

раз,	а в водонасыщенных лёссовых грунтах — в						1,5—
2,5 раза. В некоторых случаях				(например,		при устрой­
стве	песчаных	свай) стараются		добиться	максимально­
го увеличения		радиуса зоны	с	нарушенной		перемятой
структурой грунта.
При расчете		этого случая	(рис. IV.7)		будем считать,
что	вокруг дрены радиусом		г0	имеется перемятая			зона
с нарушенной структурой грунта радиусом					rs.

217

В зоне I (г0 < г	<Гс)
Ѵв l	dr2	r dr	= 0.	(IV .6.1)
			r

где h — коэффициент фильтрации грунта в смятой зоне; «* и у * —избыточное поровое давление и скорость филь­

трации в смятой зоне.

Правая часть равенства равна нулю, так как коэффи­ циент сжимаемости грунта в смятой зоне а = 0.

Граничные условия в этой зоне:

				" * M ) U . = 0;							(ІѴ.6.2)
				и* (г, O U				= » , -			( І Ѵ - 6 - 2 ' )
	В зоне	I I ( r , < r <			R)			S
		hi	(¥a	- j . _ L ÈL				"his.		— ,	(ІѴ.6.3)
		Ув	\дг*	r		du		г	1+6ср dt		v
где	kir—коэффициент					фильтрации				грунта в	горизон­
		тальном направлении в зоне //;
	и— избыточное поровое давление в зоне //;
	а—	коэффициент сжимаемости.
	Уравнение		(ІѴ.6.3)			представим			в	следующем виде:
			£ =	C (	^	+	J -	*	ï-is),		(ІѴ.6.4)
где			dt		\âr2		r	dr		r

с =

Ув a

Граничные условия:

на боковой поверхности внешнего цилиндра при r = R скорость фильтрации воды

k„{	1	du	= 0:
	—	^ — I,
	Ув	dr	(IV.6.5)
dr		= Y* hl ]

на границе rs между смятой и ненарушенной зонами

U s =	" r = v	(IV.6.6)
S	5

218

или

M Ï - ^ k - M F - ' - ' . k -								( , V - 6 J )
Условие (IV.6.6) соответствует					условию (IV .6.2').
Начальное условие в зоне //:
	« М ) | , = 0			= « Н А Ч .				( І Ѵ . 6 . 8 )
Решение уравнения (ІѴ.6.1)					при граничных			условиях
(ІѴ.6.2) имеет вид
дг2		г дг		г
Подстановкой в уравнение
	Z-—		—		— —
		дг ' дг2				дг
понижаем его порядок и получаем							решение в виде
	ди*		.	. Сі
ИЛИ	дг				г
" * = \ (ѵ- «о + 7") Л- +		С 2 =	YB t0		г +		C T In г + С , .	( І Ѵ . 6 . 9 )
Подставив граничные условия (ІѴ.6.2) в								(ІѴ.6.9),
найдем
О = Увіо^о + Ci In r0							+ C2,
а с учетом
"s =	Ѵв г'о rs		+	C1 In rs + C,.
Решая систему	последних			двух			уравнений,	получим
и3 = Тв »о (г, ~ го)			+	Q (In rs — In r„),
где
d	= M	s ~ Y b ' °		^JZ£g)f				(IV.6.10)
			I n - ^
а затем найдем
C2 = - y B i 0 r 0		- U 5	Y g		' o	( r s	~ r o ) lnrQ .	(1V.6.11)
						ft
				In		—

219

Значения постоянных Ci и Сг подставляем в общее решение (IV.6.10) уравнения (ІѴ.6.1)

и* =

YB іо г

- щ

~

У

в

'"°( r s ~ Г о )

In Г -

Y B to Го

-

Г0

Щ —

YB »O (/"s — r„)

,

,

ш г 0

Го

In

—

К* = YB to (Г -

r0 ) + ( « S - YB h S)

^ .

( I V . 6 . 1 2 )

r 0

где s = rs—

r0,

a « s

ищется из уравнения

(IV.6.4)

описанным

ниже спо­

собом.

В

области / /

(см.

рис.

IV.7)

решение

уравнения

(ІѴ.6.4)

ищется

в виде

суммы двух

функций

и

(rt) =

W

(rt)

+

YB іо

(г

-

Г о ) ,

(IV . 6 . 13 )

причем

(IV.6.13)

должно

удовлетворять -.уравнению

(ІѴ.6.4), т.

е.

е

( ^ +

± . £ +

Л . т

. , _ ^ ) _ £ .

„ Ѵ . , , 4 ,

и граничному условию

ЛИ7

I

-^-[W(rt)

+

i i 0

( r - r 0 ) }

y i

r = R = ^ -

+

YB І0

=

YB Іо,

(IV.6.15)

а функция

W(rt)

должна

удовлетворять уравнению

dW

= c

( dW

, 1 dW \

/ I W c 1 С ч

dt

\

dr*

r

dr

I

(IV.6.16)

x

и граничному условию

= 0.

(ІѴ.6.17)

Кроме

того, на

границе

r = rs

должны

выполняться сле­

дующие условия:

и' \ r = r s

= Г

(rt)\r=rs

+ YB

*о (/", -

r0)

(IV.6.18)

220

du'	=	k.	\dJL	+ yJo — Y» h-
àr	Y=rs Ѵ в ' о ]	"и	[ d r
					(IV.6.19)
Начальное условие (IV.6.8)			для функции		W(rt) сле­
дует записать в виде
W	(rt) Uo = "нач -	YB і0 [г -r0)=f		(r).	(IV.6.20)

Решение уравнения (ІѴ.6.20) имеет следующий вид:

	W (rt) = е~спН	[AJQ (nr) + BY0 (пг)],			(ІѴ.6.21)
где J0(nr)—функция		Бесселя	нулевого	порядка;
Ya(nr)—	функция	Неймана	нулевого	порядка.

Ищем dW/dr, учитывая следующие соотношения:

Jo (х) = - У, (дг); Yo (х) = - Y 1 (х),

где Ji(x) и Y^x) — функции соответственно Бесселя и Неймана первого порядка. С учетом этого

dW(rt)	= е -спН	[— nAJt (nr) — nBYx (пг)]. (ІѴ.6.22)
дг

Подставляя в это выражение r = R [см. граничное ус­ ловие (ІѴ.6.17)], получим

0	= AJ1(nR)	+	BY1(nr),		В			Yt(nR)
Подставим значение В в (IV.6.2I) и найдем
W	(rt) = Ае~тЧ		\j0	(nr) -	£	Ä	Y0	(nr)],	(IV.6.23)
					Y l	(ПК)		J
ИЛИ
		W(rt)	=	Ae-cnHU0(nr),					(IV.6.24)
где
	U о (nr) =		J о (nr) —		Уi	Y0		(nr).	(IV.6.24')
						(nR)
Таким образом,
" (rt) = 7в t0		(r — r0)		+ W (r,t)		= 7 B	t0	(r — r„) +
		- f	Aé~cnHU0		(nr).				(IV.6.25)

221

Рассмотрим условия (IV.6.6) и (IV.6.7) на границе

Подставив			r = rs	в	(ІѴ.6.25), а полученное этой под­
становкой выражение в (ІѴ.6.12), найдем
w* И	-	Ув	h (r -	г0 ) +		Ae-cnHU0		(nrs) —		•	(ІѴ.6.26)
									] п - ^
Используем условие (ІѴ.6.7), для чего из (ІѴ.6.26)
найдем
	dU*	=yBio		+			Ae-^U0(nrs)-±				(ІѴ.6.27)
	дг								г In
а из выражения (ІѴ.6.25)
			du								(IV.6.28)
			or
где
		Uj, (nr) =		J1	(nr) — A £ * >				Yx (nr).		(IV.6.29)
Так как по условию					(IV.6.7)
	du				. 1	,	Г	du
	dr		r = r s		J		" [	dr	r=rs	Ï B	°y
то с учетом		выражений			(ІѴ.6.27) и (ІѴ.6.28)						получим
	у в / о + Ае~спНий(пгѣ)							l—	Уь	h
	=	hi	[Тв to —		Ane	cnH	Ui (nrs)		— ув	to],
Ak,	e~cnHU0		(nrs)			=	-	Akn	e'^'nU,		(nrs),
				rs In-

откуда

ki

' 0

222