книги из ГПНТБ / Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению

При ki =kn
1 — V0{nrs)		+ Vl(nrs) =		0.
nr, ln —
Обозначив Ѳ =	—	,	получим
kunrs\n —
W0(nrj+	1	/ ^	= 0,	(IV.6.30)

т. е. характеристическое уравнение, корнями которого яв­

ляются собственные числа tii, п2 ,

пк ...

(IV.6.16)

отно­

Таким

образом,

решение

уравнения

сительно

W(r,

t) следует

искать

в виде

ряда

W{r,t)

= Z AkU0(nkr)e

-сп2і

.

(IV.6.31)

k

Можно доказать,

что функции

Uo(nkr)

ортогональны

с весом г на интервале

[rs

R],

т. е., что

J rU0 (nh r) U0

(л, r) dr =

0

при k=f= i.

(IV.6.32)

Докажем это равенство:

j

rU0

(nfcr) Uu (n,r) dr=

J r

[7e

(«*r) -

6fc

F 0 (nfer)] X

Л

X [J0

{Ht r) — Ä/ F e

(n,r)] dr

=

R

— Л£ [ r/o (nf t r) F 0

(n,r) dr — kk

j

r / 0

(nkr)

dr

=

s

's

( К Л К ' )

- L i («ir )

-

V - i

К ' )

^oK ')] +

Пь — П,

-

*, [я, П

(я* О У . ,

(n, г) -

пк

У_, (я, г ) Y0

[nt

r )]

-

~К

[ni Yo

К ' )

Y - \ { n i r ) - n k Y - i

K O F

- i

("<r)l*

R

s

223

ntU0 (nkr) U1 (я,- r) + nkUl (nk r) U0 (л,г)}

i 2 — л 2

Чni

2

1

2

{л, rsU0 (nk

r,) t/! (л, rs) — nk

rs

Ut

(nk rs) UQ ( я , г , ) } =

"ь

— ni

l

{--я,

rs Ѳ,- UQ

(nk rs) U0

(я,- rs )

+

+

" a

б*

( " a rt)

U0

(я, rs)) =

0.

Так

как

U1

{nR) = 0,

Vx

(я, rs)

=

-

Ѳ, U0 (nt

rs),

то Ux (nkrs)

=

= —

QkU0(nkrs);

П(л*А)

'

k

Yi(nkR)

'

Выражения

для

^ ( я ^ )

и

U\(nkrs)

получены

из

уравнения

(IV.6.30).

Для определения коэффициентов Ак

воспользуемся

начальным

условием

(ІѴ.6.20). С учетом

этого

условия

при ^ = 0

ряд

(IV.6.32)

будет

иметь

следующий

вид:

оо

AkU0(nkr),

/ ( г ) =

S

ft=i

откуда

R

Ak

=

J rf (r)

U0

(nk

r)

dr

.

(IV.6.33)

J

<

M d

r

rs

Так как функция f (г)

оказывается разложенной в ряд

по системе

ортогональных

функций,

то

решение задачи

в зоне / / мы получим в

виде

u=yj0

(г — г0 ) +

W (r,t) =

YB і0

( г

— r0 ) +

R

»

J rf

(r)

UB (пяг) dr

]rU\(nkr)dr

224

Вычислим в последнем выражении интегралы. Первый из них

	R
	I1=§rUÎ(nkr)dr		= {-£				[(Uoin^r-U.MU^r)]]^
			2			2
=	- f " )] Vo(nkR] У-		7 -	[U0 {nkrs)Y-		£ [Ux (nk		rs)} \ (IV.6.35)
	Воспользовавшись			вронскианом			функций		Jo(x) и
Yo{x), упростим			выражение			Ul(nkR):
		J1(x)Y0(x)-J0(x)Y1(x)				=	- 2 -	,
на основании (ІѴ.6.24') получим							яд:
		(/„ ( л ^ )	- — - Ц -		[Л (я*/?)		(л*/?) -
		-Л(л*/?)^о(я*/?)]			= -	2	1		'
						nnkR	F i (/г/г/?)
а	интеграл
	,	Д 2	4		1	''s	Т Т 2 ,	ч
	' і	= - Г " -	Г Т -	Г - 7 7 — 7 -		"TT"	U<> ("ft	О	"
		2	n>n2R2	Y\[nhR)		2
			2	—	'

Введя	обозначения
i/o (пг) =		Уг (nR) U0 (пг)
получим	окончательно
		R
h	=	^rUl(nkr)dr
		r.

и U, (пг) =	У0	(лЯ) t / i (яг),
.2
2Уі(п А Я)	я*	ni	г2
		•k	's

	—	(nkrs)	— Ui	(nkrs)	(IV.6.36)
Второй	интеграл
R
h = J	rf (r) U0 (nkr)	dr =	(um4	+ y B i0 r0) н —	YB »0 h,

15—1

225

где

h

=

f rU0

(nkr) dr

=

—Ut

(tikr)

=-B-Ux

(nkR)

.Il

i2

R

r*U0(nkr)dr.

==

j

Выражение для

i 2 интегрируем

по

частям:

u=r;

du =

dr;

du = rU0

(nkr) dr;

v=$rU0

(nkr) dr = —

Ux

(nkr);

R

к =

У*и0{пкг)аг

=

R

R

=

—

Vi(nkr)

-\rUx(nkr)dr

=

= _ І і . г / і ( я л ) + _ і г [ / в ( Я 4 Г )

"ft

я?

К

- V -

I i/o ІЧг) аг^-^-иг

(nkrs)

+

R

R

+

4 - fco (nhR)

-

-^-UQ

(nkrs) -~y-[u0

(nkr) dr,

nk

J

4

nk

J

откуда

h = ~ ("на, + Yb h Го) - ^ - t / l (Я*Г,) + ^ [ « * ^ X

X t/i(«»r,)-/?f/a (n*/?)+ t/0 K O + І ^о (я*г) dr].

226

Так как,

согласно

(IV.6.30),

Uг (nrs)

=

-

Ѳи0

(nrs)

и U0

(nR)

=

-

1

nnkR

Yx{nR) '

то

U =

("нач +

YB «о ГО)

£/0

( V . )

"A

+

U,{n*à+

3 Y B t

V 2

ч

+

YB

J

»*

4

Возвращаясь

к решению

(ІѴ.6.34)

в области r s < r <

получим

" M = YB «О (Г — Л0 ) +

во

-4т Yt

(nkR)

Fk

+

-mit

U0(nkr)e

(IV.6.37)

где

( " „ a 4

+ Y B t 0

r „ ) ^ - 7

- ^ ^ +

"ft

"A

+

YB 'О r s

I/o

При i'o =

0:

'

ef/0 (nA r,)

= - ^ - s f / i ( n f t r s )

"ft

"ft

и, следовательно,

« {rt) =

«„a4'2ft-!

rs"fc • tfl

("ft's)

" 2

«* 's

X U0

(nkr)

e

(IV.6.38)

15*

227

При г'0 = 0 получили решение Р. Баррона для случая свободных деформаций поверхности. На участке Г о < т < ^ избыточное поровое давление, согласно (ІѴ.6.12),

	и* (rt) =		YB і0	(Г — Го) +		[us	-	ув i0	s)	r±
										In —
	us	= u(rs	t)							r.0
где				получается				подстановкой
в (IV.6.34):
			2	Тв i'o (rs —			r0)	+
		со
		2	— Fi (nkR) Fk U0				(nkrs)
			rs		•Vl{nk	rs)-U\{nk			rs	-cnkt
Подставляя			значение		us в	(IV.6.12),			получим
		и* (rt) = ув			i0 (r — r0 ) ^			І П ^
									— X
								In	rs
									—
	t7		2	(nkR) Fk U0		(nkrs)				2	^ _
		—— Yx
X			-						e	. (IV.6.39)

Таким образом можно найти значение порового дав­ ления в любой точке перемятой зоны и установить сте­ пень консолидации грунта в любой точке массива вокруг вертикальной песчаной дрены с уплотненной перемятой зоной в том случае, когда дрены в основании работают по схеме свободных деформаций.

7. РАСЧЕТ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПЕСЧАНЫХ ДРЕН

СУЧЕТОМ ПЕРЕМЯТОЙ ЗОНЫ ГРУНТА (СЛУЧАЙ РАВНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ)

При расчете этого случая (см. рис. ІѴ.7) принимаем те же граничные условия и те же обозначения, что и для случая свободных деформаций. Зона / (г0 <><>£ ) описы­ вается дифференциальным уравнением (ІѴ.6.1) и имеет

228

граничные условия (ІѴ.6.2) и		(ІѴ.6.2').		Зона / /		( r s < > - <
</?) описывается	уравнением		(ІѴ.6.3)		или	(ІѴ.6.4)
и имеет граничные условия на границе rs					между	смятой
и нарушенной зонами (ІѴ.6.6) и (ІѴ.6.7).
Начальное условие в зоне / /
и (0|<-=о=		u{rt)rdr		= « н а ч .		(ІѴ.7.1)
Решение уравнения (ІѴ.6.1)		для зоны / имеет				вид
					г
					In —
и* = Ѵв to (r -	го) + [и, -	Тв t0	(rs -	го)] —^-		, (ІѴ.7.2)

причем значение us находится из уравнения (ІѴ.6.4), решение которого в зоне / / ищется в виде суммы двух функций:

		u(rt) = W(rt)				+	yBi0(r-r0),
причем		функция	W(rt)		удовлетворяет			уравнению
				[дг*	^	г дг )		dt	к
и граничному условию
				dW		0.			(ІѴ.7.3.а)
					дг
						r=R
	На	границе r = rs		выполняются условия:
[		us	=	y,io(rs-r0)		+	W(rt)\r=r		(IV. 7.4)
						дг
	да*		1		Г	dW	'	-	Y.'о] . (ІѴ.7.5)
	Начальное условие
^ И и = " н а ,				г Ч ~		[y^o(r-r0)rdr^W0,			(ІѴ.7.6)

где и„ач -^-начальное избыточное поровое давление;

229

Решение уравнения (ІѴ.7.3) ищется в виде

				W(r()=Q(r)e~M;						(ІѴ.7.7)
				W = W0 е -и						(IV. 7.8)
	Подставляем		(ІѴ.7.7)			и	(ІѴ.7.8)	в уравнение		(ІѴ.7.3)
и,	сокращая	его на		е	и	Ф	0, находим
		\	дг*	•	2		dr J		°'	(ІѴ.7.9)
		32Ѳ	^_	1 оѲ(г)
		dr2	'	2		dr
	Как было показано выше,
		Ѳ(г ) =		_ * £ 2 і ! + С 1 І п г				+	С,.
					4с
	Условие	(ІѴ.7.3.а)			позволяет определить					констан­
ту	С,:
							2с
с	учетом которой
	Ѳ(Г ) = _			^	^	+	H ^ ! i n r	+	C2 ,	(IV.7.10)
	Щг/) = Ѳ(г)с -w					4c	2c
										(IV.7.11)

При этом условие (IV.7.4) запишется в виде

« S	= YB h — Л>) + I —	4с

(ІѴ.7.12)

Обратимся к условию (ІѴ.7.5), из которого

			1
ou*	.	,	r
dr	YB h	H	,
			In-
где s = rs—rQ:
dW		W0r	\W0R*\ -M
fir		2c	1er

330

На основании значений этих производных на грани­ це r = rs

(«s — Ѵв t'o S)	YB'O	y
YB h +		I n /_ .ÎEsù.
	Г.	2c +

+2er. Г •

Учитывая выражение (IV.7.12), получим

		1
	Ѵв i*o s	—	1	• YB h {h — / о) +
			+ rs In
	UV
	r0
•f	(	И Г . ^		lnr, + C , l e - w =
			2c
	r, ln-**-
			2c +	(IV.7.13)
				2cr,

Так как последнее выражение есть тождество, то сле­ дует приравнять свободные члены и коэффициенты при

ё~и в левой и правой			частях	равенства:
1		Ш. ri	XWgRZ	In rs + C2	4 1
Л.		~ ° - ' - +			X
		4c
	Го
		x	{_Wurs
			2c	2er,
откуда можно определить
	ш0	л
С,	1 IV/	I
	2с
При &п=&і
		-J	^ l n r s	+ ( / ? 2 - ^ I n i -
	2с	2			/•„
2	образом, в зоне / / ( V s O - < # )				мы имеем сле­
Таким

дующий закон распределения избыточного порового дав­ ления:

231

U (rt)

=

Y B

t0 (Г — r 0 )

+

W (rt)

=

YBI'O (r ~

r0)

+

,

W0

-M

2

Y

+

R'lnr

+

—2

7?3 lnrs

+

-i

e

2c

После

упрощения

это выражение

примет

вид

Y B І0

г0 )

+

г*-г\

+

и

(rt)

=

(Г —

2с

R4n—

(R2

— r2\

l n - ^

(IV.7.14)

где приняты все прежние обозначения, а

значение W0

определяется

согласно выражению

(ІѴ.7.6):

2

п

rdr

=

« я а ч

—

=

иИач

:

r

I

Ув г'о (/"

—

Го)

R 2 - r î

J

2YB г'о

R

z -

r

l

roR

~rorl

Л 1 -

3

2

J

Введем обозначение R/rs—m.

Тогда

W

-

и

vif?l

f ^

3

- '

)

2

'о 1 _

Н

„

— "нач YB o А

[

" Г — ~

Г.

rs

m J

~~

н

З т ( т 2

— 1 )

YB г'о Я Г 2 ( т 2

+

т

+hi)1)

1LI

З т

(m

-f- 1)

п у

Параметр

К входящий

в

выражение

(ІѴ.7.14),

опреде­

ляется из начального условия

откуда

к

W(rt)rdr,

(IV.7.15)

где W(rt) определяется по равенству (ІѴ.7.11).

232