книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве

Рассмотрим случай, когда площадка на глубине смещена по оси д: и не смещена по оси у по отношению к загруженной площадке на поверхности.

Вертикальные напряжения от нагрузки, равномерно распреде­ ленной по площади квадрата

(11.46)

Для того чтобы определить давление на некоторую площадку на глубине г, необходимо проинтегрировать выражение (11.46) по этой площадке, т. е.

После интегрирования имеем

Р ,= -£-{(* +2Ь)Ф ( V p ? ) + (* -2 6 )Ф ( т р ? ) -

~МШ	гУ2<,	(х + 26)2
	У7	(- 2vz2
- М - й ] 1 М т 7 7		2гУ~Ъ
		/ 7

( 11.48)

Определим отношение давления на площадку на глубине г к дав­ лению на штамп, равному

		Ра = 4Ь2р,	(11.49)
где р — интенсивность нагрузки;
b — половина ширины штампа.
Делим выражение		(11.48) на (11.49). Получим
Р_Х_		+(-М »Й7?)-
Ра
—2 — Ф	+	* У ъ
ь		ЬУт.

(11.50)

Для горизонтальной площадки, расположенной на глубине г строго под загруженной площадкой, выражение (11.50) примет вид (при х = 0)

	z V^2у	(11.51)
	2bY^ [■

Определим величину давления на квадратную площадку на глу­ бине z при распределении нагрузки на поверхности по площади квадрата на основании параболического закона. Вертикальные на­ пряжения в этом случае

+						X
X	I -	6*	Ьг)	Гф ( у. ±±\ _	[ г у т )	+
				^ [ г У 7 )
	г
	+
						(11.52)
где рср — среднее давление				на штамп.
Для определения давления на площадку проинтегрируем выра
жение (11.52),	получим
		х+Ь	+ь
' - s H		i e - s - a w v f c ) -
		х —b	—Ь

1~\Гъ,

+

Ч 1- * ы - ч ? т - $ - т 9№ -

	+ (’- т ) ехр ( -	(?) + Ь)*	dr\.
		2vz*

После интегрирования получим следующую формулу для дав­ ления на площадку:

■- Шт+>Нт+*1+Ш+ *)]фш +

	+ [1 ( т - ) 3+ ( т - 2)2^ ( т - ' ) ] ф ( ^ ) -
-	т ( ^	+ Й	Ф(Г)М+ ^ w [ [ Jt				+2) +
2zb					, z V Y ;
+	;( т +	2) Ь	(	- ^	)	3b yH 1 C -		2), +
					(x —26)2
	+ !;.- + з ( ;			2)]“ p(-		2vz2	) -
					'___ £_\l		X
					,	2VZ2 j j		262\
X					(zb	Л	/
					Ы	- 1)	exp 1
				4vz3V2v .				(11.53)
				зW Y T,	J			4	’

Разделим выражение (11.53), определяющее давление на пло­ щадку, на величину нагрузки на штамп:

Ра = № Рср.

После деления получим формулу, определяющую отношение давления на площадку к нагрузке на штамп, т. е.

% - Ш т + 2Н т + 2)+?(т + ')]»(17?)+

- т ( ^ + | г ) ФШ + ^ [ ( т + 2)' +

+?~3(т+2) М	- ^ ) + ^ ( т - 2)' +
2 vZ2	(* -2 6)2 j

+ ^ + 3( i - 2) H ( -

2vz2

При положении площадки под штампом, т. е. если х = О, фор­ мула (11.54) преобразуется к виду

§15. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПО ОСИ КРУГА, ЗАГРУЖЕННОГО КОНУСООБРАЗНОЙ НАГРУЗКОЙ

Характер распределения нагрузки по кругу (рис. 11.1, VIII) выражается уравнением

/(Г) = Я (1- ^ - ) .

Для решения вопроса о распределении вертикальных напряже­ ний по оси круга, как и в случае параболической нагрузки, вос­ пользуемся формулой

о

(11.55)

Параметры и функции этого выражения для рассматриваемого случая имеют следующие значения

/( ? . ') = /(г) = Я ( 1

F (г, а, <р) = R\

/( ? . Я ) - / ( Я ) « 0; /( ? . 0) = /(0) = Р;

?. = 2Р;

д/(Ч>. Ч )____ д_ р I j ____ з _ \ = ____ £_

После подстановки этих значений формула (11.55) примет вид

	о	р_	I	dcp.
		2к
			О

После интегрирования и подстановки пределов получим

§ 16. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ НАГРУЗОК

Рассмотрим распределение напряжений от сосредоточенной силы. Приведем решение, полученное Р. А. Муллером [62]. По­ скольку внешняя нагрузка направлена здесь вдоль оси х , то в урав­ нениях, составленных для вертикальных напряжений, поменяем местами переменные х и z. В результате для напряжения ах в пло­ ской задаче получим уравнение

д<зх д2ах

(11.56)

дх dz2

Для сосредоточенной горизонтальной силы это уравнение ре­ шается при следующих граничных условиях:

при х - + 0 1		а* ^ ’ Т '
	z -> О J
при	z -> оо	ах —>0;
при	z < 0	ох = 0;
при Z =	0 ---- -- :	= 0.
F	dz

Решение уравнения (11.56) при указанных граничных условиях

-ехр

У 2ых2

У 2vW

Вертикальные и касательные напряжения в этом случае

Для сосредоточенной нагрузки горизонтальные напряжения

т	ехр I	У2+ г2 \ .
- 271V*2	{	2v*2 ) ’

°г* = ----„2Gx\Xt

vУ2 = -vl c

Для плоской равномерно распределенной горизонтальной на­ грузки (рис. 11.3)

	=	[ Ei (---------	2V ------+	) - Ei (	---------- -----)1;
2] / 2*v-		L V		I 2 v ( * - 6 ) * / J
, = — -	Гехр		(---- -------	) — exp (---------	-------;
у т ~ L		\	2s ( x + b ) * J	* 4	2 v ( x - 6 ) 2 jJ

г

Рис. 11.3. Схема к расчету напряжений от горизонтальной равномерно распре­ деленной полосовой нагрузки

где	; _	^2[ фLt ^ L\ .^. ( с+д 6)\ у/	^ ( х — ь))_
		т — интенсивность	горизонтальной	на­
		грузки;
- E i (-</) =	J	— интегральная	показательная	функ­
		ция.

Для произвольной горизонтальной нагрузки в плоской задаче решение для аг можно получить путем интегрирования выражения

- Г ,	exp Г---------*— ] *;
J		L	2 V (X — € )Ч
о ,= и , +	» ¥ ^	;	(11.57)
	„ дзх

~дг

Для пространственной задачи при направлении усилий вдоль оси х

оX ~ ±	я е . *.)	ехр	/	г2+ (у — т;)2\
	2-v (х — е)2		I	2v (x -e )2 /

Остальные компоненты напряжения определяются путем диффе­ ренцирования формул, аналогичных (11.57) и (11.58).

§ 17. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗЕРНИСТОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА У НЕПОДВИЖНОЙ ПОДПОРНОЙ СТЕНКИ i

Напряженное состояние для зернистой среды при принятой си­ стеме координат (рис. 11.4) может быть получено из следующих

где Т	^	и	Рис.	11.4. Схема загружения мас-
	объемный вес грунта.		сива	произвольной нагрузкой
Уравнение (11.59) должно быть			у неподвижной подпорной стенки

решено при определенных на­

чальных и граничных условиях;	начальным условием является на­
грузка на поверхности массива грунта
Ч - о	= *М -	(И-62)

Рассмотрим граничные условия для уравнения (11.59). Для не­ ограниченного массива, когда вертикальная сила в среде может распространяться безгранично, граничным условием является требование о том, чтобы в бесконечно удаленной точке производ­ ная напряжения стремилась к бесконечно малой величине, т. е.

— ->0 при X—>со.	(11.63)
дх

Граничное условие у стенки должно соответствовать тому, что вертикальная сила не может распространяться безгранично. Вер­ тикальное напряжение у стенки не передается полностью на ни­ жележащие слои грунта, а частично воспринимается самой стенкой за счет сил трения и сцепления с грунтом из-за шероховатости

* § 17 написан Р. А. Муллером.

подпорной стенки. Если стенка абсолютно гладкая, то вертикаль­ ная сила полностью передается на нижележащие слои, касательные напряжения между стенкой и грунтом равны нулю, т. е.

— = 0 при х = 0.

(11.64)

дх

Если стенка абсолютно шероховатая, то вертикальная сила вос­ принимается полностью ею и не передается на нижележащие слои, т. е.

о2 = 0 при * = 0.	(11.65)
Если стенка обладает конечной шероховатостью, то условия
(11.64) и (11.65) выполняются лишь частично. Тогда
+ D°z = 0 при л: = 0.	(11.66)

Коэффициент D характеризует шероховатость стенки и имеет размерность, обратную линейной. Если D = 0, коэффициент шеро­ ховатости стенки равен нулю, получим условие (11.64).

Если коэффициент шероховатссти безгранично увеличивается, D -> оо, получим условие (11.65).

Отметим, что граничное условие (11.66) для уравнения (11.59) является распространенным. В теории теплопроводности оно выра­ жает тот факт, что теплообмен между поверхностью тела и окружаю­ щей средой происходит по закону конвективного теплообмена т. е. пропорционально разности температур тела и среды.

В теории блуждающих частиц и теории диффузии условие (11.66) выражает тот факт, что на границе ряд частиц поглощается экраном, а ряд частиц отражается и т. д.

Таким образом, для определения напряженного состояния грунта необходимо решить уравнение (11.59) при начальном усло­ вии (11.62), граничных условиях (11.63) и (11.66), а также восполь­ зоваться выражениями (11.60) и (11.61).

Как известно, решение неоднородного уравнения (11.59) можно представить как сумму решения неоднородного уравнения (11.59) при нулевых начальных условиях и решения однородного уравне­ ния (11.59) при начальных условиях (11.62), т. е. как сумму напря­ женных состояний грунта от собственного веса и от поверхностных нагрузок.

Рассмотрим эти задачи раздельно. Определим напряженное со­ стояние от собственного веса грунта. Нам необходимо решить урав­ нение (11.59) при граничных условиях (11.63) и (11.66) и началь­

ном условии
о2= 0 при г = 0.	(11.67)

В теории теплопроводности готового решения этой задачи нет. Задача осложняется тем, что коэффициент в уравнении (11.59) за­

висит от координаты г. Схема решения такова. Общее решение не­ однородного уравнения можно представить как сумму частного ре­ шения (11.68) и общего решения однородного уравнения при на­ чальном условии (11.67), краевых условиях (11.64) и (11.66), а также дополнительном граничном условии, вызванном частным решением (11.58)

	°21 =	Г*;	(11.68)
	ах1 = V72.
	Задача сводится к решению уравнения
	даг	д2а2	(11.69)
	дг	дх2
	при начальном условии аг(х, 0) =	О
	и краевых условиях -^ -(0 , г) +	D [чг — а.(0, z)]= 0;	(11.70)
	дх
	°2 — (°°>	г) = 0.

Иными словами, задача сводится к решению уравнения тепло­ проводности (11.69), когда температура среды есть функция времени. Разность результатов решений уравнений (11.68) и (11.69) будет общим решением уравнения (11.59). Уравнение (11.69) при условиях

(11.70)	непосредственно не				решается. После подстановки
					4	= т			(11.71)
уравнение (11.69) сводится к каноническому виду
					дог	_	д2ъг		(11.72)
				!h~ ~ V
а условие		(11.70) к виду <з2(х,				0) = 0;
			- ^ ( 0 ,	z) + D [ i Y			b - c 2(0, z ) ] = 0 ;		(11.73)
					а2 (оо,		х) = 0.
Уравнение (11.70) при условиях (11.72) имеет известное в теории
теплопроводности решение
	о 2=		ч ]/"2 ]/"х exp (---— ) ----*1 erfc —					—
	22 1 у			у	н \ w		у 21/ ;	2
- y t ^	V	v	[erfc	-	ехр (v D 4 + D jr)erfc			+ D	V ™ )]•
где
				erfc =	—=	f exp (— x2) dx.			(11.74)
					У я J

Функция erfcx— табулированная функция (erlcO = 1).

После проведения необходимых выкладок получим выражение для вертикальных напряжений

°* = -rz -rz e x p (			-	£	) + I* | / Д		erfc (	^ ) +
		+ У / 2v D Ы С у * , г
I	№	,	J						(11.75)
— exp I	V—	+	Z	ХУ	{С{ у Ъ г + 0 г ] / Г			2 ) ] ’
При D = О					°2 = V-				(11.76)
При D = со
				,	1	V	2v	у Ъг	(11.77)
Для решения (11.76)				необходимо		раскрыть неопределенность
в первой части выражения (11.75).									(11.78)
При х ^ о э	oz -+4Z.
При х = О
аг = Т		_1							(11.79)

D

Таким образом, вертикальные напряжения в массиве распреде­ ляются следующим образом. Вертикальное давление грунта у стенки

определяется по формуле (11.79); при z	оо
	_1_	(11.80)
	D

Коэффициент шероховатости D определяет наибольшую вели­ чину вертикального давления у стенки по формуле (11.80).

Дифференцируя выражение (11.75) по х, получим по формуле (11.60) касательные напряжения в массиве

			— erfc	X	(11.81)
				V ¥ , z
Выражение для тЛГ2 принимает вид
при	D = 0	%хг = 0;
при	х оо	%Х2	0;
При X — 0		=	fZ	ехр Г -т ) erfc