книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве

Рис. 15.14. Сравнение теоретических результатов с опытными данными И. С. Федорова

а — опытная кривая с учетом собственного веса грунта; б — то же, без учета веса грунта; в— теоретическая кривая автора; г — кривая тео­ рии упругости

Рис. 15.15. Сравнение теоретических результатов с опыт­ ными данными Г. И. Покровского и И. С. Федорова

1 — опытная	кривая; 2 — кривая			от собственного веса	грунта;
3 — кривая	теории	упругости с учетом собственного веса			грунта;
4 _ теоретическая		кривая	автора	без учета собственного веса
грунта;	5 — то	же, с	учетом	собственного веса грунтя

определить теоретически напряжения внутри массива и сравнить их с опытными. Д. С. Барановым получена сложная картина давле­ ний по подошве штампа, изображенная на рис. 15.16 кривыми, со­ ответствующими трем ступеням нагрузки. Цифры на кривых пока­ зывают среднее давление на штамп.

Из анализа опытных данных, полученных Д. С. Барановым, видно, что давление по подошве штампа близко к равномерному с небольшой параболичностью к центру. Поэтому эпюру по подошве представим состоящей из двух эпюр: равномерной и параболиче­ ской (рис. 15.17). Аналитически эпюра будет выражаться зависи­ мостью

/ М	- л + л ( 1	- - £ - ) >	(1Б-33)
где рг — интенсивность	равномерно	распределенного	давления;
R — радиус круга, по которому		распределена нагрузка;

г— координата круга, на границе которого определяется давление;

р2 — наибольшая ордината параболического давления. Пользуясь экспериментальными данными, определим параметры

аналитической зависимости; для кривой а (рис. 15.16)

	Pi + Рг — 3,0; р0 = Pi +				^ -	= 2,6,	(15.34)
откуда		Pi =	2,2;	Рг = 0,8.			(15.35)
Для	кривой,	изображенной		на рис.	15.16, б,
		Pi + Рг = 2,62;		Pi + - f - =		2,2,	(15.36)
откуда
		Pi =	1,78;	p2 = 0,84.			(15.37)
Для	кривой,	изображенной на рис. 15.16, в,
		Pi + Рг =	2,3;	Pi +	=	1.8;	(15.38)
откуда		Pi =	1.3;	Рг = 1,0.			(15.39)
Полученные величины отмечены на рис.					15.17 для всех трех ступе-
ней нагрузки.
Вертикальные напряжения по оси штампа от сложной							нагрузки

[‘ - “ Ч - £ г ) 11'

(1540)

Номера вертикалей

3 4 5 6 7 8 ю

Рис. 15.16. Распределение дав­ лений под жестким штампом по опытам Д. С. Баранова при среднем давлении на штампы

а —р0 = 2,6	кг/сжа;	6 — р 0 =
2 ,2 кг!см*\	в — р0 =	1 ,8 кг1сма

а»

Рис. 15.17

а — Ра — 2 ,6 к г !

Ф

Рис. 15.17. Схемы нагрузок для теоретического расчета напряжений согласно опытным кривым Д. С. Бара­ нова

6 — р0 = 2 Кг!см \

о — р 0 = 1 ,8 кг!см -

Пользуясь этим выражением, а также рис. 15.18, по точке с коор­

динатами	= 2; —	= 0,7 вычислим коэффициент v из						уравне­
ния
	°,7 , -	i	i [ 1- „		P ( - 1 i	r	) ] +
	+ ^ . (	, -	2, 2. [ ,	-	е > р ( _	^	) ] ) ;	(.5 .42,
получим v =	0,125.

Тогда уравнение (15.41) примет вид

№43)

По этой формуле для нагрузок, изображенных на рис. 15.17, построены кривые на рис. 15.18; эти кривые с глубиной сливаются в одну кривую, отмеченную цифрой 4. Сравнение этих кривых с опытной кривой 2 Д. С. Баранова для рыхЛ0Г0 песка’ указывает на их сходимость. По формуле (15.43) прерывистой линиеи

с точкой построены кривые при v = 0,31; сравнение их с опытной кривой /, получен­ ной Плантема для плотного песка, говорит о совпадении теоретических и практических данных.

§ 12. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТА­ ТОВ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ

М, П. БОЛШТЯНСКОГО

М. П. Болштянский [11] проводил опыты с целью изу­ чения распределяющей спо­ собности гравия как дорожно­ строительного материала. На­ пряжения измерялись в су­ глинистом грунте, находя­ щемся под слоем гравия раз­

личной толщины.		и 15.20
На рис.	15.19
приводится	выполненное
М. П. Болштянским		сравне­

ние опытных и теоретических

данных.

На рис. 15.19 представ­ лены напряжения по оси дей­ ствия нагрузки в долях от среднего давления под штам­ пом; на вертикали нанесены точками показания трех ди­ намометров.

М. Ц. Болштянский отме­ чает, что опытные данные вполне соответствуют кривой распределения напряжений по

дискретной теории при			Vj =
= 0,34	и v0 = 0,33.	В то же
время	напряжения,	опреде­
ленные	по теории упругости
как для двухслойного			осно­
ванияпРи ~ ~ = 0,1,		в	2—3

раза меньше измеренных.

Рис. 15.19.	Сопоставление эксперимен­
тальных	и теоретических данных
I — кривая по теории упругости при Е0 : £ ,=
= 0,1; II — кривая		по	статистической	(дис­
кретной) теории при		v, =	0,34; v„ = 0,33;	1 —
гравий;		2 — суглинок

Рис. 15.20. Сопоставление опытных дан­ ных М. П. Болштянского с кривой статистической (дискретной) теории при v = 0,34

I — показания верхнего динамометра; 2 — показания среднего динамометра; з — по­ казания нижнего динамометра

На рис. 15.20 приведены показания динамометров, расположен­ ных на большей глубине; по опытным точкам относительно кривой, построенной на основании статистической (дискретной) теории, также видно, что теоретические результаты почти соответствуют опытным данным.

§ 13. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ РАЗЛИЧНЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ

Воспользуемся графиком, построенным В. Ф. Бабковым [84]; на этом графике, кроме экспериментальных, имеются теоретические кривые, построенные по формулам теории упругости и теории Фрелиха для нагрузки, распределенной по площади круга равномерно

ипо параболическому закону.

Всоответствии с этим теоретические кривые по разработанной автором теории также построены для нагрузки, распределенной по площади круга равномерно и по параболическому закону для v =

=0,125. В табл. 15.30 приведены результаты вычислений.

		Таблица 15.30
Отношение	Напряжения ц % от среднего давления при нагрузке
глубины к	равномерной	параболической
радиусу
0	100	200
1	98	151
- 2	63,2	73,6
3	35,9	39
4	22	23
5	14,8	15,1
6	10,5	11
7	7,8	8,2
По данным табл.	15.30 на графике (рис.	15.21) нанесены теоре­

тические кривые (V — для нагрузки, равномерно распределенной по площади круга; VI — для нагрузки, распределенной на площади круга по параболическому закону).

Кривая I построена по формуле теории упругости для нагрузки, равномерно распределенной по площади круга. Кривая II построена также по формуле теории упругости, но для нагрузки, распределен­ ной на площади круга по параболическому закону.

Кривая / / / построена по формуле Фрелиха для нагрузки, рас­ пределенной равномерно по площади круга при коэффициенте кон­ центрации напряжений ^ = 6. Кривая IV также построена по фор­ муле Фрелиха при уц = 6, но для нагрузки распределенной на пло­ щади круга по параболическому закону.

Из сравнения видно, что теоретические кривые автора более со­

ответствуют экспериментальным данным, чем кривые теории упру­ гости и теории Фрелиха.

§ 14. СРАВНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

от в е р т и к а л ь н о й с о средо то чен н о й н а г р у з к и с д а н н ы м и

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

По теории упругости вертикальные напряжения от сосредоточен­ ной нагрузки в пространственной задаче

_3Р_______ 1

(15.44)

~м - я г

По теории дискретного распределения напряжений вертикаль­ ные напряжения от той же нагрузки

	° ‘ =	^	е х р ( - ^ ' а) -	( 15-45>
Преобразуем эти выражения
	g*ynp			(15.46)
	Р
	2г_	1	^ ехр ['	(15.47)
	Р
где	Р — сосредоточенная		нагрузка;
z\	г — цилиндрические координаты;
	v — коэффициент, характеризующий взаимную связь частиц.

Правые части выражений (15.46) и (15.47) являются функциями отношения координат рассматриваемой точки; если выделить ка­ кую-либо горизонтальную плоскость и анализировать только пра­ вые части этих выражений, то можно установить характер измене­ ния напряжений и угол, под которым распределяется основная

часть внешнего давления (рис.			15.22).		по формулам
Для	решения этой задачи составлена табл. 15.31
(15.46)	и (15.47)			Таблица 15.31
	az ,		V, равном		° 2 упр
Г	—	2а ПРИ
Z	0,125	0,167	0,25	0,33	Р
0	1,2724	0,9541	0,6362	0,4775	0,4775
0,1	1,2228	0,9259	0,6236	0,4702	0,4657
0 ,2	1,0847	0,8462	0,5873	0,4497	0,4029
0 ,3	0,8877	0,7284	0,5314	0,4178	0,3849
0 ,4	0,6708	0,5904	0,4620	0,3756	0,3294
0 ,5	0,4681	0,4507	0,3558	0,3298	0,2733
1.0	0,0233	0,0475	0,0861	0,1065	0,0844
1,5	0,0001	0,0011	0,0071	0,0164	0,0251
2 ,0	0,0000	0,0000	0,0001	0,0012	0,0085
2 ,5	0	0	0,0000	0,0000	0,0034
2,59	0	0	0	0,0000	0,0029
4,91	0	0	0	0	0,0001

о

1

7

Рис. 15.22. К сопоставлению ординат вертикальных на­ пряжений по статистической теории и теории упругости под двумя сосредоточенными нагрузками и их равнодей­

ствующей

Рис. 15.21. Сравнение теоретиче­ ских результатов с опытными дан­ ными различных исследователей для напряжений по оси загру­ женной площадки

1 — по Штейнеру и Кнку; 2 — по ШтрошнеЙдеру; 3 — по Ксглсру и Шейдигу (1-я серия); 4 — то же (2-я серия); 5 — по Гольдбеку (1-я серия);

6 — то же			(2-я	серия);		7 — по План-
тема	(рыхлый песок); 8 — по						данным
ИллиноЙского				университета;			9 — по
И. С. Федорову (ВИОС); I, II — кривые
теории		упругости;			III,	I V — кривые
Фрелиха;			V,	VI	— кривые		автора;
VII	— опытная			кривая Д		С. Баранова
(рыхлый песок);				VIII — опытная кри­
вая		Плантема			(плотный		песок)

I

I

I — по дискретной (статистиче­ ской) теории; 2 — по теории упругости

Последнее значение величины v = 0,33 выбрано с таким расче­ том, чтобы при г = 0 по формуле (15.47) получить такие же значе­ ния напряжений по линии действия силы, как и по формуле (15.46). Правая часть обоих формул в этом случае равна 0,4775.

Из сопоставления двух крайних столбцов табл. 15.31 видно, что формула (15.47) по сравнению с формулой (15.46) дает большую концентрацию напряжений к линии действия силы. Так, при

- j - > 1,5 величины, вычисленные по формуле (15.47), больше ве­

личин, вычисленных по формуле (15.46), а при > 1,5 — наобо­

рот. При -j- > 2 величины, вычисленные по формуле (15.47), по

сравнению с данными последнего столбца настолько малы, что их практически можно приравнять к нулю. Таким образом, давление в грунте распределяется под некоторым углом к линии действия нагрузки.

Из анализа данных табл. 15.31 вытекает, что при уменьшении коэффициента v (что соответствует уменьшению связности частиц грунта)' происходит еще большая концентрация напряжений к ли­ нии действия нагрузки по сравнению с результатами, полученными по теории упругости.

Произведем теперь сравнение напряжений для плоской задачи. В теории упругости вертикальные напряжения от сосредоточен­

ной нагрузки

(15.48)

По теории дискретного распределения напряжений вертикаль ные напряжения

(15.49)

После преобразований получим

(15.50)

' J +ШТ

(15.51)

По данным формул (15.50) и (15.51) построена табл. 15.32.

Из анализа этой таблицы видно, что выводы для пространствен­ ной и плоской задач аналогичны. Кроме того, при равенстве напря­ жений по линии действия нагрузки в пространственной задаче

				Таблица		15.32
X		°г	при V, равном		Qz
		-jj- z			- р - г по
г					теории упру­
	0,125	0,167	0,25	0,33	гости
0 ,0	1,128	0,9768	0,7976	0,691	0,636
0,1	1,084	0,9479	0,7818	0.6S04	0,624
0 ,2	0,9616	0,8663	0,7363	0,6508	0,588
0 ,3	0,787	0,7457	0,6663	0,6046	0,536
0 ,4	0,5947	0,6044	0,5792	0,5436	0,473
0 ,5	0,415	0,4614	0,4837	0,4773	0,406
1,0	0,0207	0,0486	0,1079	0,1541	0,159
1,5	0,0001	0,0011	0,0089	0,0237	0,0601
2 ,0	0,00001	0,00002	0,0002	0,0017	0,0254
2 ,5	0	0	0,00003	0,00006	0,0121
2,5 9	0	0	0	0,00003	0,0107
4,91	0	0	0	0	0,001
величины напряжений в плоской задаче,				вычисленные по формуле
(15.49),	больше величин, вычисленных			по формуле	(15.48).	Это

говорит о том, что введением коэффициента концентрации напря­ жений в формулы теории упругости не может быть решен вопрос о распределении напряжений в зернистой среде, так как для раз­ личных нагрузок этот коэффициент будет различным.

Для подтверждения сказанного рассмотрим следующую задачу. Положим, что действительное распределение вертикальных напря­ жений в зернистой среде от сосредоточенной нагрузки выражается уравнением (15.45). С другой стороны, по формуле Фрелиха

(15.52)

2K Z 2 t( yу zу 2++т r* ) ” ’

где у] — коэффициент концентрации напряжений. Приравнивая эти выражения при г = 0, получим

Р_ Т)Р

2тiz2v		2тсг 2
откуда
4	=	(15.53)
		" Г " -
Положим, далее что (рис.	15.22) к массиву приложены две со­

средоточенные силы Р, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга.

Определим величину напряжения по линии приложения равно­

	действующей по формуле (15.45)
	о	р	exp	(	2vz2 )•	(15.54)
		" Z 2v

где rx — удаление силы Р от точки приложения равнодействующей.