книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве

Я)	Давление		на площадку на глубине
	в % от давления на штамп
1
2
3
и
5
6
7
' 8
9
	Давление		на площадку на глубине
	в \	От давления на штамп
5)
1
2
3
4
5
6
7	Рис. 15.6. Сравнение теоретических ре­
8	зультатов с			опытными			данными		Пен­
	сильванского			колледжа			для	давлений
		по оси загруженного штампа
9	а — опытные данные				1-ой серин;			б — опытные
	данные 2-ой серии;				1; 2 — теоретические кри­
	вые	при	различных		v;	3 — опытные кривые;
	о и; оп“ т,'ая			кривая		при	нагрузке		ниже
	и,1Ь	кг/см ; 5 — то же.				при	нагрузке		от 1,46
				до 2,92		кг 1см*

	при V.					■V
Ь					при - — , равном
				р п		Ъ
равном
0.3	0,125	0	0,5	1,0	1,5	2 ,0	2,5	3,0	4,0
0,67	1,0	0,8533	0,7345	0,4619	0,1853	0,03585	0,0037	0,00012	0,0000
1,0	1,5	0,7203	0,6328	0,4236	0,2037	0,0648	0,0127	0,0045	0,00024
1,34	2,0	0,5866	0,5564	0,3760	0,2732	0,0839	0,0294	0,0069	0,0017
1,67	2,5	0,4619	0,4238	0,3740	0,2044	0,1038	0,0463	0,0270	0,0028
2,0	3,0	0,3777	—	0,2798	0,1937	0,1172	0,0567	0,0300	0,0036
2,68	4,0	0,2505	0,2321	0,2028	0,1628	0,1117	0,0767	0,0393	0,0256
3,35	5,0	0,1740	—	0,1554	0,1296	—	0,0724	0,0533	—
4,0	6,0	а 1237	0,1194	0,1149	0,1060	0,863	0,0794	0,0437	0,0266

По данным табл. 15.9 на рис. 15.4 и 15.5 прерывистой линией построены теоретические кривые для песчаных грунтов при v = = 0,125, а для глинистых и суглинистых грунтов при v = 0,3.

На рис. 15.6 построены опытные и теоретические кривые для по­ ложения измерительной площадки на разной глубине под штампом. Кривая для малых удельных давлений на штамп построена в пред­ положении, что эпюра давлений под штампом может быть Прибли­ зительно выражена функцией

/ ( * i ,) = P - p ( l - - £ ) ( l - - £ . ) ,

(15.21)

которая представляет разность двух эпюр: равномерно распределен­ ной нагрузки и нагрузки, распределенной по параболе. Следова­ тельно, для определения давления от такой нагрузки можно вос­ пользоваться данными табл. 15.9 и 15.10.

Обозначим через коэффициент табл. 15.9, а через а2 коэффи­ циент табл. 15.10. Тогда давление на площадку от равномерно рас­ пределенной нагрузки

Px (p)=4b*Pa1t-		(15.22)
а давление от нагрузки, распределенной по параболе
р т (Р) = «2рС 462 = 4&2	а2,	(15.23)

где рср — среднее удельное давление на штамп (рср = — —) .

\

2,25 /

Давление на площадку от нагрузки, представленной выражением (15.21), определится как разность формул (15.22) и (15.23), т. е.

Р*п [/(*. у)] = 462Р (», - - ^ ) .

(15.24)

Среднее давление на штамп от нагрузки, выраженной зависи­ мостью (15.21),

Р, = Р — Рсв = Р ------—		= р ( 1 ------ — ) = 0.555Р,		(15.25)
'	2 ,25	\	2 ,25 I	У	'
откуда давление на штамп
+ b	Л-Ь
j	dx j' f(x ,	y)dy =	462-0,555P.	(15.26)
—b	—b

Разделив выражение (15.24) на (15.26), получим отношение дав­ ления на площадку на глубине к давлению на штамп

			______ a 2
	P x n [ f ( x ,	у ) }	2,25	_	2,253! — o2	(15.27)
			0,555	~	1,25
f	dx I /(.v,	y)d,j
- b	- b

Вычисленные по формуле (15.27) отношения для x = 0 представ­ лены в табл. 15.11.

								Таблица	15.11
			Отношение давления на площадку к давлению на штамп при
	X				Z	. равном
					- г -
	~				ь
		1	1.5	2.0	2.5	3.0	4.0	5.0	6,0
	0	0,645	0,543	0,472	0,394	0,325	0,224	0,163	0,1228

Из сравнения видно, что теоретические данные (кривые) под­ тверждаются экспериментальными данными для песчаных, глини­ стых и суглинистых грунтов. Из сравнения теоретической и опытной кривых для малых удельных нагрузок на штамп видно, что у краев штампа наблюдается значительно большая концентрация напряже­ ний, чем выраженная зависимостью (15.21)

§ 6. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ ГОЛЬДБЕКА

Для сравнения с теоретическими результатами используем опыт­ ные данные Гольдбека для вертикальных напряжений по оси загру­ женного штампа, полученные в результате проведения двух серий испытаний.

Данные первой серии испытаний Гольдбека представлены табл. 15.12.

	Глубина	Диаметр	Нагрузка	Среднее	Измеренное	Отношение измеренного
				давление
	в см	штампа	в кг	на штамп	напряжение	напряжения		к среднему
		в см			В KZjCAi*	давлению	на штамп
				в кг/см?
	3 0,5	34 ,3	815	0,885	0 , 7	0,7 9
	з о ;	5 34,3	1359	1,475	1,12	0 ,7 6	.	0,8125
	30,5	34,3	1812	1,97	1,6	0,81
	30,5	34,3	2265	2 ,46	2,19	0,89
	61,0	34,3	815	0,885	0,18	0,204	1	0,2423
	61,0	34,3	1359	1,475	0,39	0,264	1
	61,0	34,3	1812	1,97	0,51	0,259	J1
	91,4	34,3	815	0,885	0,08	0,0905	]	0,09527
	91,4	34,3	1359	1,475	0,13	0,088	1
	91,4	34,3	1812	1,97	0,21	0,107	J1
	121,9	34,3	815	0,885	0,04	0,0452	1
						0,0407	I	0,0473
	121,9	34,3	1359	1,475	0,06		J1
	121,9	34,3	1812	1,97	0,11	0,056
	152,4	34,3	815	0,885	0,02	0,0226	1
	152,4	34,3	1359	1,475	0,04	0,0271	1	0,02607
	152,4	34,3	1812	1,97	0,056	0,0285	J1

В табл. 15.13 представлены данные второй серии испытаний Гольдбека.

Таблица 15.13

Глубина	Диаметр	Нагрузка	Среднее
			давление
в с м	штампа	в к г	на штамп
	в с м		в к г /с м *

Измеренное	Отношение измеренного
напряжение	напряжения	к среднему
в к г /с м *	давлению	на штамп

15,2	20,3	135,9	0,42	0,49	1,17	)
15,2	20,3	271,8	0,84	0,84	1*0	I n	п п л
15,2	20,3	407,7	1,26	1,18	0,94	}	0,924
15,2	20,3	543,0	1,68	1,6	0,955
15,2	20,3	1087,0	3,36	1,86	0,554	)
30,5	20,3	135,9	0,42	0,16	0,381	^
30,5	20,3	271,8	0,84	0,42	0 ,5	1	о,448
30,5	20,3	407,7	1,26	0,58	0,46
30,5	20,3	543,0	1,68	0,76	0,452	)
61,0	20,3	135,9	0,42	0,04	0,0952	)
61,0	20,3	271,8	0,84	0,07	0,0832
61,0	20,3	407,7	1,26	0,09	0,0715	>	0,0779
61,0	20,3	543,0	1,68	0,15	0,0892	J
61,0	20,3	1087,0	3,36	0,17	0,0506
91,4	20,3	407,7	1,26	0,04	0,0318	)
91,4	20,3	543,0	1,68	0,06	0,0357	J	0,0361
91,4	20,3	634,0	1,96	0,08	0,0408

Определим теоретически величины напряжений. Поскольку ис­ пытания производились с песчаным грунтом, для которого под жест­ ким штампом наблюдалась колоколообразная эпюра давлений, то для вычисления напряжений используем формулу для нагрузки, распределенной на площади круга по параболе

(15.28)

Рср

так как D = 2R, то

	ё г - М ' - т Н ' - М				- ^ з г ) ] ) -		<162S>
Подставляя в эту формулу среднее значение отношения напряже­
ния к давлению на штамп для глубины г =						30,5 см, получим
	0,8125 : o f ,	—	8v-30,52	Г,	/	34,32
	: 2 Г		^ [	‘ - ехр( -		8v-30,52
откуда	0,137, a	8v =	1,1.

Подставив это значение коэффициента в (15.29), получим следую­ щую расчетную формулу

<|5-30>

Вычисления, выполненные по формуле (15.30), приведены табл. 15.14.

в
z
Глубина	Z
	мс
	34,3

30,5	0,8892
61,0	1,7784
91,4	2,6647
121,9	3,554
152,4	4,4431

				Таблица		15.14
f - M ’ . u	/34.3\2 1	(	34,За \ .	(	34,з а \	1 ь .
	М и	с х р	--------------
\3-l.3 /		1	и * )	1	i.i-W	Рср

0,8689	1,15	0,3166	0,6834	0,8124
3,4756	0,2877	0,7498	0,2502	0,261
7,803	0,12813	0,8798	0,1202	0,1242
13,8802	0,07204	0,9305	0,0695	0,071
21,6936	0,0461	0,9550	0,0450	0,0476

Для оценки второй серии испытаний примем то же значение ко­ эффициента V .

Подставив в формулу (15.29) значения D = 20,3 см и v = 0,137, определим теоретически значения вертикальных напряжений для сравнения с опытными данными второй серии испытаний (табл. 15.15).

Глубина z в с м

Z	( — V-U	/20,3\ 2 1	/	20,3'J \	,	/ 20-3J \	3z 0
20.3		еХ р	1	--------------
	V20.3 ;	1 * / 1 , 1		и -W

15,2	0,7488	0,6161	0,6231	0,1973	0,8027	1,011
30,5	1,4976	2,4644	0,4058	0,6666	0,3334	0,3568
61,0	2,9952	9,8576	0,10144	0,9035	0,0965	0,0974
91,4	4,4928	22,1796	0,045865	0,95595	0,04405	0,046

Сравним теоретические значения отношений напряжений к сред­ нему давлению с опытными данными; результаты представим в табл. 15.16.

Таблица 15.16

Опытные	Теоретиче­	отклоне­	Опытные	Теоретиче­	%отклоне­
		ния опытных			ния опытных
данные	ские данные	данных от	данные	ские данные	данных от
1-й серии		теоретических	2-й серии		теоретических
0,79	0,8124	—3	1,17	1,011	+ 15,5
0,76	0,8124	—7	1,0	1,011	— 1
0,81	0,8124	—0,5	0,94	1,011	— 7,0
0,89	0,8124	+9,5	0,955	1,011	— 5,5
0,204	0,261	—22	0,554	1,011	—45
0,264	0,261	+ 1	0,381	0,3568	+ 6,5
0,259	0,261	— 1	0,5	0,3568	+40
0,0905	0,1242	-2 8	0,46	0,3568	+28,5
0,088	0,1242	—30	0,452	0,3568	+26,5
0,107	0,1242	— 14	0,0952	0,0974	— 2
0,0452	0,071	—37	0,0832	0,0974	-1 4 ,5
0,0407	0,071	—43	0,0715	0,0974	—26,5
0,056	0,071	—21	0,0892	0,0974	— 8,5
0,0226	0,0476	—52,5	0,0506	0,0974	—48
0,0271	0,0476	—43	0,0318	0,046	-31
0,0285	0,0476	—30	0,0352	0,046	—23,5
			0,0408	0,046	— 11,5

Из сравнения видно, что наибольшие отклонения опытных дан­ ных от теоретических имеют место при малых значениях напряже­ ний. Это обстоятельство может указывать на систематическую ошиб­ ку в измерениях, которая при значительных напряжениях мало ска­ зывается на результатах сравнения, а при малых напряжениях ее влияние может оказаться решающим. Судя по данным первой се­ рии опытов, систематическая ошибка в измерении напряжений со­ ставила около 2% от среднего давления на штамп. Во второй серии опытов явно завышенными являются результаты испытаний для глубины 30,5 см. Если данные для этой глубины не принимать во

внимание, а также не принимать во внимание сильно отличающиеся результаты для глубин 15,2 см (цифру 0,554) и 61,0 см (цифру 0,0506), то можно полагать, что систематическая ошибка в измерении напря­ жений во второй серии опытов составляла примерно 1,0%.

Если считать, что на осредненных опытных данных сказывались указанные систематические ошибки, то для средних значений по­ лучим результаты, представленные в табл. 15.17.

Среднее значе­ ние опытных данных 1-й се­ рии

до исправ­ ления

после ис­ правле­ ния

Теоретические дан­ ные

% отклоне­		Среднее зна­
ния опытных		чение	опыт­
данных от тео­		ных	данных
ретических		2-й серин
до ис­ правления	после ис­ правле­ ния	до исп­ равления	после ис­ правле­ ния

Таблица 15.17

дан­		ния опытных
		% отклоне­
Теоретические	ные	данных от
		ис­до правления	послеис­ правле­ ния
		теоретических

0,8125	0,8325	0,8124	0	+2,5	1,016	1,026	1,011	+0,5	+ 1.6
0,2423	0,2623	0,261	—8	+0,5	0,0848	0,0948	0,0974	—13	—2,7
0,095	0,115	0,1242	—23,7	+7,7
0,047	0,067	0,071	— 3,4	- 5 ,5	0,036	0,046	0,046	— 22	0
0,026	0,046	0,0476	—45,4	- 3 ,5

При сравнении теоретических результатов с экспериментальными данными Гольдбека вычисления велись по формуле, полученной для нагрузки, распределенной по площади круга по параболиче­ скому закону.

Для нагрузки, равномерно распределенной по площади круга, теоретические значения отношений величин напряжений к среднему давлению на штамп приведены в предпоследних столбцах табл. 15.14 и 15.15; эти данные изображены графически на рис. 15.7: там же построены теоретические кривые для нагрузки, распределенной по площади круга равномерно и по параболе. Кроме того, для сравне­ ния изображена кривая теории упругости для нагрузки, равно­ мерно распределенной по площади круга, и кривая по формуле (15.29) для v = 0,125.

Из приведенного рисунка видно, что теоретические кривые ав­ тора достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными Гольдбека. Близко к опытным данным лежит и кривая, построенная для v = 0,125.

Однако кривая, построенная для v = 0,137, лучше согласуется с опытными данными.

На рис. 15.8 представлены теоретические результаты распреде­ ления напряжений на глубине 137 см и опытные данные Гольдбека для разных диаметров штампов при одинаковой удельной нагрузке

Напряжения 8 % от среднего давления на штамп

Отношение глубины к диаметру штампа

Рис. 15.7. Сравнение теоретических результатов с опытными данными Гольдбека для вертикальных напряжений по оси загруженного штампа

а — нагрузка, равномерно распределенная по	кругу; б;	в	—	нагрузка, распределенная по кругу н параболе; 1 — кривая теории
упругости; 2 — кривая автора при v = 0,137;	<3 — то же;	4	—	то же,	при v = 0,125; 5 — опытные данные Гольдбека (1-ая серия); 6 —
	то	же,		2-ая	серия

на штамп. Теоретические кривые построены для нагрузки, распре­ деленной на подошве штампа по параболическому закону.

Значения напряжений по оси определялись по формуле (16.29) для круглого штампа. Остальные значения напряжений вычисля-

Расстоянця от оси штампа

Рис. 15.8. Сравнение теоретических результатов с опытными данными Гольдбека при удельном давлении на штамп 2,43 кг/c-w2 и разных пло­ щадях штампов для глубины 137 см

I — опытные данные; 2 — теоретические данные

лись по формуле для квадратного штампа по соответствующей ве­ личине напряжения на оси. Величины напряжений вычислены для v = 0,137.

Из сравнения видно, что теоретические результаты почти совпадают с экспериментальными данными.

В табл. 15.18 приведены результаты вычислений по формуле (15.29) отношений напряжений на оси к среднему давлению на штамп.

с м -	в
Площадь штампа и	Диаметр штампа D с м
7750	99
3800	6 9 ,6
1840	4 8 ,4
950	3 4 ,8
345	2 1 ,0

					Таблица		15.18
z'M.l	Da			4	^	-	_!£и
£>а	1,1 - г 1		-	(	- £	) ]	^ср
2 ,1	0 ,4 7 6	0 ,6 2 1 2	0 ,3 7 8 8		0 ,7 9 5		0 ,4 1
4 ,2 4	0 ,2 3 6	0 ,7 8 9 7	0 ,2 1 0 3		0 ,8 9 2		0 ,2 1 6
8 ,8	0 ,1 1 4	0 ,8 9 2 7	0 ,1 0 7 3		0 ,9 4 5		0 ,1 1
1 7 ,2	0 ,0 5 8 1	0 ,9 4 3 5	0 ,0 5 6 5		0 ,9 7 1		0 ,0 5 8
4 6 ,7	0 ,0 2 1 4	0 ,9 7 8 8	0 ,0 2 1 2		0 ,9 8 8 5		0 ,0 2 3

§ 7. С Р А В Н Е Н И Е Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Х Р Е З У Л Ь Т А Т О В С О П Ы Т Н Ы М И Д А Н Н Ы М И К О М И С С И И П О Н А П Р Я Ж Е Н И Я М В Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О М П У Т И А М Е Р И К А Н С К О Й А С С О Ц И А Ц И И Г Р А Ж Д А Н С К И Х И Н Ж Е Н Е Р О В

На рис. 15.9 представлены кривые распределения давления в пес­ чаном грунте на глубине 45 см при передаче нагрузки через шпалу. Опытные кривые изображены сплошными линиями, причем верх­ няя кривая соответствует сечению под шпалой в месте приложения нагрузки. Поскольку нагрузка передавалась на штамп в двух ме­ стах, то таких сечений два. Нижняя кривая соответствует среднему сечению шпалы, свободному от нагрузки. Кривые эти получились различными в силу изгиба шпалы при испытаниях и перераспределе­ ния за этот счет напряжений по подошве шпалы. Поскольку не из­ вестен аналитический характер перераспределения напряжений под шпалой, то необходимо определить средние значения их и срав­ нить с ними теоретические результаты. Кривая с крестиками изоб­ ражает распределение средних значений напряжений. Теоретиче­ ская кривая распределения напряжений изображена прерывистой линией. Построена она по формуле для нагрузки, распределенной на полосе по параболе при v == 0,125.

В табл.	15.19 приведены результаты вычислений для глубины
45 см при передаче нагрузки через шпалу шириной 20 см.
						Таблица	15.19
		Отношение напряжения к среднему давлению на				шпалу при
Z				.V- , равном
£				~Ь
	0	I	2	3	4	5	6
45	0 ,4 8 2	0 ,4 0 8	0 ,2 3 7	0 ,0 8 2 5	0 ,0 2 5 5	0 ,0 0 4 3	0 ,0 0 0 6
,0- 4 , 5